应力

                     

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   对于一块材料,我们很容易用截面法分析出材料某一截面上的受力情况;但是,截面法只能告诉我们整个截面的 “总内力”,却不能告诉我们截面上 “具体一点处” 的受力.事实上,在不少情况下,截面各处的受力是不一样的.

1. 微元体与应力

   为了更好地处理截面上一处的受力,类似于微积分中 “划分小块体积” 的思想,我们假定材料是由无数小正方形块组成的2,每一小块被称作 “微元体 Element”.这样,材料每一点处的受力就转换为相应处一个微元体的受力.

图
图 1:三维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

应力

   为了更好地刻画微元体受力的 “局域性”,类似于密度 $\rho= \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{V}} , \,\mathrm{d}{m} = \rho \,\mathrm{d}{V} $ 等概念,我们引入应力的概念.

定义 1 正应力与切应力

   在微元体的一个面上,定义垂直于表面的 “力” 为正应力 $\sigma$、平行于表面的 “力” 为切应力 $\tau$.3

   正应力:$$\sigma_{ii} = \frac{\mathrm{d}{F_{ii}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ii} = \sigma_{ii} \,\mathrm{d}{A} $$

   切应力:$$\tau_{ij}= \frac{\mathrm{d}{F_{ij}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ij} = \tau_{ij} \,\mathrm{d}{A} $$

   $ \,\mathrm{d}{F} _{ij}$ 表示微元体这个面上 “分担” 的内力,$ \,\mathrm{d}{A} $ 表示这个微元体这个面的表面积.类似于微积分的思想,当微元体足够小时,微元体表面上不同处的受力大小也趋于一致.

   i 表示这个力的作用面的法方向,j 表示这个力的方向4

三维情况

   如图 1 ,微元体的每一个面上可以受 3 个力,包括一个垂直于表面的力与两个平行于表面的力.

   看起来,一个微元体上共有 $3\times6=18$ 个力;但考虑到微元体处于静力平衡(子节 5 ),可以证明事实上一个微元体上只有 6 个相互独立的力

未完成:补充证明

   一个微元体的受力情况可以记为一个三阶矩阵,注意这个矩阵是对称的:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix} \end{equation}
这六个力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy},\sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$.

二维情况

图
图 2:二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   二维情况下的微元体更为简单.每一个面上只受一个正应力与一个切应力,共受 $2\times4=8$ 个力,但只有 3 个相互独立的力.此时受力情况可以记为一个二阶矩阵,这个矩阵也是对称的:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}\\ \end{bmatrix} \end{equation}
这三个力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$.

2. 应力的宏观效果

   以上讨论了一个微元体的受力.那微元体上的应力是如何和截面上的总内力联系起来呢?答案是总内力等于各微元体应力的累和.

   例如,宏观拉力 $F = \iint \sigma_x dA$

图
图 3:拉力

   力偶 $F = \iint y\sigma_x dA$

图
图 4:力偶

   此外,叠加原理依旧适用.假如某截面处的内力既包括拉力、又包括力偶,那某点处的内应力是拉力、力偶单独存在时的内应力之和:

图
图 5:叠加原理.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   那么反过来,我们怎么从截面上的总内力得到各微元体上的应力、即截面上 “具体一点处” 的受力呢?很遗憾,这没有普适的简单方法;但材料力学已经分析了材料的几类常见受力情况,并建立了相应模型,运用这些模型(俗称套公式)就可以计算相应的应力.


1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials
2. ^ 这要求材料是 “无限可分” 的,并且每一小块还能维持物理性质不变.这当然是不 “现实”的,不过在初步的学习中,这是一个好的简化近似.
3. ^ 有时不在符号上区分 $\sigma$ 与 $\tau$,并统称为应力
4. ^ 不同作者可能选取不同的约定


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