一维齐次亥姆霍兹方程
贡献者： addis
一维齐次亥姆霍兹方程可以记为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{t}^{2}} + \omega^2 y = 0~,
\end{equation}
这里 $\omega$ 为实数。
1. 通解
这个方程属于二阶常系数线性齐次方程，可以假设 $ \mathrm{e} ^{rt}$ 为方程的解，代入原方程得特征方程
\begin{equation}
r^2 + \omega^2 = 0~.
\end{equation}
解得 $r = \pm \mathrm{i} \omega$，即方程在复数域的通解为
\begin{equation}
y = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是复常数。
如果选择恰当的 $C_1$ 和 $C_2$，可以使通解变为实数函数。令
\begin{equation}
C_1 = C_{1R} + \mathrm{i} C_{1I}~, \qquad
C_2 = C_{2R} + \mathrm{i} C_{2I}~.
\end{equation}
把 $y(t)$ 分解为实部和虚部，令虚部为零，可得所有可能的实数解
\begin{equation}
\begin{aligned}
y(t) &= [(C_{1R} + C_{2R}) \cos\omega t + (C_{2I} - C_{1I}) \sin\omega t] \\
& + \mathrm{i} [(C_{1R} - C_{2R}) \sin \omega t + (C_{1I} + C_{2I}) \cos \omega t]~.
\end{aligned}
\end{equation}
令虚部为 $0$，则 $C_{1R} = C_{2R}$，$C_{1I} = -C_{2I}$。
\begin{equation}
y = 2C_{1R}\cos\omega t + 2C_{2I}\sin\omega t~,
\end{equation}
所以最一般的实数通解具有 $A\cos\omega t + B\sin\omega t$ 的形式，对比系数
\begin{equation}
A = 2C_{1R} = 2C_{2R}~,\quad B = 2C_{2I} = -2C_{1I}~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。