向量丛和切丛

             

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未完成:创建 “环上的模” 词条后,应将其引用为本词条的预备知识
未完成:需补充引用,GTM 275 第 7 章.

预备知识 纤维丛,流形

1. 向量丛

   向量丛是纤维丛的特例,即纤维都是向量空间的情况.

定义 1 向量丛

   给定拓扑空间 $B$ 和线性空间 $V$,如果存在一个拓扑空间 $E$ 和一个连续满射 $\pi:E\rightarrow B$,使得对于任意的 $x\in B$,都有 $\pi^{-1}(x)\cong V$,那么称这个结构 $(E, V, B, \pi)$ 为一个向量丛(vector bundle)

   向量丛之间也有丛映射:

定义 2 丛映射

   给定向量丛 $(E, V_E, M, \pi_E)$ 和 $(F, V_F, N, \pi_F)$,其中 $M$ 和 $N$ 是实流形.我们定义一个 “光滑丛映射($C^\infty$ bundle map)” 为 $E\rightarrow F$ 的映射偶 $\varphi: E\rightarrow F$ 和 $\overline{\varphi}: M\rightarrow N$,使得:

\begin{equation} \overline{\varphi}\circ\pi_E=\pi_F\circ\varphi \end{equation}
且在任意 $p\in M$ 处,$\varphi|_p$1是从 $p\times V_E$ 到 $\overline{\varphi}(p)\times V_F$ 的映射,并且是一个线性映射.

   直观来说,丛映射中的 $\overline{\varphi}$ 描述了纤维之间的对应,而 $\varphi$ 是纤维上的点之间的对应,后者像是前者的细化.每个纤维都是线性空间,因此我们还要求 $\varphi$ 限制在每根纤维上的时候都是线性映射.

   在纤维丛词条中我们强调过,一个向量丛 $(E, V, B, \phi)$ 不能简单等同于 $B\times V$,不过 $B\times V$ 本身也是一个纤维丛,称之为平凡(trivial)的纤维丛.

2. 切丛

   “切丛” 是 “切向量丛” 的简称.顾名思义,它是切向量构成的向量丛,而这里的切向量是在流形上定义的,因此切丛的底空间是流形.

定义 3 切丛

   给定流形 $M$,以 $M$ 为底空间,把各 $p\in M$ 上的 $T_pM$ 视为该点处的一根纤维,得到的纤维丛就称为流形 $M$ 上的切丛(tangent bundle)

   一个切向量场可以视为切丛的一种特殊的子集,称为 “截面(section)”.使用这个术语是为了强调这种子集的特殊性,它在每一根纤维上都取且仅取一个点,看起来就像是纤维丛的一个截面.同样地,一个光滑切向量场有时也被称作切丛上的一个光滑截面

   局部来看,流形 $M$ 上切丛的每根纤维是一个线性空间;整体来看,每个切向量场本身都可以看成一个向量,构成一个线性空间,记为 $\mathfrak{X}(M)$.$\mathfrak{X}(M)$ 作为线性空间的基域和 $M$ 是一致的,具体来说,实流形 $M$ 上的 $\mathfrak{X}(M)$,其数乘时使用的 “数字” 就是实数.但是我们常研究另一种情况,即把对 $\mathfrak{X}(M)$ 进行数乘时的 “数字” 取为 $M$ 上的一个光滑函数.这个时候,$\mathfrak{X}(M)$ 不再能被看成一个线性空间,而应该是一个环 $C^\infty(M)$ 上的模.这里 $C^\infty(M)$ 是 $M$ 上全体光滑函数的集合,它只是一个环,不满足乘法逆元存在性.

   从流形整体来看,一个 1-形式,或者说余切向量场,本身也可以看成是模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射.

   流形 $M$ 上也可以定义切丛之外的向量丛,同样有截面的概念,只不过此时的截面不再是切向量场了.向量丛 $E$ 上全体光滑截面的集合,记为 $\Gamma(E)$.由上所述,光滑向量场的集合 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\Gamma(E)$ 的特例,正如切丛是向量丛的特例.

   向量丛之间有两类比较重要的映射:

定义 4 点算子

   设 $E$ 和 $F$ 是同一个底空间 $M$ 上的两个向量丛,称丛映射 $\varphi:E\rightarrow F$ 是一个点算子(point operator),如果对于任意的光滑截面 $s\in\Gamma(E)$ 和点 $p\in M$,当 $s(p)=0$ 时必有 $\varphi(s)(p)=0$.

   换句话说,如果称 $Z_s\{p\in M|s(p)=0\}$ 为 $s$ 的零化子(null set),那么 $\varphi$ 是一个点算子当且仅当 $Z_s\subseteq Z_{\varphi{s}}$.

定义 5 局部算子

   设 $E$ 和 $F$ 是同一个底空间 $M$ 上的两个向量丛,称丛映射 $\varphi:E\rightarrow F$ 是一个局部算子(local operator),如果对于任意的光滑截面 $s\in\Gamma(E)$,开集$U\subseteq E$ 和点 $p\in M$,当 $s(U)=\{0\}$ 时必有 $\varphi(s)(U)=\{0\}$.

   换句话说,如果记 $Z_s$ 的内部2为 $Z_s^\circ$,那么 $\varphi$ 是一个局部算子当且仅当 $Z_s^\circ\subseteq Z_{\varphi{s}}^\circ$.

   局部算子等价于模 $\mathfrak{X}(M)$ 上的一个线性映射,我把这一点表述为如下定理:

定理 1 

   给定流形 $M$ 上的两个向量丛 $E$ 和 $F$.如果 $\varphi:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(F)$ 是 $C^\infty(M)$-线性的3,那么 $\varphi$ 必为一个局部算子.

习题 1 

   证明定理 1 .思路之一可以是利用 bump function 来构造一个使得 $fs=s$ 的函数 $f$,然后讨论 $s, fs$ 和 $\varphi{s}$ 的零化子的内部之间的关系.

习题 2 定理 1 的反思

   在把 $\mathfrak{X}(M)$ 整体视为一个环 $C^\infty(M)$ 上的模的时候,局部算子的性质有什么几何意义吗?

   最后,我们再介绍一个概念,参考系.时空都是流形,而在时空理论中我们常讨论不同参考系下的物理定律,因此有必要定义一下流形上的参考系是什么.

定义 6 参考系

   给定流形 $M$ 上的一个 $r$ 维向量丛 $E$.设 $E$ 上一个光滑截面的集合 $Fr=\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r\}$ 满足:对于任意 $p\in M$,$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1(p), \boldsymbol{\mathbf{e}} _2(p), \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r(p)\}$ 构成纤维 $E_p$ 的一组基,那么称 $Fr$ 是 $E$ 上的一个参考系(frame)


1. ^ 即只考虑 $p$ 处纤维的映射 $\varphi$.
2. ^点集的内部、外部和边界词条.
3. ^ 即 $\forall s\in\Gamma(E)$ 和 $\forall f\in C^\infty(M)$,都有 $\varphi(fs)=f\varphi(s)$.

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