多项式矩阵
贡献者： 3sanha0
多项式矩阵也被称为 $\lambda$-矩阵
定义 1 多项式矩阵
下列形式的矩阵
$$A(\lambda)=\begin{pmatrix}
a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\
a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1}(\lambda) & a_{m2}(\lambda) & \cdots & a_{mn}(\lambda) \\
\end{pmatrix}~,$$
其中 $a_{ij}(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的多项式，称为多项式矩阵或 $\lambda$-矩阵
$\lambda$-矩阵的加减法、数乘以及乘法与数域上的矩阵的运算一样，只需在运算过程中将数的运算用一元多项式的运算替代即可。特征矩阵是一种特殊的 $\lambda$-矩阵。
定义 2 多项式矩阵的初等行变换
对 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 施行下列 3 种变换称为 $\lambda$-矩阵的初等行变换：
- 将 $A(\lambda)$ 的两行对换
- 将 $A(\lambda)$ 的 $i$ 行乘以常数 $c$，$c$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的非零数
- 将 $A(\lambda)$ 的 $i$ 行乘以 $\mathbb{K}$ 上的多项式 $f(\lambda)$ 后加到第 $j$ 行上
同理，也可以这样定义 3 种 $\lambda$-矩阵的初等列变换。
注：第二种初等变换不能乘以 $f(\lambda)$
多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。令 $d_{ij}=\deg(a_{ij}(\lambda))$，$d=max_{\forall{i,j}}(d_{ij})$，那么 $A(\lambda)$ 也可以被表达为：
\begin{equation}
A=\sum_{k=0}^d\lambda^k[a_{ijk}]_{\forall{i,j}}=\sum_{k=0}^d\lambda^kA(k)~.
\end{equation}
用下列来具体解释，将下列 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$，写为矩阵系数多项式的形式
\begin{equation}
A(\lambda)=
\begin{pmatrix}
1-\lambda & 2\lambda-1 & \lambda \\
\lambda & \lambda^2 & -\lambda\\
1+\lambda^2 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
解
$$
A(\lambda)=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\lambda
+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}\lambda^2~.
$$
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