多通道散射中的绝热基底

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　量子散射

　　 Multi-channel 散射可以取 diabatic 基底（相当于 $R \to \infty$ 时的状态），在这种情况下， $R \to \infty$ 时势能矩阵就没有任何 coupling，而当 $R$ 较小时就会有 coupling。

　　但如果我们将势能矩阵对角化，得到的基底就叫做 adiabatic 基底。

\begin{matrix} (1) & H Ψ = E Ψ, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & H = T_{s} + H_{a d} (R_{s}) . \end{matrix}

s

角标代表 slow，

a d

下标代表 adiabatic。

\begin{matrix} (3) & H_{a d} Φ_{ν} = u_{ν} (R_{s}) Φ_{ν} (R_{s}, Ω_{f}), \end{matrix}

f

角标代表 fast。解的时候

R_{s}

是常数。

u_{ν}

包括离散和连续。

　　波函数表示为

\begin{matrix} (4) & Ψ (R_{s}, Ω_{f}) = \int \sum_{ν} F_{ν} (R_{s}) Φ_{ν} (R_{s}, Ω_{f}) . \end{matrix}

代入薛定谔方程得

\begin{matrix} (5) & - \frac{1}{2 μ} {[\nabla_{R_{s}} + P (R_{s})]^{2} + u} F = E F . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (6) & P_{i, j} = ⟨ Φ_{i} | \nabla_{R_{s}} | Φ_{j} ⟩, \end{matrix}

这里的积分是对

Ω_{f}

进行。得到的是一个矩阵，矩阵元为矢量。

　　为了明确起见，我们把式 5 记为分量的形式为

\begin{matrix} (7) & - \frac{1}{2 μ} [\nabla_{R_{s}}^{2} F_{i} + 2 \sum_{j} (P_{i j} \nabla_{R_{s}} F_{j}) + P_{i, j}^{(2)} F_{j}] = E F_{j} . \end{matrix}

其中

P^{(2)}

矩阵定义为

⟨ Φ_{i} | \nabla_{R_{s}}^{2} | Φ_{j} ⟩

，其实就是

P

矩阵的平方。

　　到此为止所有公式都是精确的。

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