一维齐次亥姆霍兹方程

             

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预备知识 二阶常系数微分方程

   一维齐次亥姆霍兹方程可以记为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{t}^{2}} + \omega^2 y = 0 \end{equation}
这里 $\omega$ 为实数.

1. 通解

   这个方程属于二阶常系数线性齐次方程,可以假设 $ \mathrm{e} ^{rt}$ 为方程的解,代入原方程得特征方程

\begin{equation} r^2 + \omega^2 = 0 \end{equation}
解得 $r = \pm \mathrm{i} \omega$,即方程在复数域的通解为
\begin{equation} y = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是复常数.

   如果选择恰当的 $C_1$ 和 $C_2$,可以使通解变为实数函数.令

\begin{equation} C_1 = C_{1R} + \mathrm{i} C_{1I} \qquad C_2 = C_{2R} + \mathrm{i} C_{2I} \end{equation}
把 $y(t)$ 分解为实部和虚部,令虚部为零,可得所有可能的实数解
\begin{equation} \begin{aligned} y(t) &= [(C_{1R} + C_{2R}) \cos\omega t + (C_{2I} - C_{1I}) \sin\omega t] \\ & + \mathrm{i} [(C_{1R} - C_{2R}) \sin \omega t + (C_{1I} + C_{2I}) \cos \omega t] \end{aligned} \end{equation}
令虚部为 $0$,则 $C_{1R} = C_{2R}$,$C_{1I} = -C_{2I}$.

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