伴随映射

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 线性映射,对偶空间

1. 伴随映射的概念

定义

   给定线性空间,则可由此导出其对偶空间。如果给定两个线性空间 $V$ 和 $W$ 之间的线性映射,则我们可以自然导出对应的 $W^*$ 和 $V^*$ 之间的线性映射,即所谓的伴随映射。

定义 1 伴随映射

  

图
图 1:伴随映射的概念。

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 和 $W$,对于线性映射$f:V\to W$,定义其伴随映射为 $f^*:W^*\to V^*$,使得对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in W^*$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 都有

\begin{equation} \langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{w}} \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*( \boldsymbol{\mathbf{w}} ) \rangle~. \end{equation}
其中 $\langle *, * \rangle$ 表示对偶向量之间的相互作用。

   注意,定义伴随映射时,我们已知的两个元素 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 分别位于图 1 的左上角和右下角,它们之间不能相互作用。但是,$f$ 能够把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 挪到左下角,使得二者可以相互作用;而其对偶映射 $f^*$ 的作用则是反过来,把 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 挪到右上角,同样使得二者可以相互作用。

矩阵表示

   当给定 $V$ 和 $W$ 的基1$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j\}_{j=1}^m$ 后,$f$ 可以表示为矩阵

\begin{equation} \begin{pmatrix} a^1_1&a^1_2&\cdots&a^1_n\\ a^2_1&a^2_2&\cdots&a^2_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a^m_1&a^m_2&\cdots&a^m_n \end{pmatrix}~, \end{equation}
其中 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\sum_{j=1}^m a^j_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j$。

   令 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j\}_{j=1}^m$ 分别是这两个基的对偶基,则 $f^*$ 在这两组基下可以表示为矩阵

\begin{equation} \begin{pmatrix} b^1_1&b^1_2&\cdots&b^1_m\\ b^2_1&b^2_2&\cdots&b^2_m\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b^n_1&b^n_2&\cdots&b^n_m \end{pmatrix}~, \end{equation}
其中 $f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j)=\sum_{i=1}^n b^i_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i$。

   由伴随映射的定义,

\begin{equation} \langle f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i), \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j) \rangle ~, \end{equation}
因此
\begin{equation} \langle \sum_{k=1}^m a^k_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \sum_{k=1}^n b^k_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k \rangle ~. \end{equation}
由对偶基的定义 6 可知
\begin{equation} \sum_{k=1}^m a^k_i\delta_{kj} = \sum_{k=1}^m b^k_j\delta_{ik}~, \end{equation}
这等于说 $a^j_i=b^i_j$,也就是 $f$ 和 $f^*$ 的矩阵互为转置

2. 伴随变换

   $V$ 和 $V^*$ 之间没有天然的一一对应,如果规定了一个 $V\to V^*$ 的线性同构,其实就等价于规定了 $V$ 上的一个非退化双线性形式,但现在你可以局限在一种情形来考虑:内积

   给定 $V$ 上的内积 $g$,则任取 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$,我们都可以唯一确定 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 对应的 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \in V^*$,使得

\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle~ \end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 恒成立。这样,我们就用 $g$ 确定了一个同构映射$\sigma_g:V\to V^*$,使得 $\sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $。注意,$g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle \iff \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle = g(\sigma_g^{-1}( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ), \boldsymbol{\mathbf{v}} )$。

   取域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$,设 $f:V\to V$ 是线性变换,那么按照定义 1 ,存在 $f$ 的伴随映射 $f^*:V^*\to V^*$。利用 $\sigma_g$ 可以导出 $V\to V$ 的映射 $\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g$。按照伴随映射的定义得

\begin{equation} \begin{aligned} \langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle \end{aligned}~ \end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 成立。又按照 $\sigma_g$ 的定义得
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle ={}& g \left(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} \right) ; \\ \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle={}& g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )). \end{aligned} \right. ~ \end{equation}

   因此,若记 $F=\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g:V\to V$,则 $F$ 可以定义为

\begin{equation} g(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} ) = g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , F( \boldsymbol{\mathbf{u}} ))~. \end{equation}

   通常称 $F$ 为 $f$ 的伴随变换,以式 10 为其定义。不少材料中也直接用 $f^*:V\to V$ 来表示 $f$ 的伴随变换,不同于我们这里强调 $f^*:V^*\to V^*$。


1. ^ 注意,任意基都可以,没有正交性等要求。


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