多项式矩阵

                     

贡献者: 3sanha0

预备知识 多项式,矩阵

   多项式矩阵也被称为 $\lambda$-矩阵

定义 1 多项式矩阵

   下列形式的矩阵 $$A(\lambda)=\begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}(\lambda) & a_{m2}(\lambda) & \cdots & a_{mn}(\lambda) \\ \end{pmatrix}$$ 其中 $a_{ij}(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的多项式,称为多项式矩阵或 $\lambda$-矩阵

   $\lambda$-矩阵的加减法、数乘以及乘法与数域上的矩阵的运算一样,只需在运算过程中将数的运算用一元多项式的运算替代即可。特征矩阵是一种特殊的 $\lambda$-矩阵。

定义 2 多项式矩阵的初等行变换

   对 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 施行下列 3 种变换称为 $\lambda$-矩阵的初等行变换:

  1. 将 $A(\lambda)$ 的两行对换
  2. 将 $A(\lambda)$ 的 $i$ 行乘以常数 $c$,$c$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的非零数
  3. 将 $A(\lambda)$ 的 $i$ 行乘以 $\mathbb{K}$ 上的多项式 $f(\lambda)$ 后加到第 $j$ 行上

   同理,也可以这样定义 3 种 $\lambda$-矩阵的初等列变换。

   注:第二种初等变换不能乘以 $f(\lambda)$

   多项式矩阵也能被表达为以(数值)矩阵为系数的多项式,所以也被称为矩阵系数多项式。令 $d_{ij}=\deg(a_{ij}(\lambda))$,$d=max_{\forall{i,j}}(d_{ij})$,那么 $A(\lambda)$ 也可以被表达为:

\begin{equation} A=\sum_{k=0}^d\lambda^k[a_{ijk}]_{\forall{i,j}}=\sum_{k=0}^d\lambda^kA(k) \end{equation}

   用下列来具体解释,将下列 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$,写为矩阵系数多项式的形式

\begin{equation} A(\lambda)= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\lambda-1 & \lambda \\ \lambda & \lambda^2 & -\lambda\\ 1+\lambda^2 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{pmatrix} \end{equation}

   解 $$ A(\lambda)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \lambda +\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\lambda^2 $$


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