贡献者： ACertainUser
1
对于一块材料，我们很容易用截面法分析出材料某一截面上的受力情况；但是，截面法只能告诉我们整个截面的 “总内力”，却不能告诉我们截面上 “具体一点处” 的受力。事实上，在不少情况下，材料各处的受力是不一样的。
例 1 弯曲的棍
图 1：弯曲的棍
如图 1 所示，可以直观地看出，棍上部与下部的变形程度不同：上方区域被压缩，而下方区域被拉伸。在这种情况（以及其他许多情况）下，材料各处的应力不同，不能再笼统地说 “材料所受的应力为...”，至少得说 “材料...处的应力为...”。
1. 微元体与应力
为了更好地处理材料某处的受力，类似于微积分中 “划分小块体积” 的思想，我们假定材料是由无数小正方形块组成的2，每一小块被称作 “微元体 Element”。这样，材料每一点处的受力就转换为相应处一个微元体的受力。
图 2：三维微元体。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials
应力
为了更好地刻画微元体受力的 “局域性”，类似于密度 $\rho= \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{V}} , \,\mathrm{d}{m} = \rho \,\mathrm{d}{V} $ 等概念，我们引入应力的概念。
定义 1 正应力、切应力、体力
微元体所受的力可以分为两类，一类作用在微元体的表面上，另一类作用在微元体的体积内。作用在表面上的力源于作用在宏观物体表面的力（感觉有点像废话！），例如杆件之间互相支持而产生的拉、压力等；而作用在体积上的力源于作用在宏观物体内部的力，例如杆件的重力等。
在微元体的一个面上，定义垂直于表面的 “力” 为正应力 $\sigma$、平行于表面的 “力” 为切应力 $\tau$。3
正应力：$$\sigma_{ii} = \frac{\mathrm{d}{F_{ii}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ii} = \sigma_{ii} \,\mathrm{d}{A} ~.$$
切应力：$$\tau_{ij}= \frac{\mathrm{d}{F_{ij}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ij} = \tau_{ij} \,\mathrm{d}{A} ~.$$
在微元体的体内，定义体力：$f_i = \frac{\mathrm{d}{F_i}}{\mathrm{d}{V}} $
$ \,\mathrm{d}{F} _{ij}$ 表示微元体这个面上 “分担” 的内力，$ \,\mathrm{d}{A} $ 表示这个微元体这个面的表面积，$ \,\mathrm{d}{V} $ 表示微元体的体积。类似于微积分的思想，当微元体足够小时，微元体表面上不同处的受力大小也趋于一致。
i 表示这个力的作用面的法方向，j 表示这个力的方向4。
三维情况
如图 2 ，微元体的每一个面上可以受 $3$ 个力，包括一个垂直于表面的力与两个平行于表面的力。看起来，一个微元体的表面上共有 $3\times6=18$ 个力；但考虑到微元体处于静力平衡（子节 6 ），事实上一个微元体上只有 6 个相互独立的力。具体的论证过程比较繁琐，按惯例留给读者作为练习。
未完成：补充证明
一个微元体的受力情况可以记为一个三阶矩阵（也称应力张量）。应力张量完整地描述了一点处物体的应力。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\sigma}} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{bmatrix}~.
\end{equation}
这个矩阵是对称的，即 $\tau_{xy} = \tau_{yx}, \tau_{xz}=\tau_{zx}, \tau_{yz}=\tau_{zy}$。六个独立的力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy},\sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$。
二维情况
图 3：二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials
二维情况下的微元体更为简单。每一个面上只受一个正应力与一个切应力，共受 $2\times4=8$ 个力，但只有 $3$ 个相互独立的力。此时受力情况可以记为一个二阶矩阵，这个矩阵也是对称的：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\sigma}} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} & \sigma_{yy}\\
\end{bmatrix}~.
\end{equation}
这三个力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$。
2. 应力平衡方程
图 4：$x$ 方向上的力
对一个微元体运用力平衡定律，可以得到一些有趣的结论。在 $x$ 方向上，我们列出力的平衡方程：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&(\sigma_{xx} + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} - \sigma_{xx}) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z}
+ (\tau_{yx} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} - \tau_{yx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{z} \\
&+ (\tau_{zx} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} - \tau_{zx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
+ f_x \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{=} 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
别看形式很复杂，其实就是把各个应力都加起来。化简后得
$$
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + f_x = 0~.
$$
该结论可以推广至 $y$, $z$ 方向，因此我们一共可以列出 $3$ 个应力平衡方程。
如果约定以 $1$ 代表 $x$ 轴，$2$ 代表 $y$ 轴，$3$ 代表 $z$ 轴，那该结论可以写为更优雅、紧凑的形式：
定理 1 应力平衡方程
$$
\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_i} + f_j=0~ \qquad (j=1,2,3)~.
$$
图 5：总表面力（应力）等于总体力
如果你对数学与物理具有足够的热枕与敏锐，那么还有另一种简洁的方式说明应力平衡定律：如图 5 所示，我们在物体中任选取一个体积。由于这个体积受力平衡，所以这个区域受的总表面力（应力）等于总体力。
$$\oint \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} S + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$
运用散度定理
$$\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \,\mathrm{d}{V} + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$
由于体积是任意选取的，因此
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} + \boldsymbol{\mathbf{f}} = 0~.$$
该结论形式上与我们之前得到的平衡方程是一致的，尽管应力实际上是张量而不是简单的矢量，因此具体的数学过程更为复杂。
3. 应力的宏观效果
以上讨论了一个微元体的受力。那微元体上的应力是如何和截面上的总内力联系起来呢？答案是总内力等于各微元体应力的累和。
例如，宏观拉力 $F = \iint \sigma_x dA~.$
图 6：拉力
力偶 $F = \iint y\sigma_x dA~.$
图 7：力偶
此外，叠加原理依旧适用。假如某截面处的内力既包括拉力、又包括力偶，那某点处的内应力是拉力、力偶单独存在时的内应力之和：
图 8：叠加原理.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials
那么反过来，我们怎么从截面上的总内力得到各微元体上的应力、即截面上 “具体一点处” 的受力呢？很遗憾，这没有普适的简单方法；但材料力学已经分析了材料的几类常见受力情况，并建立了相应模型，运用这些模型（俗称套公式）就可以计算相应的应力。
1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与陆万明的《弹性力学》
2. ^ 这要求材料是 “无限可分” 的，并且每一小块还能维持物理性质不变。这当然是不“现实”的，不过在初步的学习中，这是一个好的简化近似。
3. ^ 有时不在符号上区分 $\sigma$ 与 $\tau$，并统称为应力
4. ^ 不同作者可能选取不同的约定
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
