多项式的结式与判别式

贡献者： JierPeter

预备知识 1　一元多项式

　　结式和判别式都是由多项式的系数组合成的表达式，刻画了多项式的根的性质。其中结式可用于判断两个多项式有无公共根，而判别式可用于判断一个多项式有无重根。

　　介绍概念时，我们会先给出定义，然后再给例子来加深理解。

1. 结式

预备知识 2　行列式的性质

定义 1　结式

　　设 $f (x) = a (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{m})$ 和 $g (x) = b (x - β_{1}) (x - β_{2}) \dots (x - β_{n})$ ，且两多项式的系数都取自域 $F$ ¹。

　　则记

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Res (f, g) & = a^{n} b^{m} (α_{1} - β_{1}) (α_{2} - β_{1}) \dots (α_{m} - β_{n}) \\ = a^{n} \prod_{i} g (α_{i}) \\ = (- 1)^{m n} b^{m} \prod_{i} f (β_{i}) . \end{aligned} \end{matrix}

称之为

f

和

g

的结式（resultant）

　　结式有以下两个重要性质：

定理 1　

　　设 $f, g$ 是系数取自域 $F$ 的多项式。则 $Res (f, g) = 0$ 当且仅当 $f, g$ （在 $F$ 的代数闭包中）有共同根。

　　证明：

　　由根的定义和式 1 ，显然 $Res (f, g) = 0$ 当且仅当存在 $α_{i} = β_{j}$ 的情况。

　　证毕。

　　另一个性质式，能用多项式的系数来表示结式，于是，我们能从系数轻易判断两多项式有无公共根。

定理 2　

　　设 $f (x) = a_{m} x^{m} + \dots + a_{0}$ ， $g (x) = b_{n} x^{n} + \dots + b_{0}$ ，其中各系数 $a_{i}, b_{j}$ 都取自域 $F$ ，且 $a_{m} b_{m} \neq 0$ 。则

\begin{matrix} (2) & Res (f, g) = | \begin{matrix} a_{m} & \dots & \dots & a_{0} \\ ⋱ & ⋱ \\ a_{m} \dots & \dots & a_{0} \\ b_{n} & \dots & \dots & b_{0} \\ ⋱ & ⋱ \\ b_{n} \dots & \dots & b_{0} \end{matrix} |, \end{matrix}

其中式 2 的前

n

行都是

a_{i}

，后

m

行都是

b_{j}

。

　　举例而言， $a x^{2} + b x + c$ 和 $d x + e$ 的结式是

\begin{matrix} (3) & | \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & 0 \\ 0 & d & e \end{matrix} | = a e^{2} + c d^{2} - b d e . \end{matrix}

　　证明过于长，此处暂略。

2. 判别式

定义 2　判别式

　　设 $f (x) = a (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{n})$ 的系数都在域 $F$ 中，且有根 $α_{1}, \dots, α_{n}$ （重根也按重数分别计入）。

　　记

\begin{matrix} (4) & Dis (f) = a^{2 (n - 1)} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (α_{i} - α_{j})^{2} . \end{matrix}

称之为

f

的判别式（discriminant）。

例 1　

　　二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 又可以写为

\begin{matrix} (5) & (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}), \end{matrix}

因此其判别式为

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} {(\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})}^{2} & = {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a})}^{2} \\ = \frac{b^{2} - 4 a c}{a^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

看起来，这个和中学教的

b^{2} - 4 a c

相差一个因子

a^{2}

。不过对于分辨是否有重根，这个因子没有影响，因为我们只看判别式是不是零。详见定理 3 。

定理 3　

　　设 $f (x)$ 的系数都在域 $F$ 中，且次数大于等于 1。则 $f$ 无重根的充要条件是 $Dis f \neq 0$ 。

　　证明：

　　充分性：

　　设 $f (x) = a (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{n})$ 有重根，即存在 $i \neq j$ 使得 $α_{i} = α_{j}$ 。于是根据式 4 ， $Dis f = 0$ 。因此 $Dis f \neq 0$ 时 $f$ 不能有重根。

　　必要性：

　　同样由式 4 ，当各 $α_{i}$ 互不相等时， $Dis f \neq 0$ 。

　　证毕。

　　将定理 2 和定理 3 相结合，我们还能得到判别式的行列式表达法：

定理 4　

　　设 $f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{n}$ 的系数 $a_{i}$ 都在域 $F$ 中，且其次数大于等于 2，则

\begin{matrix} (7) & Dis (f) = (- 1)^{n (n - 1) / 2} \frac{1}{a_{n}} | \begin{matrix} a_{n} & \dots & \dots & a_{0} \\ ⋱ & ⋱ \\ a_{n} & \dots & \dots & a_{0} \\ n a_{n} & \dots & \dots & a_{0} \\ ⋱ & ⋱ \\ n a_{n} & \dots & \dots & a_{0} \end{matrix} | . \end{matrix}

　　对于 $f$ 有无重根的深入讨论，参见域论中的可分扩张文章。

1. ^ 这里用 “域” 这个术语是为了尽可能全面，避免重复文章。在初等数学中，我们常取 $F$ 为有理数域 $Q$ 或实数域 $R$ ，也就是说多项式的系数取自有理数域和实数域。具体情况看具体情况下的声明。

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多项式的结式与判别式

1. 结式

定义 1 结式

定理 1

定理 2

2. 判别式

定义 2 判别式

例 1

定理 3

定理 4

定义 1　结式

定理 1　

定理 2　

定义 2　判别式

例 1　

定理 3　

定理 4　