复流形

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 流形

1. 复流形

   将光滑流形定义 6 定义中的 $\mathbb{R}^n$ 替换为 $\mathbb{C}^n$,图册中的"光滑映射"替换为"复解析映射", 我们就得到复流形的定义.

定义 1 复图和复图册

   $N$ 是一个 $n$ 维拓扑流形,如果存在开集 $U \in \mathcal{T}_N$ 和同胚映射 $\varphi: U \rightarrow \mathbb{C}^n$,那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张复图.如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$,即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$,那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个复图册

  

未完成:$\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ 的全纯函数

定义 2 全纯相容

   考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个复图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$.如果 $U \cap V \neq \varnothing$,且 $\varphi \circ \phi^{-1}: \phi(V) \rightarrow \varphi(U)$ 和 $\phi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \rightarrow \phi(V)$ 都是全纯(复解析)映射,那么我们称这两个图是全纯相容的(compatible)

定义 3 复(全纯)流形

   一个拓扑流形 $N$ 和加上其上一组全纯相容的复图册 $\mathcal{A}$,被称为一个复流形(complex (holomorphic) manifold) $(N, \mathcal{A})$.

  

未完成:复切向量的三种定义和复化切向量
未完成:复 1-形式和复化 1-形式

2. 近复流形

定义 4 复结构(向量空间)

   一个实向量空间 $V$ 上的一个近复结构是一个(实)线性映射 $J: V \to V$ 满足 $J \circ J = - \text{id}_V$.

定理 1 

   一个实向量空间上存在近复结构,当切仅当它的维度是偶数.

定理 2 复向量空间的复结构

   一个 $n$ 维复向量空间 $V$ 是一个 $2 n$ 维度的实向量空间,实线性映射 $J(v) = i v$ 定义了一个复结构.

  

未完成:没有定义复流形的切空间没法往下写了


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