应力

                     

贡献者: ACertainUser

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   对于一块材料,我们很容易用截面法分析出材料某一截面上的受力情况;但是,截面法只能告诉我们整个截面的 “总内力”,却不能告诉我们截面上 “具体一点处” 的受力。事实上,在不少情况下,材料各处的受力是不一样的。

例 1 弯曲的棍

图
图 1:弯曲的棍

   如图 1 所示,可以直观地看出,棍上部与下部的变形程度不同:上方区域被压缩,而下方区域被拉伸。在这种情况(以及其他许多情况)下,材料各处的应力不同,不能再笼统地说 “材料所受的应力为...”,至少得说 “材料...处的应力为...”。

1. 微元体与应力

   为了更好地处理材料某处的受力,类似于微积分中 “划分小块体积” 的思想,我们假定材料是由无数小正方形块组成的2,每一小块被称作 “微元体 Element”。这样,材料每一点处的受力就转换为相应处一个微元体的受力。

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图 2:三维微元体。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

应力

   为了更好地刻画微元体受力的 “局域性”,类似于密度 $\rho= \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{V}} , \,\mathrm{d}{m} = \rho \,\mathrm{d}{V} $ 等概念,我们引入应力的概念。

定义 1 正应力、切应力、体力

   微元体所受的力可以分为两类,一类作用在微元体的表面上,另一类作用在微元体的体积内。作用在表面上的力源于作用在宏观物体表面的力(感觉有点像废话!),例如杆件之间互相支持而产生的拉、压力等;而作用在体积上的力源于作用在宏观物体内部的力,例如杆件的重力等。

   在微元体的一个面上,定义垂直于表面的 “力” 为正应力 $\sigma$、平行于表面的 “力” 为切应力 $\tau$。3

   正应力:$$\sigma_{ii} = \frac{\mathrm{d}{F_{ii}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ii} = \sigma_{ii} \,\mathrm{d}{A} ~.$$

   切应力:$$\tau_{ij}= \frac{\mathrm{d}{F_{ij}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ij} = \tau_{ij} \,\mathrm{d}{A} ~.$$

   在微元体的体内,定义体力:$f_i = \frac{\mathrm{d}{F_i}}{\mathrm{d}{V}} $

   $ \,\mathrm{d}{F} _{ij}$ 表示微元体这个面上 “分担” 的内力,$ \,\mathrm{d}{A} $ 表示这个微元体这个面的表面积,$ \,\mathrm{d}{V} $ 表示微元体的体积。类似于微积分的思想,当微元体足够小时,微元体表面上不同处的受力大小也趋于一致。

   i 表示这个力的作用面的法方向,j 表示这个力的方向4

三维情况

   如图 2 ,微元体的每一个面上可以受 $3$ 个力,包括一个垂直于表面的力与两个平行于表面的力。看起来,一个微元体的表面上共有 $3\times6=18$ 个力;但考虑到微元体处于静力平衡(子节 6 ),事实上一个微元体上只有 6 个相互独立的力。具体的论证过程比较繁琐,按惯例留给读者作为练习

未完成:补充证明

   一个微元体的受力情况可以记为一个三阶矩阵(也称应力张量)。应力张量完整地描述了一点处物体的应力。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix}~. \end{equation}

   这个矩阵是对称的,即 $\tau_{xy} = \tau_{yx}, \tau_{xz}=\tau_{zx}, \tau_{yz}=\tau_{zy}$。六个独立的力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy},\sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$。

二维情况

图
图 3:二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   二维情况下的微元体更为简单。每一个面上只受一个正应力与一个切应力,共受 $2\times4=8$ 个力,但只有 $3$ 个相互独立的力。此时受力情况可以记为一个二阶矩阵,这个矩阵也是对称的:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}\\ \end{bmatrix}~. \end{equation}
这三个力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$。

2. 应力平衡方程

图
图 4:$x$ 方向上的力

   对一个微元体运用力平衡定律,可以得到一些有趣的结论。在 $x$ 方向上,我们列出力的平衡方程:

\begin{equation} \begin{aligned} &(\sigma_{xx} + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} - \sigma_{xx}) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} + (\tau_{yx} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} - \tau_{yx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{z} \\ &+ (\tau_{zx} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} - \tau_{zx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + f_x \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{=} 0~. \end{aligned} \end{equation}
别看形式很复杂,其实就是把各个应力都加起来。化简后得 $$ \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + f_x = 0~. $$ 该结论可以推广至 $y$, $z$ 方向,因此我们一共可以列出 $3$ 个应力平衡方程。

   如果约定以 $1$ 代表 $x$ 轴,$2$ 代表 $y$ 轴,$3$ 代表 $z$ 轴,那该结论可以写为更优雅、紧凑的形式:

定理 1 应力平衡方程

   $$ \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_i} + f_j=0~ \qquad (j=1,2,3)~. $$

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图 5:总表面力(应力)等于总体力

   如果你对数学与物理具有足够的热枕与敏锐,那么还有另一种简洁的方式说明应力平衡定律:如图 5 所示,我们在物体中任选取一个体积。由于这个体积受力平衡,所以这个区域受的总表面力(应力)等于总体力。 $$\oint \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} S + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$ 运用散度定理 $$\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \,\mathrm{d}{V} + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$ 由于体积是任意选取的,因此 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} + \boldsymbol{\mathbf{f}} = 0~.$$ 该结论形式上与我们之前得到的平衡方程是一致的,尽管应力实际上是张量而不是简单的矢量,因此具体的数学过程更为复杂。

3. 应力的宏观效果

   以上讨论了一个微元体的受力。那微元体上的应力是如何和截面上的总内力联系起来呢?答案是总内力等于各微元体应力的累和。

   例如,宏观拉力 $F = \iint \sigma_x dA~.$

图
图 6:拉力

   力偶 $F = \iint y\sigma_x dA~.$

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图 7:力偶

   此外,叠加原理依旧适用。假如某截面处的内力既包括拉力、又包括力偶,那某点处的内应力是拉力、力偶单独存在时的内应力之和:

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图 8:叠加原理.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   那么反过来,我们怎么从截面上的总内力得到各微元体上的应力、即截面上 “具体一点处” 的受力呢?很遗憾,这没有普适的简单方法;但材料力学已经分析了材料的几类常见受力情况,并建立了相应模型,运用这些模型(俗称套公式)就可以计算相应的应力。


1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与陆万明的《弹性力学》
2. ^ 这要求材料是 “无限可分” 的,并且每一小块还能维持物理性质不变。这当然是不 “现实”的,不过在初步的学习中,这是一个好的简化近似。
3. ^ 有时不在符号上区分 $\sigma$ 与 $\tau$,并统称为应力
4. ^ 不同作者可能选取不同的约定


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