贡献者： vitalyr
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
- 本文需要更多参考文献。
- 本文需要更多讲解，便于帮助理解。
1. 基本概念
概括地说，范畴是由对象（Object）及其间的态射（Morphism）组成的数学结构。
定义 1 范畴
范畴 $\mathcal{C}$ 包含以下结构。
- 集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，其元素称作 $\mathcal{C}$ 的对象；
- 集合 $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}$，其元素称作 $\mathcal{C}$ 的态射，配上一对映射 $\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\rightrightarrows_{a}$；
- 对于每三个元素 $x,y,z\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，存在态射复合映射 ${\circ}:\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,Z)\times\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Z)$。
这些结构满足以下规则。
- 对于每个元素 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，存在单位态射 $\operatorname{id}_X\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,X)$，使得 $\operatorname{id}_X\circ\phi=\phi$ 和 $\psi\circ\operatorname{id}_X=\psi$ 成立，其中 $\phi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,X)$ 对于任意 $Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，$\psi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Z)$ 对于任意 $Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$；
- 复合具有结合性，即对于 $\phi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,Z),\psi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y),\chi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(W,X)$，有 $(\phi\circ\psi)\circ\chi=\phi\circ(\psi\circ\chi)$；
- 任意态射集合 $ \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$ 和 $ \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X',Y')$ 不交，除非 $X=X',Y=Y'$，此时它们相等。
由于以下练习，我们讨论单位态射的时候可以省去选择，只讨论唯一的单位映射。
习题 1
证明同个元素的任意两个单位态射是相等的。
有时我们也会使用 $\operatorname{dom}$（域）和 $\operatorname{cod}$（陪域）来讨论态射。值得注意的是，我们一般情况下要求元素为一个集合而不是一个类，仅在如下范畴中我们放宽要求允许元素为一个真类：
- 集合范畴 $(\mathbf{Set})$，态射为映射；
- 交换群范畴 $(\mathbf{Ab})$，态射为交换群同态；
- 群范畴 $(\mathbf{Grp})$，态射为群同态；
- 左 $G$-群作用范畴 $(\mathbf{G{-}Set})$，态射为 $G$-映射；
- 对于含幺交换环 $R$，模范畴 $(\mathbf{R{-}Mod})$，态射为模同态；
- 对于域 $F$，向量空间范畴 $(\mathbf{F{-}Vect})$，态射为线性映射；
- 拓扑空间范畴 $(\mathbf{Top})$，态射为连续映射；
- 含幺交换环范畴 $(\mathbf{Ring})$，态射为环同态。
我们称 $ \operatorname {Ob}$ 为一集合的范畴集合范畴，称其为真类范畴若其 $ \operatorname {Ob}$ 不构成集合。另外，若一真类范畴的每个态射类都构成集合，我们称它是一个局部集合范畴。
为简化我们所使用的符号，若所讨论的范畴在上下文中没有歧义，可使用符号 $ \operatorname {Ob}$ 和 $ \operatorname {Mor}(X,Y)$；另对于态射 $\phi\in \operatorname {Mor}(X,Y)$，我们通常使用映射符号将其写为 $\phi:X\to Y$。
定义 2 范畴论同构
对于一个态射 $\phi:X\to Y$，若存在另一个态射 $\psi:Y\to X$ 使得 $\phi\circ\psi= \operatorname {id}_Y$ 和 $\psi\circ\phi= \operatorname {id}_X$ 成立，则我们说它是一个范畴论同构。此时 $\phi$ 也被称为一个可逆态射，而 $\phi^{-1}=\psi$ 则被称为它的逆。
若一态射的域和陪域相同，则它可被称为一个自态射，元素 $X\in \operatorname {Ob}$ 的所有自态射形成一个幺半群，被称为 $ \operatorname {Endo}_\mathcal{C}(X)$；若它还是一个同态，则被称为自同态，所有元素 $X$ 的自同态形成一个群，被称为 $ \operatorname {Auto}_\mathcal{C}(X)$。
定义 3 群胚
若范畴 $\mathcal{C}$ 的所有态射都是范畴论同构，则称范畴 $\mathcal{C}$ 为一群胚。
群胚是群的一般化结构。一个群 $G$ 可以生成一个群胚，使得其结构被保留：这个群胚由一个元素 $X$ 构成，其仅有的态射为 $ \operatorname {Mor}(X,X)=G$，态射复合被定义为 $a\circ b=ab$，请自行验证如此定义的范畴为一个群胚。集合 $A$ 也可生成群胚，定义
\begin{equation}
\operatorname {Ob}=A\quad \operatorname {Mor}(X,Y)=\begin{cases}\emptyset&X\neq Y\\\{ \operatorname {id}\}&X=Y\end{cases}~,
\end{equation}
请自行验证它是一个群胚。
定义 4 函子
范畴 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 间的协变函子 $F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 包含以下结构。
- 若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 均为集合范畴，则函子包含一个映射 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set}}: \operatorname {Ob}(\mathcal{A})\to \operatorname {Ob}(\mathcal{B})$，否则函子包含一个从 $ \operatorname {Ob}(\mathcal{A})$ 到 $ \operatorname {Ob}(\mathcal{B})$ 的关联 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{PrCl}}$；
- 函子包含一个映射 $F_{ \operatorname {Mor}}: \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)\to \operatorname {Mor}_\mathcal{B}(F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set/PrCl}}(X),F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set/PrCl}}(Y))$，对于每个 $x,y\in \operatorname {Ob}(A)$。
函子满足如下公理。
- 对于任意元素 $X\in \operatorname {Ob}(A)$，$F( \operatorname {id}_X)= \operatorname {id}_{F(x)}$；
- 对于任意可复合的元素对 $(\phi,\psi)$，$F(\phi\circ_\mathcal{A}\psi)=F(\phi)\circ_\mathcal{B}F(\psi)$。
我们仅考虑域和陪域为上方列出的真类范畴的具有 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{PrCl}}$ 的函子。我们考虑的大部分范畴和函子都是数学对象（可用 ZFC 公理化集合论描述的对象）。注意若函子对象关系的类型（映射或关联）明确，我们可以将其省略。另外我们也会在语义明确时省略下标 $ \operatorname {Ob}$ 和 $ \operatorname {Mor}$。任何范畴 $\mathcal{A}$ 都有一个显然的单位函子 $ \operatorname {id}_\mathcal{A}$，同时对于两个函子 $F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 和 $G:\mathcal{B}\to\mathcal{C}$，我们可以定义它们的复合。
TODO opposite category and contravariant functor
TODO natural transformation
2. $ \operatorname {Hom}$ 函子和 Yoneda 引理
定义 5 $ \operatorname {Hom}$ 函子
若 $\mathcal{C}$ 是一个局部集合范畴，对于每个 $A\in\mathcal{C}$，记 $A$-协变 $ \operatorname {Hom}$ 函子为 $h^A= \operatorname {Hom}(A,-):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$，其定义如下：
- 若 $X\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，则 $h^A(X)= \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(A,X)\in \operatorname {Ob}(\mathbf{Set})$；
- 若 $f\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，则对于 $g:A\to X$，有 $h^A(f)=g\mapsto f\circ g:A\to Y\in h^A(Y)$。
记 $B$-逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子为 $h_B= \operatorname {Hom}(-,B):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$，其定义如下：
- 若 $X\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，则 $h_A(X)= \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,B)\in \operatorname {Ob}(\mathbf{Set})$；
- 若 $f\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，则对于 $g:X\to B$，有 $h_A(f)=g\mapsto g\circ f:Y\to B\in h_A(Y)$。
若我们使用现代代数几何的语言，如上定义的逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子还可被称为一个预层。
定义 6 $ \operatorname {Hom}$ 函子范畴
我们使用 $\mathbf{Set}^\mathcal{C}$ 来记协变 $ \operatorname {Hom}$ 函子所构成的范畴，对于每个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $\phi:A'\to A$，我们可以获得一个自然变换 $h_{\text{co}}(\phi):(h^A:\mathcal{C}\to\mathbf{Set})\Rightarrow(h^{A'}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set})$。
我们可以简单地看出，下图是交换的对于任意 $\psi\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，于是 $h_\text{co}(\phi)$ 的确是一自然变换。
图 1：$h_{\text{co}}(\phi)$ 的自然性
类似地，我们可以定义逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子所构成的范畴 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$，唯一不同的一点是我们需要给出一个相反的映射 $\phi:B\to B'$ 来使得下图交换。注意下图中 $h_B(-)$ 是一逆变函子，所以关于图交换的结论是对于 $\psi:Y\to X$ 而言的。
图 2：$h_{\text{ct}}(\phi)$ 的自然性
如上定义的 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$ 在代数几何中也被记为 $\mathbf{PSh}(\mathcal{C})$。
习题 2
请验证 $h^{-}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}^\mathcal{C}$ 和 $h_{-}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$ 为函子。提示：观察上述定义，可以注意到前者为逆变函子，后者为协变函子。
定理 1 Yoneda 引理
对于任意局部集合范畴 $\mathcal{C}$ 和 $A,B\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，
- 给定协变函子 $F:\mathcal{C}\overset{\text{co}}{\to}\mathbf{Set}$，存在双射 $ \operatorname {Nat}(h^A,F)\simeq F(A)$；
- 给定逆变函子 $G:\mathcal{C}\overset{\text{ct}}{\to}\mathbf{Set}$，存在双射 $ \operatorname {Nat}(h_B,G)\simeq G(B)$
证明。
对于自然变换 $\Phi:h^A\Rightarrow F$，我们将它映射到 $u=m(\Psi)=\Phi_A( \operatorname {id}_A)$（注意此处 $\Phi_A$ 是 $\mathbf{Set}$ 中 $h^A(A)\to F(A)$ 的态射，即一个映射）；对于 $v\in F(A)$，将它映射到如 $\Psi_X(f: \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(A,X))=F(f)(v)$ 定义的自然变换 $n(v)=\Psi$。以下练习证明了 $m\circ n= \operatorname {id}$ 和 $n\circ m= \operatorname {id}$，即得所需双射。另一部分的证明留作练习。
习题 3
请尝试证明在上述证明中，$m\circ n= \operatorname {id}$ 和 $n\circ m= \operatorname {id}$。
解答。
- $m\circ n$：若 $v\in F(A)$，则 $n(v)=\Psi$，其中 $\Psi_X(f)=F(f)(v)$，我们有 $m(\Psi)=\Psi_A( \operatorname {id}_A)=F(id_A)(v)=id_{F(A)}(v)=v$；
- $n\circ m$：若 $\Phi\in \operatorname {Nat}(h^A,F)$，则下图对任意 $\phi:X'\to Y'$ 和 $\psi:A\to X'$ 交换，
图 3：此图交换
即 $F(\phi)(\Phi_{X'}(\psi))=\Phi_{Y'}(h^A(\phi)(\psi))$ 成立。取 $X'=A,\,Y'=X,\,\phi=f:A\to X,\,\psi= \operatorname {id}_A:A\to A$，则有 $F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(h^A(f)( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(f\circ \operatorname {id}_A)=\Phi_X(f)$。此时计算 $(n\circ m)(\Phi)$，$m(\Phi)=\Phi_A( \operatorname {id}_A)=u$，$n(u)=\Psi$，其中 $\Psi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))$。据前文，有 $\Phi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Psi_X(f)$，即得 $\Psi=\Phi$。
习题 4
模仿上述证明，证明 Yoneda 引理的第二部分。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
图 3：此图交换即 $F(\phi)(\Phi_{X'}(\psi))=\Phi_{Y'}(h^A(\phi)(\psi))$ 成立。取 $X'=A,\,Y'=X,\,\phi=f:A\to X,\,\psi= \operatorname {id}_A:A\to A$，则有 $F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(h^A(f)( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(f\circ \operatorname {id}_A)=\Phi_X(f)$。此时计算 $(n\circ m)(\Phi)$，$m(\Phi)=\Phi_A( \operatorname {id}_A)=u$，$n(u)=\Psi$，其中 $\Psi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))$。据前文，有 $\Phi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Psi_X(f)$，即得 $\Psi=\Phi$。