斜面应力公式

贡献者： ACertainUser

预备知识　应力

图 1：斜切面

n

上的应力

σ_{ν}

。

n

是面的单位法向量

　　在应力中，我们已经处理了微元体上的应力问题。那么新的问题来了，如图 1 所示，假设我们已经在某个坐标系中算出了微元体的各个应力，如果我们在微元体中取一个切面，那么要如何计算这个切面上的应力？

　　 跨界大牛柯西给出了一个漂亮的回答，因此该公式也称柯西应力公式。柯西应力公式写成矩阵乘法的形式：

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} σ_{ν, 1} \\ σ_{ν, 2} \\ σ_{ν, 3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ_{11} & τ_{12} & τ_{13} \\ τ_{21} & σ_{22} & τ_{23} \\ τ_{31} & τ_{32} & σ_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

还可以写成更紧凑的张量乘法形式，

\begin{matrix} (2) & σ_{ν} = σ \cdot n, \end{matrix}

或指标形式

\begin{matrix} (3) & (σ_{ν})_{i} = \sum_{j} σ_{i j} n_{j} . \end{matrix}

因为已经被投影，此处的

σ_{ν}

已经是一个矢量，而不是原先的张量。此外，斜面上的应力

σ_{ν}

不一定垂直于该平面，而可以朝任意方向。该公式的论证方法大致是在三角形台中运用力的平衡方程，此处按下不表。

图 2：

σ_{ν}

中各个分量的含义

　　回过头来，我们思考一下，我们依据上文方法写出的 $σ_{ν} = (\begin{matrix} σ_{ν, 1} \\ σ_{ν, 2} \\ σ_{ν, 3} \end{matrix})$ 中各个分量的含义是什么？显然（但又有点让人困惑），各个分量仍基于原先的坐标系，如图 2 所示。

图 3：

σ_{ν}

的斜面表示

　　我们写出斜面所受应力，总希望他和斜面有点关系（而不是原先的坐标系）；因此，我们得想办法把它改写为和斜面有关系的、更 “直观” 的形式，例如表达为沿斜面法向与切向的应力。

　　只需再做一步简单的向量投影就能实现这个目的：法向应力 $σ_{n}$ 即是 $σ_{ν}$ 在 $n$ 上的投影：

\begin{matrix} (4) & σ_{n} = (σ_{ν} \cdot n) \hat{n} . \end{matrix}

他的数值大小写成张量乘法的形式

\begin{matrix} (5) & σ_{n} = n \cdot σ \cdot n σ_{n} = \sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} n_{i} n_{j}, \end{matrix}

而切向应力就是

\begin{matrix} (6) & τ = σ_{ν} - σ_{n} . \end{matrix}

　　至此我们已经解决了文章开头的问题，剩下的只是繁琐的数学计算。不过，我们还可以额外思考另一个问题：如式 1 所示，柯西斜面应力公式相当于一个矩阵乘向量的矩阵乘法。 $σ_{ν} = σ \cdot n .$ 如果你的数理直觉足够敏锐，就会意识到这里存在一个矩阵的本征值与本征向量问题：存不存在一种 $n_{0}$ ，使 $σ \cdot n_{0} = λ n_{0} .$ ？更进一步的思考后，你会发现如果 $n_{0}$ 存在，那么 $σ_{ν} = λ n_{0}$ 将平行于 $n_{0}$ ，也即在这个面上将只有正应力。那么， $n_{0}$ 将是一个很特殊的平面。到这一步，你其实就已经想明白了主应力问题。

1. ^ 本文参考了陆明万的《弹性力学》。

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