贡献者： JierPeter
1. 伴随映射的概念
定义
给定线性空间，则可由此导出其对偶空间。如果给定两个线性空间 $V$ 和 $W$ 之间的线性映射，则我们可以自然导出对应的 $W^*$ 和 $V^*$ 之间的线性映射，即所谓的伴随映射。
定义 1 伴随映射
图 1：伴随映射的概念。
给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 和 $W$，对于线性映射$f:V\to W$，定义其伴随映射为 $f^*:W^*\to V^*$，使得对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in W^*$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 都有
\begin{equation}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{w}} \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*( \boldsymbol{\mathbf{w}} ) \rangle~.
\end{equation}
其中 $\langle *, * \rangle$ 表示对偶向量之间的相互作用。
注意，定义伴随映射时，我们已知的两个元素 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 分别位于图 1 的左上角和右下角，它们之间不能相互作用。但是，$f$ 能够把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 挪到左下角，使得二者可以相互作用；而其对偶映射 $f^*$ 的作用则是反过来，把 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 挪到右上角，同样使得二者可以相互作用。
矩阵表示
当给定 $V$ 和 $W$ 的基1$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j\}_{j=1}^m$ 后，$f$ 可以表示为矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a^1_1&a^1_2&\cdots&a^1_n\\
a^2_1&a^2_2&\cdots&a^2_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^m_1&a^m_2&\cdots&a^m_n
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
其中 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\sum_{j=1}^m a^j_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j$。
令 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j\}_{j=1}^m$ 分别是这两个基的对偶基，则 $f^*$ 在这两组基下可以表示为矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
b^1_1&b^1_2&\cdots&b^1_m\\
b^2_1&b^2_2&\cdots&b^2_m\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b^n_1&b^n_2&\cdots&b^n_m
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
其中 $f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j)=\sum_{i=1}^n b^i_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i$。
由伴随映射的定义，
\begin{equation}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i), \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j) \rangle ~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\langle \sum_{k=1}^m a^k_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \sum_{k=1}^n b^k_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k \rangle ~.
\end{equation}
由对偶基的
定义 6 可知
\begin{equation}
\sum_{k=1}^m a^k_i\delta_{kj} = \sum_{k=1}^m b^k_j\delta_{ik}~,
\end{equation}
这等于说 $a^j_i=b^i_j$，也就是 $f$ 和 $f^*$ 的矩阵互为
转置。
2. 伴随变换
$V$ 和 $V^*$ 之间没有天然的一一对应，如果规定了一个 $V\to V^*$ 的线性同构，其实就等价于规定了 $V$ 上的一个非退化双线性形式，但现在你可以局限在一种情形来考虑：内积。
给定 $V$ 上的内积 $g$，则任取 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$，我们都可以唯一确定 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 对应的 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \in V^*$，使得
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle~
\end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 恒成立。这样，我们就用 $g$ 确定了一个
同构映射$\sigma_g:V\to V^*$，使得 $\sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $。注意，$g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle \iff \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle = g(\sigma_g^{-1}( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ), \boldsymbol{\mathbf{v}} )$。
取域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，设 $f:V\to V$ 是线性变换，那么按照定义 1 ，存在 $f$ 的伴随映射 $f^*:V^*\to V^*$。利用 $\sigma_g$ 可以导出 $V\to V$ 的映射 $\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g$。按照伴随映射的定义得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle
\end{aligned}~
\end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 成立。又按照 $\sigma_g$ 的定义得
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle ={}& g \left(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} \right) ; \\
\langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle={}& g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )).
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
因此，若记 $F=\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g:V\to V$，则 $F$ 可以定义为
\begin{equation}
g(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} ) = g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , F( \boldsymbol{\mathbf{u}} ))~.
\end{equation}
通常称 $F$ 为 $f$ 的伴随变换，以式 10 为其定义。不少材料中也直接用 $f^*:V\to V$ 来表示 $f$ 的伴随变换，不同于我们这里强调 $f^*:V^*\to V^*$。
1. ^ 注意，任意基都可以，没有正交性等要求。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
