范畴论

贡献者： vitalyr

1. 基本概念

　　 概括地说，范畴是由对象（Object）及其间的态射（Morphism）组成的数学结构。

　　 由于以下练习，我们讨论单位态射的时候可以省去选择，只讨论唯一的单位映射。

　　 有时我们也会使用 $\mathrm{dom}$（域）和 $\mathrm{cod}$（陪域）来讨论态射。值得注意的是，我们一般情况下要求元素为一个集合而不是一个类，仅在如下范畴中我们放宽要求允许元素为一个真类：

• 集合范畴 $(\mathbf{Set})$，态射为映射；
• 交换群范畴 $(\mathbf{Ab})$，态射为交换群同态；
• 群范畴 $(\mathbf{Grp})$，态射为群同态；
• 左 $G$-群作用范畴 $(\mathbf{G}\mathbf{-}\mathbf{Set})$，态射为 $G$-映射；
• 对于含幺交换环 $R$，模范畴 $(\mathbf{R}\mathbf{-}\mathbf{Mod})$，态射为模同态；
• 对于域 $F$，向量空间范畴 $(\mathbf{F}\mathbf{-}\mathbf{Vect})$，态射为线性映射；
• 拓扑空间范畴 $(\mathbf{Top})$，态射为连续映射；
• 含幺交换环范畴 $(\mathbf{Ring})$，态射为环同态。

　　 我们称 $\mathrm{Ob}$ 为一集合的范畴集合范畴，称其为真类范畴若其 $\mathrm{Ob}$ 不构成集合。另外，若一真类范畴的每个态射类都构成集合，我们称它是一个局部集合范畴。 为简化我们所使用的符号，若所讨论的范畴在上下文中没有歧义，可使用符号 $\mathrm{Ob}$ 和 $\mathrm{Mor}(X,Y)$；另对于态射 $\varphi \in \mathrm{Mor}(X,Y)$，我们通常使用映射符号将其写为 $\varphi :X\to Y$。

　　 若一态射的域和陪域相同，则它可被称为一个自态射，元素 $X\in \mathrm{Ob}$ 的所有自态射形成一个幺半群，被称为 ${\mathrm{Endo}}_{\mathcal{C}}(X)$；若它还是一个同态，则被称为自同态，所有元素 $X$ 的自同态形成一个群，被称为 ${\mathrm{Auto}}_{\mathcal{C}}(X)$。

　　 群胚是群的一般化结构。一个群 $G$ 可以生成一个群胚，使得其结构被保留：这个群胚由一个元素 $X$ 构成，其仅有的态射为 $\mathrm{Mor}(X,X)=G$，态射复合被定义为 $a\circ b=ab$，请自行验证如此定义的范畴为一个群胚。集合 $A$ 也可生成群胚，定义

　　 我们仅考虑域和陪域为上方列出的真类范畴的具有 $F_{\mathrm{Ob}}^{\text{PrCl}}$ 的函子。我们考虑的大部分范畴和函子都是数学对象（可用 ZFC 公理化集合论描述的对象）。注意若函子对象关系的类型（映射或关联）明确，我们可以将其省略。另外我们也会在语义明确时省略下标 $\mathrm{Ob}$ 和 $\mathrm{Mor}$。任何范畴 $\mathcal{A}$ 都有一个显然的单位函子 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{A}}$，同时对于两个函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 和 $G:\mathcal{B}\to \mathcal{C}$，我们可以定义它们的复合。

　　 TODO opposite category and contravariant functor

　　 TODO natural transformation

2. $\mathrm{Hom}$ 函子和 Yoneda 引理

　　 若我们使用现代代数几何的语言，如上定义的逆变 $\mathrm{Hom}$ 函子还可被称为一个预层。

定义 6　$\mathrm{Hom}$ 函子范畴

　　 我们使用 ${\mathbf{Set}}^{\mathcal{C}}$ 来记协变 $\mathrm{Hom}$ 函子所构成的范畴，对于每个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $\varphi :A^{\prime }\to A$，我们可以获得一个自然变换 $h_{\text{co}}(\varphi ):(h^A:\mathcal{C}\to \mathbf{Set})\Rightarrow (h^{A^{\prime }}:\mathcal{C}\to \mathbf{Set})$。 我们可以简单地看出，下图是交换的对于任意 $\psi \in {\mathrm{Mor}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$，于是 $h_{\text{co}}(\varphi )$ 的确是一自然变换。

图 1：$h_{\text{co}}(\varphi )$ 的自然性

　　 类似地，我们可以定义逆变 $\mathrm{Hom}$ 函子所构成的范畴 ${\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\text{op}}}$，唯一不同的一点是我们需要给出一个相反的映射 $\varphi :B\to B^{\prime }$ 来使得下图交换。注意下图中 $h_B(-)$ 是一逆变函子，所以关于图交换的结论是对于 $\psi :Y\to X$ 而言的。

图 2：$h_{\text{ct}}(\varphi )$ 的自然性

　　 如上定义的 ${\mathbf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\text{op}}}$ 在代数几何中也被记为 $\mathbf{PSh}(\mathcal{C})$。

　　 证明。 对于自然变换 $\mathrm{\Phi }:h^A\Rightarrow F$，我们将它映射到 $u=m(\mathrm{\Psi })={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{id}}_A)$（注意此处 ${\mathrm{\Phi }}_A$ 是 $\mathbf{Set}$ 中 $h^A(A)\to F(A)$ 的态射，即一个映射）；对于 $v\in F(A)$，将它映射到如 ${\mathrm{\Psi }}_X(f:{\mathrm{Mor}}_{\mathcal{C}}(A,X))=F(f)(v)$ 定义的自然变换 $n(v)=\mathrm{\Psi }$。以下练习证明了 $m\circ n=\mathrm{id}$ 和 $n\circ m=\mathrm{id}$，即得所需双射。另一部分的证明留作练习。

　　 解答。

• $m\circ n$：若 $v\in F(A)$，则 $n(v)=\mathrm{\Psi }$，其中 ${\mathrm{\Psi }}_X(f)=F(f)(v)$，我们有 $m(\mathrm{\Psi })={\mathrm{\Psi }}_A({\mathrm{id}}_A)=F(i{d}_A)(v)=i{d}_{F(A)}(v)=v$；
• $n\circ m$：若 $\mathrm{\Phi }\in \mathrm{Nat}(h^A,F)$，则下图对任意 $\varphi :X^{\prime }\to Y^{\prime }$ 和 $\psi :A\to X^{\prime }$ 交换，
  
  图 3：此图交换
  即 $F(\varphi )({\mathrm{\Phi }}_{X^{\prime }}(\psi ))={\mathrm{\Phi }}_{Y^{\prime }}(h^A(\varphi )(\psi ))$ 成立。取 $X^{\prime }=A,Y^{\prime }=X,\varphi =f:A\to X,\psi ={\mathrm{id}}_A:A\to A$，则有 $F(f)({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{id}}_A))={\mathrm{\Phi }}_X(h^A(f)({\mathrm{id}}_A))={\mathrm{\Phi }}_X(f\circ {\mathrm{id}}_A)={\mathrm{\Phi }}_X(f)$。此时计算 $(n\circ m)(\mathrm{\Phi })$，$m(\mathrm{\Phi })={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{id}}_A)=u$，$n(u)=\mathrm{\Psi }$，其中 ${\mathrm{\Psi }}_X(f)=F(f)({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{id}}_A))$。据前文，有 ${\mathrm{\Phi }}_X(f)=F(f)({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{id}}_A))={\mathrm{\Psi }}_X(f)$，即得 $\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Phi }$。