刚体的瞬时转轴、角速度的矢量相加

                     

贡献者: addis; liboybo

预备知识 刚体,速度的参考系变换

  

未完成:首先说明,一般来说两次旋转是不对易的,所以旋转并不能表示为矢量.但是经过以下分析,微小旋转可以表示为矢量.

1. 刚体的瞬时转轴

   当刚体绕某个固定点做任意转动时,我们在每个时刻仍然能找到一个经过该点的瞬时转轴以及沿转轴的瞬时角速度(矢量)$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $.

   某时刻瞬时转轴的定义是:该时刻刚体在内任意落在转轴上的点速度为零.事实上,我们只需要在某时刻找到刚体上瞬时速度为 0 的任意两个不同点,就可以过这两点作出瞬时转轴,并确保该直线上的所有点瞬时速度都为 0.

例 1 进动陀螺的瞬时转轴

   在陀螺进动的例子(例 1 )中,我们可能会认为陀螺的瞬时转轴就是陀螺的轴.但陀螺的轴时时刻刻都在运动,除了与地面接触的点外,任意一点的瞬时速度都不为 0.所以此时陀螺的轴并不是瞬时转轴.

   注意陀螺的自转和进动的方向相同(都是顺时针或逆时针),我们可以知道真正的瞬时转轴同样经过与地面的接触点,但会在陀螺轴的上方.我们只需要找到陀螺圆盘表面上瞬时速度为 0 的一点即可求出瞬时转轴的倾角.具体计算见例 2

2. 角速度的叠加

   我们首先约定以下的黑体字母表示几何矢量而非坐标,与参考系无关.在 $S'$ 参考系中,刚体绕原点以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} '$ 旋转,而 $S'$ 参考系相对于 $S$ 参考系以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r$ 旋转,那么可以证明刚体相对于 $S$ 参考系的角速度矢量就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \end{equation}

   证明:可以直接使用 “速度的参考系变换” 中的式 5 :设某时刻刚体上任意一点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,那么该点在 $S'$ 系中速度为(式 5 )$ \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $,在 $S$ 系中速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $.而该时刻 $S'$ 系中位于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的固定点相对于 $S$ 系的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $.于是代入 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
该式对任何 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 都成立,所以式 1 显然成立.

例 2 进动陀螺的角速度

   例 1 中,令陀螺的转轴在 $S'$ 系中静止,且绕轴角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} '$,而 $S'$ 绕 $S$ 关于 $z$ 轴旋转的角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r$,那么在 $S$ 系中,陀螺的角速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _r \end{equation}


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