R-矩阵法(量子力学)

                     

贡献者: addis

预备知识 球坐标系中的定态薛定谔方程

  1本文使用原子单位制.$R$-矩阵法的中心思想是,若要解

\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + V(x) \end{equation}
在 $[0, \infty)$ 的散射态波函数(边界条件 $\psi(0) = 0$),把 $[0,a]$ 内的波函数用一组正交归一基底展开,而在 $[a,\infty)$ 根据 $V(r)$ 的渐进形式写出近似的波函数,$a$ 越大,该近似越精确.最后在 $x=a$ 处,匹配波函数.

   在实际应用中,我们往往是在球坐标系中解径向方程(式 3 ),每个分波的径向哈密顿算符为

\begin{equation} H_l = -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \end{equation}
这和式 1 在数学上是相同的,所以为了简单起见下文还是使用前者.

1. 构建正交归一基底

   一个算符是否为厄米算符与边界条件有关.例如

\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + V(x) \end{equation}
要证明厄米性,用分部积分法得
\begin{equation} \int_{0}^{\infty} uHv \,\mathrm{d}{x} - \int_{0}^{\infty} vHu \,\mathrm{d}{x} = \left. -\frac{1}{2m}[uv' - u'v] \right\rvert _{0}^{+\infty} \end{equation}
由于我们假设波函数在 $x=0$ 和无穷远处消失,则该式为零,说明 $H$ 是厄米的.但如果在有限区间 $[0, a]$ 中,则波函数的边界条件必须满足 $u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = 0$ 才能保证厄米性.

   但若边界条件不符合该要求,为了在 $[0,a]$ 内构造一组离散的正交归一基底,我们可以拼凑一个厄米算符.把式 4 修改积分区间并移项得

\begin{equation} \left[\int_{0}^{a} uHv \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2m}u(a)v'(a) \right] - \left[\int_{0}^{a} vHu \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2m}u'(a)v(a) \right] = 0 \end{equation}
而又可以通过狄拉克 $\delta$ 函数 表示为
\begin{equation} \int_{0}^{a} u \left[H + \frac{\delta(x-a)}{2m} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right] v \,\mathrm{d}{x} - \int_{0}^{a} v \left[H + \frac{\delta(x-a)}{2m} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right] u \,\mathrm{d}{x} = 0 \end{equation}
所以无论波函数在 $x=a$ 端的边界条件如何,方括号中的算符都是厄米的.令布洛赫算符(Bloch operator)
\begin{equation} \mathscr L = \delta(x-a) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}
那么修正后的哈密顿算符(厄米算符)就是 $H + \mathscr L/(2m)$.于是本征方程为
\begin{equation} \left(H + \frac{\mathscr L}{2m} \right) \chi_j = \frac{k_j^2}{2m} \chi_j \end{equation}
本征值为 ${k_i^2}/{2m}$.于是实函数 $\chi_i(x)$ 就构成一组 $[0, a]$ 内的正交归一基底,满足 $\int_0^a \chi_i \chi_j \,\mathrm{d}{x} = \delta_{ij}$.为了明确式 8 的意义,把式 8 左乘任意 $\chi_i$ 并在 $[0,a]$ 积分2
\begin{equation} \left\langle \chi_i \middle| 2mH + \mathscr L \middle| \chi_j \right\rangle = k_i^2 \delta_{ij} \end{equation}
这里使用了狄拉克符号表示积分.这组基底如何具体计算呢?首先还是要明确 $x=a$ 处的边界条件.一个简单的例子是令 $u(a) = 0$,解 $H$ 的本征基底.这相当于解 $[0,a]$ 中的无限深势阱加上势能 $V(x)$.另一个简单的例子是把边界条件 $u(a) = 0$ 改成 $u'(a) = 0$,也能得到一组基底.更妙地,也可以把这两组基底合并.可以验证这三组基底都满足式 9 式 8

2. 散射态的展开

   求出区间 $[0,a]$ 的基底以后,就可以在该区间展开任意的散射态,散射态满足

\begin{equation} H\psi_k = \frac{k^2}{2m}\psi_k \end{equation}
\begin{equation} \psi_k = \sum_j c_j(k)\chi_j \end{equation}
代入并左乘 $2m\chi_i$ 并在 $[0,a]$ 积分得
\begin{equation} \sum_j \left(2mH_{ij} - \delta_{ij}k^2 \right) c_j = 0 \end{equation}
这是一个其次线性方程组,可以解出坐标 $c_j$.其中
\begin{equation} 2mH_{ij} = \left\langle \chi_i \middle| 2mH \middle| \chi_j \right\rangle = \left\langle \chi_i \middle| 2mH + \mathscr L \middle| \chi_j \right\rangle - \left\langle \chi_i \middle| \mathscr L \middle| \chi_j \right\rangle = k_i^2\delta_{ij} - \chi_i(a)\chi'_j(a) \end{equation}
代入得
\begin{equation} \sum_j \left[(k_i^2 - k^2)\delta_{ij} - \chi_i(a)\chi'_j(a) \right] c_j = 0 \end{equation}

   由此可以证明一个有用的关系:$x=a$ 处的对数导数为(留做习题)

\begin{equation} \frac{\psi_k'(a)}{\psi_k(a)} = \frac{1}{aR(k)} \end{equation}
其中 $R(k^2)$ 就是 $R$-矩阵
\begin{equation} R(k) = \frac{1}{a} \sum_{i=1}^\infty \frac{\chi_i^2(a)}{k_i^2 - k^2} \end{equation}
事实上目前这只是一个数,即 $1\times 1$ 的矩阵.在多通道问题中才会成为真正的矩阵.通过对数导数,我们就可以匹配 $[a,\infty)$ 区间的散射态波函数.

3. 势能修正项

   容易证明,若给 $\mathscr L$ 的定义(式 7 )加上一个任意实函数 $U(x)$,也可以使 $H+\mathscr L/(2m)$ 为厄米算符.事实上这相当于修改了 $H$ 中的势能 $V(x)$.有时候选取适当的 $U(x)$ 可以使基底 $\chi_i$ 变得更简单.按照同样的推导,式 14 式 15 变为

\begin{equation} \sum_j \left[(k_i^2 - k^2)\delta_{ij} - \chi_i(a)\chi'_j(a) - U(a)\chi_i(a)\chi_j(a) \right] c_j = 0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\psi_k'(a)}{\psi_k(a)} = \frac{1}{aR(k)} - U(a) \end{equation}


1. ^ 本文参考 [33] 12.7 节.
2. ^ 该积分实际上是在区间 $[0,a+\epsilon]$ 积分然后令 $\epsilon\to 0^+$,下同.


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