斜面应力公式

                     

贡献者: ACertainUser

预备知识 应力

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图 1:斜切面 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 上的应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$。$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 是面的单位法向量

   在应力中,我们已经处理了微元体上的应力问题。那么新的问题来了,如图 1 所示,假设我们已经在某个坐标系中算出了微元体的各个应力,如果我们在微元体中取一个切面,那么要如何计算这个切面上的应力?

   跨界大牛柯西给出了一个漂亮的回答,因此该公式也称柯西应力公式。柯西应力公式写成矩阵乘法的形式:

\begin{equation} \begin{pmatrix} \sigma_{\nu,1}\\ \sigma_{\nu,2}\\ \sigma_{\nu,3}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \tau_{12} & \tau_{13} \\ \tau_{21} & \sigma_{22} & \tau_{23} \\ \tau_{31} & \tau_{32} & \sigma_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ \end{pmatrix}~. \end{equation}
还可以写成更紧凑的张量乘法形式,
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu = \sigma \cdot n ~, \end{equation}
或指标形式
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu)_i = \sum_j \sigma_{ij} n_j~. \end{equation}
因为已经被投影,此处的 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 已经是一个矢量,而不是原先的张量。此外,斜面上的应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 不一定垂直于该平面,而可以朝任意方向。该公式的论证方法大致是在三角形台中运用力的平衡方程,此处按下不表。

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图 2:$\sigma_\nu$ 中各个分量的含义

   回过头来,我们思考一下,我们依据上文方法写出的 $\sigma_\nu= \begin{pmatrix} \sigma_{\nu,1}\\ \sigma_{\nu,2}\\ \sigma_{\nu,3}\\ \end{pmatrix}$ 中各个分量的含义是什么?显然(但又有点让人困惑),各个分量仍基于原先的坐标系,如图 2 所示。

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图 3:$\sigma_\nu$ 的斜面表示

   我们写出斜面所受应力,总希望他和斜面有点关系(而不是原先的坐标系);因此,我们得想办法把它改写为和斜面有关系的、更 “直观” 的形式,例如表达为沿斜面法向与切向的应力。

   只需再做一步简单的向量投影就能实现这个目的:法向应力 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n$ 即是 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 上的投影:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n = ( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu \cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} ) \hat{ \boldsymbol{\mathbf{n}} }~. \end{equation}
他的数值大小写成张量乘法的形式
\begin{equation} \sigma_n = n \cdot \sigma \cdot n \qquad \sigma_n =\sum_i \sum_j \sigma_{ij} n_i n_j~, \end{equation}
而切向应力就是
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu - \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _n~. \end{equation}

   至此我们已经解决了文章开头的问题,剩下的只是繁琐的数学计算。不过,我们还可以额外思考另一个问题:如式 1 所示,柯西斜面应力公式相当于一个矩阵乘向量的矩阵乘法。 $$\sigma_\nu = \sigma \cdot n~.$$ 如果你的数理直觉足够敏锐,就会意识到这里存在一个矩阵的本征值与本征向量问题:存不存在一种 $n_0$,使 $$ \sigma \cdot n_0 = \lambda n_0~. $$? 更进一步的思考后,你会发现如果 $n_0$ 存在,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} _\nu = \lambda \boldsymbol{\mathbf{n}} _0$ 将平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} _0$,也即在这个面上将只有正应力。那么,$n_0$ 将是一个很特殊的平面。到这一步,你其实就已经想明白了主应力问题。


1. ^ 本文参考了陆明万的《弹性力学》。


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