贡献者： JierPeter; addis
未完成：创建 “环上的模” 文章后，应将其引用为本文的预备知识
未完成：需补充引用，GTM 275 第 7 章。
1. 向量丛
向量丛是纤维丛的特例，即纤维都是向量空间的情况。
定义 1 向量丛
给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$，如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$，使得对于任意的 $x\in B$，都有 $\pi^{-1}(x)\cong V$，那么称这个结构 $(E, V, B, \pi)$ 为一个向量丛（vector bundle）。
向量丛之间也有丛映射：
定义 2 丛映射
给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F)$，其中 $M$ 和 $N$ 是实流形。我们定义一个 “光滑丛映射（$C^\infty$ bundle map）” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$，使得：
\begin{equation}
\overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi~.
\end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处，$\varphi|_p$
1是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射，并且是一个线性映射。
直观来说，丛映射中的 $\overline{\varphi}$ 描述了纤维之间的对应，而 $\varphi$ 是纤维上的点之间的对应，后者像是前者的细化。每个纤维都是线性空间，因此我们还要求 $\varphi$ 限制在每根纤维上的时候都是线性映射。
在纤维丛文章中我们强调过，一个向量丛 $(E, V, B, \phi)$ 不能简单等同于 $B\times V$，不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛，称之为平凡（trivial）的纤维丛。
2. 切丛
“切丛” 是 “切向量丛” 的简称。顾名思义，它是切向量构成的向量丛，而这里的切向量是在流形上定义的，因此切丛的底空间是流形。
定义 3 切丛
给定流形 $M$，以 $M$ 为底空间，把各 $p\in M$ 上的 $T_pM$ 视为该点处的一根纤维，得到的纤维丛就称为流形 $M$ 上的切丛（tangent bundle）。
一个切向量场可以视为切丛的一种特殊的子集，称为 “截面（section）”。使用这个术语是为了强调这种子集的特殊性，它在每一根纤维上都取且仅取一个点，看起来就像是纤维丛的一个截面。同样地，一个光滑切向量场有时也被称作切丛上的一个光滑截面。
局部来看，流形 $M$ 上切丛的每根纤维是一个线性空间；整体来看，每个切向量场本身都可以看成一个向量，构成一个线性空间，记为 $\mathfrak{X}(M)$。$\mathfrak{X}(M)$ 作为线性空间的基域和 $M$ 是一致的，具体来说，实流形 $M$ 上的 $\mathfrak{X}(M)$，其数乘时使用的 “数字” 就是实数。但是我们常研究另一种情况，即把对 $\mathfrak{X}(M)$ 进行数乘时的 “数字” 取为 $M$ 上的一个光滑函数。这个时候，$\mathfrak{X}(M)$ 不再能被看成一个线性空间，而应该是一个环 $C^\infty(M)$ 上的模。这里 $C^\infty(M)$ 是 $M$ 上全体光滑函数的集合，它只是一个环，不满足乘法逆元存在性。
从流形整体来看，一个 1-形式，或者说余切向量场，本身也可以看成是模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射。
流形 $M$ 上也可以定义切丛之外的向量丛，同样有截面的概念，只不过此时的截面不再是切向量场了。向量丛 $E$ 上全体光滑截面的集合，记为 $\Gamma(E)$。由上所述，光滑向量场的集合 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\Gamma(E)$ 的特例，正如切丛是向量丛的特例。
向量丛之间有两类比较重要的映射：
定义 4 点算子
设 $E$ 和 $F$ 是同一个底空间 $M$ 上的两个向量丛，称丛映射 $\varphi:E\rightarrow F$ 是一个点算子（point operator），如果对于任意的光滑截面 $s\in\Gamma(E)$ 和点 $p\in M$，当 $s(p)=0$ 时必有 $\varphi(s)(p)=0$。
换句话说，如果称 $Z_s\{p\in M|s(p)=0\}$ 为 $s$ 的零化子（null set），那么 $\varphi$ 是一个点算子当且仅当 $Z_s\subseteq Z_{\varphi{s}}$。
定义 5 局部算子
设 $E$ 和 $F$ 是同一个底空间 $M$ 上的两个向量丛，称丛映射 $\varphi:E\rightarrow F$ 是一个局部算子（local operator），如果对于任意的光滑截面 $s\in\Gamma(E)$，开集$U\subseteq E$ 和点 $p\in M$，当 $s(U)=\{0\}$ 时必有 $\varphi(s)(U)=\{0\}$。
换句话说，如果记 $Z_s$ 的内部2为 $Z_s^\circ$，那么 $\varphi$ 是一个局部算子当且仅当 $Z_s^\circ\subseteq Z_{\varphi{s}}^\circ$。
局部算子等价于模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射，我把这一点表述为如下定理：
定理 1
给定流形 $M$ 上的两个向量丛 $E$ 和 $F$。如果 $\varphi:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(F)$ 是 $C^\infty(M)$-线性的3，那么 $\varphi$ 必为一个局部算子。
习题 1
证明定理 1 。思路之一可以是利用 bump function 来构造一个使得 $fs=s$ 的函数 $f$，然后讨论 $s, fs$ 和 $\varphi{s}$ 的零化子的内部之间的关系。
习题 2 定理 1 的反思
在把 $\mathfrak{X}(M)$ 整体视为一个环 $C^\infty(M)$ 上的模的时候，局部算子的性质有什么几何意义吗？
最后，我们再介绍一个概念，参考系。时空都是流形，而在时空理论中我们常讨论不同参考系下的物理定律，因此有必要定义一下流形上的参考系是什么。
定义 6 参考系
给定流形 $M$ 上的一个 $r$ 维向量丛 $E$。设 $E$ 上一个光滑截面的集合 $Fr=\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r\}$ 满足：对于任意 $p\in M$，$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1(p), \boldsymbol{\mathbf{e}} _2(p), \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r(p)\}$ 构成纤维 $E_p$ 的一组基，那么称 $Fr$ 是 $E$ 上的一个参考系（frame）。
1. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$。
2. ^ 见点集的内部、外部和边界文章。
3. ^ 即 $\forall s\in\Gamma(E)$ 和 $\forall f\in C^\infty(M)$，都有 $\varphi(fs)=f\varphi(s)$。
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