黎曼度量与伪黎曼度量

贡献者： 叶月2_; DTSIo; JierPeter

　　 本节采用爱因斯坦求和约定。

　　 黎曼度量（Riemannian metric）或伪黎曼度量（pseudo-Riemannian metric）是黎曼几何或伪黎曼几何所要求的基本结构。赋予黎曼度量/伪黎曼度量的微分流形被称为黎曼流形/伪黎曼流形，它们既是几何学研究的对象，也是广义相对论得以展开的舞台。

　　 这里将一直设 $M$ 是一个 $n$ 维实微分流形。

　　 使用其它表述的黎曼度量另见黎曼联络的子节 1 。

1. 黎曼度量

　　 给定局部坐标系 $\{x^i\}$ 后，黎曼度量 $g$ 的局部表达式是 $$ g_{ij}(x)dx^i\otimes dx^j~, $$ 这里 $g_{ij}(x)=g_{ji}(x)$，而且对于任何向量 $(X^i)_{i=1}^n\neq0$ 都有 $$ g_{ij}X^iX^j>0~. $$

　　 有了黎曼度量，就可以谈论诸如长度/面积/体积之类的度量性质了。例如，设 $\gamma:[a,b]\to M$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的一条道路，则定义其长度为 $$ L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}dt~. $$ 如果用局部坐标系给出曲线的局部参数方程 $x(t)=(x^i(t))_{i=1}^n$，则 $$ L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{ij}(x(t))(\dot x^i(t),\dot x^j(t))}dt~. $$ 容易验证：曲线的长度不依赖于其参数化的方式。

2. 伪黎曼度量

　　 相对于黎曼度量，伪黎曼度量把对截面的正定性要求放松至只要满足非退化性即可。伪黎曼度量是一个光滑、对称、非退化的二阶张量场。“非退化” 与线性代数的定义相同，即有下述等价条件：

• 在同构的欧几里得空间里，伪黎曼度量的矩阵表示是可逆的。
• 在同构的欧几里得空间里，伪黎曼度量 $g( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$ 成立 $\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{\mathbf{x}} =0$
• $g$ 可以诱导同构映射 $\sigma_g:V\rightarrow V^*$，满足 $\sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \boldsymbol{\mathbf{y}} =g( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$。

1. ^ 更适合初学者的定义见黎曼联络文章。