复流形

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 流形

1. 复流形

   将光滑流形定义 6 定义中的 $\mathbb{R}^n$ 替换为 $\mathbb{C}^n$,图册中的 “光滑映射” 替换为 “全纯映射”(复解析映射), 我们就得到复流形的定义。

  

未完成:$\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ 的全纯函数

定义 1 复图和复图册

   $N$ 是一个 $n$ 维拓扑流形,如果存在开集 $U \in \mathcal{T}_N$ 和拓扑同胚映射 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$,其中 $\tilde{U}$ 是 $\mathbb{C}^n$ 的一个开子集,那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张复图。如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$,即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$,那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个复图册

   特别需要注意由于 $\mathbb{C}$ 和它的真开子集(比如开球)不是全纯同胚的(这和实数的情况不相同),不是所有的坐标图 $\varphi: U \rightarrow \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^n$ 都能改写成 $\varphi': U' \rightarrow \mathbb{C}^n$ 的形式的。实际上,$\mathbb{C}$ 无法嵌入到复环面(complex tori)$\mathbb{C} / \Lambda$ 中。

定义 2 全纯相容

   考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个复图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$。如果 $U \cap V \neq \varnothing$,且 $\varphi \circ \phi^{-1}: \phi(V) \rightarrow \varphi(U)$ 和 $\phi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \rightarrow \phi(V)$ 都是全纯(复解析)映射,那么我们称这两个图是全纯相容的(compatible)

定义 3 复(全纯)流形

   一个拓扑流形 $N$ 和加上其上一组全纯相容的复图册 $\mathcal{A}$,被称为一个复流形(complex (holomorphic) manifold) $(N, \mathcal{A})$。

定理 1 

   复流形都是可定向实流形。

  

未完成:证明

定义 4 全纯映射(复流形)

   给定复流形 $M, N$,一个映射 $f: M \to N$ 在点 $p \in M$ 处全纯(holomorphic 或称解析 analytic),如果存在 点 $p$ 附近的坐标图 $\phi: U \ni p \to \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m$,和点 $f(p)$ 附近的坐标图 $\psi: V \ni f(p) \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n$,使得函数 $$ \psi \circ f \circ \phi^{-1}: \tilde{U} \subseteq \mathbb{C}^m \to \tilde{V} \subseteq \mathbb{C}^n $$ 在 $\phi(x)$ 点处全纯,如图;

   $f$ 被称作全纯函数,如果它在任意点处都全纯。

  

未完成:交换图

  

未完成:切向量和余切向量

2. 解析集

定义 5 解析集

   给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$,对任意的 $y \in N$, $$ f^{-1}(y) $$ 是一个 $M$ 上的解析集。

   解析集是复流形 $M$ 上的闭集合,但不一定是闭子流形。解析集的名字来自于,全纯映射又称 “(复)解析映射”。

定理 2 隐函数定理(复几何)

   给定复流形 $M, N$ 和一个全纯映射 $f: M \to N$,如果 $y \in N$ 是一个正则值(regular value),即对任意的 $x \in f^{-1}(y)$, $$ D f|_x: T_x M \to T_x N $$ 是一个满射,那么解析集 $f^{-1}(y)$ 是 $M$ 的一个闭子流形。

   这里的 $T_x M, T_x N$ 是复切空间(同构于实切空间,不同构域复化切空间)。

3. 近复流形

定义 6 (近)复结构(向量空间)

   一个实向量空间 $V$ 上的一个(近)复结构是一个(实)线性映射 $j: V \to V$ 满足 $j \circ j = - \text{id}_V$。

定理 3 

   一个实向量空间上存在近复结构,当切仅当它的维度是偶数。

定义 7 近复结构(实流形)/近复流形

   一个实流形 $M$ 上的一个近复结构是它的(实)切空间上的 “近复结构场”,即一个 $(1, 1)$ 型张量场 $J \in \Gamma(M, T_1^1 M)$ 满足对任意一点 $p$, $$ J|_p: T_p(M) \to T_p(M) $$ 是一个向量空间上的近复结构。

   近复流形是一个带近复结构的实流形。

定理 4 

   复流形都是近复流形。

  

未完成:没有定义复流形的切空间没法往下写了


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