伴随映射

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 线性映射,对偶空间

1. 伴随映射的概念

定义

   给定线性空间,则可由此导出其对偶空间。如果给定两个线性空间 VW 之间的线性映射,则我们可以自然导出对应的 WV 之间的线性映射,即所谓的伴随映射。

定义 1 伴随映射

  

图
图 1:伴随映射的概念。

   给定域 F 上的线性空间 VW,对于线性映射f:VW,定义其伴随映射为 f:WV,使得对于任意 wWvV 都有

(1)f(v),w=v,f(w) .
其中 , 表示对偶向量之间的相互作用。

   注意,定义伴随映射时,我们已知的两个元素 vw 分别位于图 1 的左上角和右下角,它们之间不能相互作用。但是,f 能够把 v 挪到左下角,使得二者可以相互作用;而其对偶映射 f 的作用则是反过来,把 w 挪到右上角,同样使得二者可以相互作用。

矩阵表示

   当给定 VW 的基1{ei}i=1n{εj}j=1m 后,f 可以表示为矩阵

(2)(a11a21an1a12a22an2a1ma2manm) ,
其中 f(ei)=j=1maijεj

   令 {θi}i=1n{τj}j=1m 分别是这两个基的对偶基,则 f 在这两组基下可以表示为矩阵

(3)(b11b21bm1b12b22bm2b1nb2nbmn) ,
其中 f(τj)=i=1nbjiθi

   由伴随映射的定义,

(4)f(ei),τj=ei,f(τj) ,
因此
(5)k=1maikεk,τj=ei,k=1nbjkθk .
由对偶基的定义 6 可知
(6)k=1maikδkj=k=1mbjkδik ,
这等于说 aij=bji,也就是 ff 的矩阵互为转置

2. 伴随变换

   VV 之间没有天然的一一对应,如果规定了一个 VV 的线性同构,其实就等价于规定了 V 上的一个非退化双线性形式,但现在你可以局限在一种情形来考虑:内积

   给定 V 上的内积 g,则任取 uV,我们都可以唯一确定 u 对应的 ωV,使得

(7)g(u,v)=ω,v 
对于任意 vV 恒成立。这样,我们就用 g 确定了一个同构映射σg:VV,使得 σg(u)=ω。注意,g(u,v)=σg(u),vω,v=g(σg1(ω),v)

   取域 F 上的线性空间 V,设 f:VV 是线性变换,那么按照定义 1 ,存在 f 的伴随映射 f:VV。利用 σg 可以导出 VV 的映射 σg1fσg。按照伴随映射的定义得

(8)f(v),σg(u)=v,fσg(u) 
对于任意 u,vV 成立。又按照 σg 的定义得
(9){f(v),σg(u)=g(f(v),u);v,fσg(u)=g(v,σg1fσg(u)). 

   因此,若记 F=σg1fσg:VV,则 F 可以定义为

(10)g(f(v),u)=g(v,F(u)) .

   通常称 Ff伴随变换,以式 10 为其定义。不少材料中也直接用 f:VV 来表示 f 的伴随变换,不同于我们这里强调 f:VV


1. ^ 注意,任意基都可以,没有正交性等要求。


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