贡献者： JierPeter
1. 伴随映射的概念
定义
给定线性空间，则可由此导出其对偶空间。如果给定两个线性空间 $V$ 和 $W$ 之间的线性映射，则我们可以自然导出对应的 $W^*$ 和 $V^*$ 之间的线性映射，即所谓的伴随映射。
定义 1 伴随映射
图 1：伴随映射的概念。
给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 和 $W$，对于线性映射$f:V\to W$，定义其伴随映射为 $f^*:W^*\to V^*$，使得对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} \in W^*$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 都有
\begin{equation}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{w}} \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*( \boldsymbol{\mathbf{w}} ) \rangle~.
\end{equation}
其中 $\langle *, * \rangle$ 表示对偶向量之间的相互作用。
注意，定义伴随映射时，我们已知的两个元素 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 分别位于图 1 的左上角和右下角，它们之间不能相互作用。但是，$f$ 能够把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 挪到左下角，使得二者可以相互作用；而其对偶映射 $f^*$ 的作用则是反过来，把 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 挪到右上角，同样使得二者可以相互作用。
矩阵表示
当给定 $V$ 和 $W$ 的基1$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j\}_{j=1}^m$ 后，$f$ 可以表示为矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a^1_1&a^1_2&\cdots&a^1_n\\
a^2_1&a^2_2&\cdots&a^2_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^m_1&a^m_2&\cdots&a^m_n
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
其中 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\sum_{j=1}^m a^j_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _j$。
令 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j\}_{j=1}^m$ 分别是这两个基的对偶基，则 $f^*$ 在这两组基下可以表示为矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
b^1_1&b^1_2&\cdots&b^1_m\\
b^2_1&b^2_2&\cdots&b^2_m\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b^n_1&b^n_2&\cdots&b^n_m
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
其中 $f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j)=\sum_{i=1}^n b^i_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i$。
由伴随映射的定义，
\begin{equation}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i), \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, f^*( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j) \rangle ~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\langle \sum_{k=1}^m a^k_i \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _j \rangle =\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \sum_{k=1}^n b^k_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k \rangle ~.
\end{equation}
由对偶基的
定义 6 可知
\begin{equation}
\sum_{k=1}^m a^k_i\delta_{kj} = \sum_{k=1}^m b^k_j\delta_{ik}~,
\end{equation}
这等于说 $a^j_i=b^i_j$，也就是 $f$ 和 $f^*$ 的矩阵互为
转置。
2. 伴随变换
$V$ 和 $V^*$ 之间没有天然的一一对应，如果规定了一个 $V\to V^*$ 的线性同构，其实就等价于规定了 $V$ 上的一个非退化双线性形式，但现在你可以局限在一种情形来考虑：内积。
给定 $V$ 上的内积 $g$，则任取 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$，我们都可以唯一确定 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 对应的 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \in V^*$，使得
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle~
\end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 恒成立。这样，我们就用 $g$ 确定了一个
同构映射$\sigma_g:V\to V^*$，使得 $\sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $。注意，$g( \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \langle \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle \iff \langle \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \rangle = g(\sigma_g^{-1}( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ), \boldsymbol{\mathbf{v}} )$。
取域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，设 $f:V\to V$ 是线性变换，那么按照定义 1 ，存在 $f$ 的伴随映射 $f^*:V^*\to V^*$。利用 $\sigma_g$ 可以导出 $V\to V$ 的映射 $\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g$。按照伴随映射的定义得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle = \langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle
\end{aligned}~
\end{equation}
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 成立。又按照 $\sigma_g$ 的定义得
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\langle f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle ={}& g \left(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} \right) ; \\
\langle \boldsymbol{\mathbf{v}} , f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \rangle={}& g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )).
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
因此，若记 $F=\sigma_g^{-1}\circ f^*\circ \sigma_g:V\to V$，则 $F$ 可以定义为
\begin{equation}
g(f( \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \boldsymbol{\mathbf{u}} ) = g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , F( \boldsymbol{\mathbf{u}} ))~.
\end{equation}
通常称 $F$ 为 $f$ 的伴随变换，以式 10 为其定义。不少材料中也直接用 $f^*:V\to V$ 来表示 $f$ 的伴随变换，不同于我们这里强调 $f^*:V^*\to V^*$。
1. ^ 注意，任意基都可以，没有正交性等要求。
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