R-矩阵法（量子力学）

                     

贡献者： addis

　　¹本文使用原子单位制。$R$-矩阵法的中心思想是，若要解

在 $[0,\mathrm{\infty })$ 的散射态波函数（边界条件 $\psi (0)=0$），把 $[0,a]$ 内的波函数用一组正交归一基底展开，而在 $[a,\mathrm{\infty })$ 根据 $V(r)$ 的渐进形式写出近似的波函数，$a$ 越大，该近似越精确。最后在 $x=a$ 处，匹配波函数。

　　 在实际应用中，我们往往是在球坐标系中解径向方程（式 3 ），每个分波的径向哈密顿算符为

这和式 1 在数学上是相同的，所以为了简单起见下文还是使用前者。

1. 构建正交归一基底

　　 一个算符是否为厄米算符与边界条件有关。例如

要证明厄米性，用分部积分法得 由于我们假设波函数在 $x=0$ 和无穷远处消失，则该式为零，说明 $H$ 是厄米的。但如果在有限区间 $[0,a]$ 中，则波函数的边界条件必须满足 $u(a)v^{\prime }(a)-u^{\prime }(a)v(a)=0$ 才能保证厄米性。

　　 但若边界条件不符合该要求，为了在 $[0,a]$ 内构造一组离散的正交归一基底，我们可以拼凑一个厄米算符。把式 4 修改积分区间并移项得

而又可以通过狄拉克 $\delta$ 函数表示为 所以无论波函数在 $x=a$ 端的边界条件如何，方括号中的算符都是厄米的。令布洛赫算符（Bloch operator）为 那么修正后的哈密顿算符（厄米算符）就是 $H+\mathcal{L}/(2m)$。于是本征方程为 本征值为 $k_i^2/2m$。于是实函数 ${\chi }_i(x)$ 就构成一组 $[0,a]$ 内的正交归一基底，满足 ${\int }_0^a{\chi }_i{\chi }_j\mathrm{d}x={\delta }_{ij}$。为了明确式 8 的意义，把式 8 左乘任意 ${\chi }_i$ 并在 $[0,a]$ 积分²得 这里使用了狄拉克符号表示积分。这组基底如何具体计算呢？首先还是要明确 $x=a$ 处的边界条件。一个简单的例子是令 $u(a)=0$，解 $H$ 的本征基底。这相当于解 $[0,a]$ 中的无限深势阱加上势能 $V(x)$。另一个简单的例子是把边界条件 $u(a)=0$ 改成 $u^{\prime }(a)=0$，也能得到一组基底。更妙地，也可以把这两组基底合并。可以验证这三组基底都满足式 9 即式 8 。

2. 散射态的展开

　　 求出区间 $[0,a]$ 的基底以后，就可以在该区间展开任意的散射态，散射态满足

令 代入并左乘 $2m{\chi }_i$ 并在 $[0,a]$ 积分得 这是一个其次线性方程组，可以解出坐标 $c_j$。其中 代入得

　　 由此可以证明一个有用的关系：$x=a$ 处的对数导数为（留做习题）

其中 $R(k^2)$ 就是 $R$-矩阵 事实上目前这只是一个数，即 $1\times 1$ 的矩阵。在多通道问题中才会成为真正的矩阵。通过对数导数，我们就可以匹配 $[a,\mathrm{\infty })$ 区间的散射态波函数。

3. 势能修正项

　　 容易证明，若给 $\mathcal{L}$ 的定义（式 7 ）加上一个任意实函数 $U(x)$，也可以使 $H+\mathcal{L}/(2m)$ 为厄米算符。事实上这相当于修改了 $H$ 中的势能 $V(x)$。有时候选取适当的 $U(x)$ 可以使基底 ${\chi }_i$ 变得更简单。按照同样的推导，式 14 和式 15 变为

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1. ^ 本文参考 [1] 12.7 节。
2. ^ 该积分实际上是在区间 $[0,a+ϵ]$ 积分然后令 $ϵ\to 0^{+}$，下同。

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[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed