贡献者： Giacomo
1. 复流形
将光滑流形定义 6 定义中的 $\mathbb{R}^n$ 替换为 $\mathbb{C}^n$，图册中的 “光滑映射” 替换为 “全纯映射”（复解析映射）, 我们就得到复流形的定义。
未完成：$\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ 的全纯函数
定义 1 复图和复图册
$N$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，如果存在开集 $U \in \mathcal{T}_N$ 和拓扑同胚映射 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$，其中 $\tilde{U}$ 是 $\mathbb{C}^n$ 的一个开子集，那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张复图。如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$，即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$，那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个复图册。
特别需要注意由于 $\mathbb{C}$ 和它的真开子集（比如开球）不是全纯同胚的（这和实数的情况不相同），不是所有的坐标图 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$ 都能改写成 $\varphi': U' \rightarrow \mathbb{C}^n$ 的形式的。实际上，$\mathbb{C}$ 无法嵌入到复环面（complex tori）$\mathbb{C} / \Lambda$ 中。
定义 2 全纯相容
考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个复图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$。如果 $U \cap V \neq \varnothing$，且 $\varphi \circ \phi^{-1}: \phi(V) \rightarrow \varphi(U)$ 和 $\phi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \rightarrow \phi(V)$ 都是全纯（复解析）映射，那么我们称这两个图是全纯相容的（compatible）。
定义 3 复（全纯）流形
一个拓扑流形 $N$ 和加上其上一组全纯相容的复图册 $\mathcal{A}$，被称为一个复流形（complex (holomorphic) manifold） $(N, \mathcal{A})$。
未完成：证明
定义 4 全纯映射（复流形）
给定复流形 $M, N$，一个映射 $f: M \to N$ 在点 $p \in M$ 处全纯（holomorphic 或称解析 analytic），如果存在 点 $p$ 附近的坐标图 $\phi: U \ni p \to \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m$，和点 $f(p)$ 附近的坐标图 $\psi: V \ni f(p) \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n$，使得函数
$$
\psi \circ f \circ \phi^{-1}: \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n~.
$$
在 $\phi(x)$ 点处全纯，如图；
$f$ 被称作全纯函数，如果它在任意点处都全纯。
未完成：交换图
未完成：切向量和余切向量
2. 解析集
定义 5 解析集
给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$，对任意的 $y \in N$，
$$
f^{-1}(y)~
$$
是一个 $M$ 上的解析集。
解析集是复流形 $M$ 上的闭集合，但不一定是闭子流形。解析集的名字来自于，全纯映射又称 “（复）解析映射”。
定理 2 隐函数定理（复几何）
给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$，如果 $y \in N$ 是一个正则值（regular value），即对任意的 $x \in f^{-1}(y)$，
$$
D f|_x: T_x M \to T_x N~
$$
是一个满射，那么解析集 $f^{-1}(y)$ 是 $M$ 的一个闭子流形。
这里的 $T_x M, T_x N$ 是复切空间（同构于实切空间，不同构域复化切空间）。
3. 近复流形
定义 6 （近）复结构（向量空间）
一个实向量空间 $V$ 上的一个（近）复结构是一个（实）线性映射 $j: V \to V$ 满足 $j \circ j = - \text{id}_V$。
定理 3
一个实向量空间上存在近复结构，当切仅当它的维度是偶数。
定义 7 近复结构（实流形）/近复流形
一个实流形 $M$ 上的一个近复结构是它的（实）切空间上的 “近复结构场”，即一个 $(1, 1)$ 型张量场 $J \in \Gamma(M, T_1^1 M)$ 满足对任意一点 $p$，
$$
J|_p: T_p(M) \to T_p(M)~
$$
是一个向量空间上的近复结构。
近复流形是一个带近复结构的实流形。
未完成：没有定义复流形的切空间没法往下写了
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。