贡献者: JierPeter
环 $R$ 的理想$I$,是一种 “正规子环1”,即它使得商集 $R/I$ 能自然成环,就像正规子群的作用一样。之所以不叫正规子环,是因为理想最初来自代数数论,库默尔(Ernst Eduard Kummer)定义了一个他称为 “理想数” 的概念,证明了费马大定理在 $n < 100$ 时大多数情况成立。后来,戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)发现,库默尔定义的理想数,正是能诱导出商环的 “正规子环”,于是直接借用了 “理想数” 的名字,将其命名为 “理想”。
给定环 $R$ 和它的子环 $I$,那么 $I$ 要满足什么条件才能使得 $R/I$ 成环呢?
显然,$I$ 关于环的加法,得构成一个正规子群,而这是天然满足的,因为环的加法群是阿贝尔群,而阿贝尔群的一切子群都是正规子群。
$R/I$ 中的每个元素,被定义为 $I$ 作为子群的陪集。元素 $a\in R$ 所在的陪集就是 $a+I$。陪集之间显然可以进行加法运算:
这满足诱导运算的要求:$a$ 的陪集加 $b$ 的陪集,等于 $a$ 加 $b$ 的陪集。
为了让 $R/I$ 诱导一个环乘法,我们还需要:$a$ 的陪集乘 $b$ 的陪集,等于 $a$ 乘 $b$ 的陪集。也就是说,
这就意味着 $aI+Ib\in I$,对于任意的 $a, b\in R$ 都成立。那就是说,对于任意的 $a, b\in R$,都有 $aI\in I$ 和 $Ib\in I$ 才行(注意 $a, b$ 中有一个是幺元的情况)。
如果 $I$ 是 $R$ 的子环,并且对于任意的 $a\in R$,都有 $aI, Ia\in I$,那么我们就可以利用 $R$ 的环运算,诱导出 $R/I$ 上的环运算。这样的 $I$ 就是我们要的理想。
类似地,可以定义环的右理想,即满足右吸收律:$\forall r\in R$,有 $Ir\in I$。
如果一个子环既是左理想也是右理想,那么称它为一个双边理想(2-sided ideal),简称理想(ideal)。另外,如果一个理想不是环本身,则称其为一个真理想。
吸收律的一个直接推论是,如果一个理想包含乘法单位元,那么这个理想就是环本身。
这个习题的结论在将来类比素理想和素元素能清晰展示这两个概念之间的相似之处。
例 1 中定义的 $\mathbb{Z}_n$ 相当于整数词条所描述的 “具有 $n$ 个钟点的钟表”。
理想和商环的概念能帮助理解多项式环的结构。在讨论多项式环以前,我们要先定义一个概念:
显然,超越元的不同多项式的值彼此不相等,也就是说,超越元的多项式可以和多项式本身进行一一对应,或者说超越元的多项式和多项式环是同构的。但是代数元的不同多项式有可能值相同。我们依然用 $R[a]$ 来表示 $a$ 的所有多项式的值的集合,其中多项式的系数取遍 $R$。
换言之,当 $a$ 是超越元时,$R[a]\cong R[x]$。
1. ^ 要强调的是,理想不一定有乘法单位元,而本书默认环都有乘法单位元,因此不能说理想是子环。
2. ^ 将在以后讨论。
3. ^ 如果多项式 $g$ 整除 $f$,意味着存在一个多项式 $h$,使得 $f=gh$
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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