贡献者： addis
未完成：首先说明，一般来说两次旋转是不对易的，所以旋转并不能表示为矢量。但是经过以下分析，微小旋转可以表示为矢量。
1. 刚体的瞬时转轴
当刚体绕某个固定点做任意转动时，我们在每个时刻仍然能找到一个瞬时转轴以及沿转轴的瞬时角速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $。
定理 1 刚体的瞬时转轴
若刚体绕某个固定点做任意转动，任意时刻都存在过该点的一条直线，使得刚体上任意落在直线上的点的（瞬时）速度为零，且任意刚体上任意速度为零的点都落在直线上。我们把这条直线叫做刚体的瞬时转轴。如果某时刻刚体不是静止的，那么此时瞬时转轴就是唯一的。
根据该定理，如果刚体不静止，我们只需要在某时刻找到刚体上瞬时速度为 0 的任意两个不同点，就可以过这两点作出瞬时转轴，并确保该直线上的所有点瞬时速度都为 0。
例 1 进动陀螺的瞬时转轴
在陀螺进动的例子（例 1 ）中，我们可能会认为陀螺的瞬时转轴就是陀螺的对称轴。但陀螺的轴时时刻刻都在运动，除了与地面接触的点外，任意一点的瞬时速度都不为 0。所以进动陀螺的对称轴并不是瞬时转轴。
假设陀螺的自转和进动的方向相同（都是顺时针或逆时针），我们可以知道真正的瞬时转轴同样经过其对称轴与地面的交点，但会在对称轴的上方。我们只需要找到陀螺圆盘表面上瞬时速度为 0 的一点即可求出瞬时转轴的倾角。具体计算见例 2 。
2. 角速度的矢量相加
我们首先约定以下的黑体字母表示几何矢量而非坐标，与参考系无关。在 $S'$ 参考系中，刚体绕原点以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} '$ 旋转，而 $S'$ 参考系相对于 $S$ 参考系（它们原点重合）绕原点以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r$ 旋转，那么可以证明刚体相对于 $S$ 参考系的角速度矢量就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r~.
\end{equation}
证明：可以直接使用 “速度的参考系变换” 中的式 1 ：设某时刻刚体上任意一点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，那么该点在 $S'$ 系中速度为（式 5 ）$ \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $，在 $S$ 系中速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $。而该时刻 $S'$ 系中位于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的固定点相对于 $S$ 系的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $。于是代入 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}}
= ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
该式对任何 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 都成立，所以
式 1 显然成立。
例 2 进动陀螺的角速度
例 1 中，令陀螺的对称轴在 $S'$ 系中静止，但与 $z$ 轴正方向有一锐角夹角。陀螺相对 $S'$ 系绕对称轴以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} '$ 旋转。再令 $S'$ 绕 $S$ 关于 $z$ 轴旋转的角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r$ 指向 $z$ 轴正方向，那么在 $S$ 系中，陀螺的角速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r~,
\end{equation}
其方向就是陀螺相对于 $S$ 系的瞬时转轴的方向。根据矢量加法的
平行四边形法则，瞬时转轴的确比陀螺对称轴上仰一些。
如果把陀螺的进动取反方向，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r$ 则指向 $-z$ 方向，得到的瞬时转轴就会比陀螺对称轴下倾一些。
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