向量丛和切丛

贡献者： JierPeter; addis

1. 向量丛

　　 向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。

　　 向量丛之间也有丛映射：

　　 直观来说，丛映射中的 $\bar{\phi }$ 描述了纤维之间的对应，而 $\phi$ 是纤维上的点之间的对应，后者像是前者的细化。每个纤维都是线性空间，因此我们还要求 $\phi$ 限制在每根纤维上的时候都是线性映射。

　　 在纤维丛文章中我们强调过，一个向量丛 $(E,V,B,\varphi )$ 不能简单等同于 $B\times V$，不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛，称之为平凡（trivial）的纤维丛。

2. 切丛

　　 “切丛” 是 “切向量丛” 的简称。顾名思义，它是切向量构成的向量丛，而这里的切向量是在流形上定义的，因此切丛的底空间是流形。

　　 一个切向量场可以视为切丛的一种特殊的子集，称为 “截面（section）”。使用这个术语是为了强调这种子集的特殊性，它在每一根纤维上都取且仅取一个点，看起来就像是纤维丛的一个截面。同样地，一个光滑切向量场有时也被称作切丛上的一个光滑截面。

　　 局部来看，流形 $M$ 上切丛的每根纤维是一个线性空间；整体来看，每个切向量场本身都可以看成一个向量，构成一个线性空间，记为 $\mathfrak{X}(M)$。$\mathfrak{X}(M)$ 作为线性空间的基域和 $M$ 是一致的，具体来说，实流形 $M$ 上的 $\mathfrak{X}(M)$，其数乘时使用的 “数字” 就是实数。但是我们常研究另一种情况，即把对 $\mathfrak{X}(M)$ 进行数乘时的 “数字” 取为 $M$ 上的一个光滑函数。这个时候，$\mathfrak{X}(M)$ 不再能被看成一个线性空间，而应该是一个环 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 上的模。这里 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 是 $M$ 上全体光滑函数的集合，它只是一个环，不满足乘法逆元存在性。

　　 从流形整体来看，一个 1-形式，或者说余切向量场，本身也可以看成是模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射。

　　 流形 $M$ 上也可以定义切丛之外的向量丛，同样有截面的概念，只不过此时的截面不再是切向量场了。向量丛 $E$ 上全体光滑截面的集合，记为 $\mathrm{\Gamma }(E)$。由上所述，光滑向量场的集合 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathrm{\Gamma }(E)$ 的特例，正如切丛是向量丛的特例。

　　 向量丛之间有两类比较重要的映射：

　　 局部算子等价于模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射，我把这一点表述为如下定理：

　　 最后，我们再介绍一个概念，参考系。时空都是流形，而在时空理论中我们常讨论不同参考系下的物理定律，因此有必要定义一下流形上的参考系是什么。

1. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\phi$。
2. ^ 见点集的内部、外部和边界文章。
3. ^ 即 $\mathrm{\forall }s\in \mathrm{\Gamma }(E)$ 和 $\mathrm{\forall }f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$，都有 $\phi (fs)=f\phi (s)$。