贡献者： ACertainUser
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图 1：斜切面 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 上的应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$。$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 是面的单位法向量
在应力中，我们已经处理了微元体上的应力问题。那么新的问题来了，如图 1 所示，假设我们已经在某个坐标系中算出了微元体的各个应力，如果我们在微元体中取一个切面，那么要如何计算这个切面上的应力？
跨界大牛柯西给出了一个漂亮的回答，因此该公式也称柯西应力公式。柯西应力公式写成矩阵乘法的形式：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\sigma_{\nu,1}\\
\sigma_{\nu,2}\\
\sigma_{\nu,3}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \tau_{12} & \tau_{13} \\
\tau_{21} & \sigma_{22} & \tau_{23} \\
\tau_{31} & \tau_{32} & \sigma_{33} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
n_1\\
n_2\\
n_3\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
还可以写成更紧凑的张量乘法形式，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu = \sigma \cdot n ~,
\end{equation}
或指标形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu)_i = \sum_j \sigma_{ij} n_j~.
\end{equation}
因为已经被投影，此处的 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 已经是一个矢量，而不是原先的张量。此外，斜面上的应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 不一定垂直于该平面，而可以朝任意方向。该公式的论证方法大致是在三角形台中运用力的平衡方程，此处按下不表。
图 2：$\sigma_\nu$ 中各个分量的含义
回过头来，我们思考一下，我们依据上文方法写出的 $\sigma_\nu=
\begin{pmatrix}
\sigma_{\nu,1}\\
\sigma_{\nu,2}\\
\sigma_{\nu,3}\\
\end{pmatrix}$ 中各个分量的含义是什么？显然（但又有点让人困惑），各个分量仍基于原先的坐标系，如图 2 所示。
图 3：$\sigma_\nu$ 的斜面表示
我们写出斜面所受应力，总希望他和斜面有点关系（而不是原先的坐标系）；因此，我们得想办法把它改写为和斜面有关系的、更 “直观” 的形式，例如表达为沿斜面法向与切向的应力。
只需再做一步简单的向量投影就能实现这个目的：法向应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n$ 即是 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 上的投影：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n = ( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu \cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} ) \hat{ \boldsymbol{\mathbf{n}} }~.
\end{equation}
他的数值大小写成张量乘法的形式
\begin{equation}
\sigma_n = n \cdot \sigma \cdot n
\qquad \sigma_n =\sum_i \sum_j \sigma_{ij} n_i n_j~,
\end{equation}
而切向应力就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu - \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n~.
\end{equation}
至此我们已经解决了文章开头的问题，剩下的只是繁琐的数学计算。不过，我们还可以额外思考另一个问题：如式 1 所示，柯西斜面应力公式相当于一个矩阵乘向量的矩阵乘法。
$$\sigma_\nu = \sigma \cdot n~.$$
如果你的数理直觉足够敏锐，就会意识到这里存在一个矩阵的本征值与本征向量问题：存不存在一种 $n_0$，使
$$
\sigma \cdot n_0 = \lambda n_0~.
$$？
更进一步的思考后，你会发现如果 $n_0$ 存在，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu = \lambda \boldsymbol{\mathbf{n}} _0$ 将平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} _0$，也即在这个面上将只有正应力。那么，$n_0$ 将是一个很特殊的平面。到这一步，你其实就已经想明白了主应力问题。
1. ^ 本文参考了陆明万的《弹性力学》。
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