黎曼联络

贡献者： JierPeter

1. 黎曼流形

　　 黎曼度量与伪黎曼度量文章中包含了黎曼度量的概念，但其中使用了高度凝练的术语，对初学者并不友好，因此我们在这里顺便给出更通俗的定义。

　　 从定义可知，黎曼度量实际上就是规定了 “如何做内积”，进而得到 “切向量的长度”、“切向量之间的角度” 等概念。注意，黎曼度量只对同一个切空间中的向量有用，不同切空间的向量之间无法定义黎曼度量。

　　 如果在某个切点附近给定一个图（chart），那么黎曼度量可以表达为这个图中的一个矩阵 $g_{ab}$，而该切点处两个切向量 $x^a,y^b$ 的内积就是 $g_{ab}{x}^a{y}^b$。

　　 对称性意味着 $g_{ab}\equiv g_{ba}$。如果将 $g_{ab}$ 写成方阵¹，那么它就是线性代数中讨论的正定矩阵。这就是黎曼度量与伪黎曼度量文章中 “对称” 与 “正定” 二词的含义。“截面” 实际上就是指这是一个映射²。

2. 黎曼联络

　　 黎曼联络中的 “相容” 条件，实际上就是方向导数对内积的 Leibniz 律。注意 $g(X,Y)$ 是 $M$ 上的一个光滑函数，而 $Zg(X,Y)$ 就是对这个函数沿着 $Z$ 的方向求方向导数的结果。我们已经知道，光滑函数的求导不依赖于图的选择，因此 $Zg(X,Y)$ 不必表达成 ${\mathrm{\nabla }}_{Z}g(X,Y)$ 的形式。

　　 同一个流形上可能有多个不同的仿射联络，但是一旦确定了黎曼度量，则也就唯一确定了一个黎曼联络。我们通过一系列命题来讨论这件事。

　　 证明：

　　 假设存在向量场 $X,Y$ 使得对于任意 $Z$ 都有 $g(X,Z)=g(Y,Z)$，那么由黎曼度量的线性性知，$g(X-Y,Z)\equiv 0$。

　　 由 $Z$ 的任意性，取 $Z=X-Y$，知 $g(X-Y,X-Y)\equiv 0$。

　　 由黎曼度量的正定性，$X-Y\equiv 0$。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 只需要证明，根据已知条件，我们可以用黎曼度量 $g$ 计算出 $\mathrm{\nabla }$ 即可。

　　 首先列出两组条件：

　　 其中式 1 是 “给定挠率” 条件，式 2 、式 3 和式 4 是定理条件中的第二条，也就是 “和黎曼度量相容” 条件。

　　 将式 1 代入式 3 ，可以得到

　　 计算（式 2 $-$ 式 4 $+$ 式 5 ）可得：

　　 由于 $Z$ 的任意性，根据引理 1 可唯一确定 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ 的值，也就相当于计算出了 ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ 了。

　　 证毕。

3. 例子

4. 伪黎曼度量

　　 相对论中时空流形上的度量通常采用的是一个伪黎曼联络，它和黎曼联络的区别是不要求正定性。伪黎曼联络也是可以类似地导出伪黎曼流形和伪黎曼联络的，而定理 1 和推论 1 仍然适用。

1. ^ 注意，按照我们的规范表达，$g_{ab}$ 应为 “行矩阵的行矩阵”，所以这里说的方阵实际上是指把第 $a$ 行 $b$ 列的元素定义为 $g_{ab}$。当然，反过来把第 $b$ 行 $a$ 列的元素定义为 $g_{ab}$ 也行。
2. ^ “截面” 一词，详见向量丛和切丛文章。黎曼度量与伪黎曼度量文章中称黎曼度量为两个余切丛的张量积，每个余切向量场就是一个切向量场到实数域的映射，因此这个余切丛张量积中的每一个截面都是两个切向量场到实数域的映射。