贡献者： JierPeter
结式和判别式都是由多项式的系数组合成的表达式，刻画了多项式的根的性质。其中结式可用于判断两个多项式有无公共根，而判别式可用于判断一个多项式有无重根。
介绍概念时，我们会先给出定义，然后再给例子来加深理解。
1. 结式
定义 1 结式
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)$ 和 $g(x)=b(x-\beta_1)(x-\beta_2)\cdots(x-\beta_n)$，且两多项式的系数都取自域 $\mathbb{F}$1。
则记
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname {Res}(f, g)&=a^nb^m(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_1)\cdots(\alpha_m-\beta_n)\\
&=a^n\prod_{i} g(\alpha_i)\\
&=(-1)^{mn}b^m\prod_{i} f(\beta_i)~.
\end{aligned}
\end{equation}
称之为 $f$ 和 $g$ 的
结式（resultant）
结式有以下两个重要性质：
定理 1
设 $f, g$ 是系数取自域 $\mathbb{F}$ 的多项式。则 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当 $f, g$（在 $\mathbb{F}$ 的代数闭包中）有共同根。
证明：
由根的定义和式 1 ，显然 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当存在 $\alpha_i=\beta_j$ 的情况。
证毕。
另一个性质式，能用多项式的系数来表示结式，于是，我们能从系数轻易判断两多项式有无公共根。
定理 2
设 $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0$，$g(x)=b_nx^n+\cdots+b_0$，其中各系数 $a_i, b_j$ 都取自域 $\mathbb{F}$，且 $a_mb_m\neq 0$。则
\begin{equation}
\operatorname {Res}(f, g)=
\begin{vmatrix}
a_m&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots& & \ddots\\
&&a_m\cdots&\cdots&a_0\\
b_n&\cdots&\cdots&b_0\\
&\ddots& & \ddots\\
&&b_n\cdots&\cdots&b_0\\
\end{vmatrix}~,
\end{equation}
其中
式 2 的前 $n$ 行都是 $a_i$，后 $m$ 行都是 $b_j$。
举例而言，$ax^2+bx+c$ 和 $dx+e$ 的结式是
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
d&e&0\\
0&d&e
\end{vmatrix}
=
ae^2+cd^2-bde~.
\end{equation}
证明过于长，此处暂略。
2. 判别式
定义 2 判别式
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中，且有根 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$（重根也按重数分别计入）。
记
\begin{equation}
\operatorname {Dis}(f) = a^{2(n-1)}\prod_{1\leq i< j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2~.
\end{equation}
称之为 $f$ 的
判别式（discriminant）。
例 1
二次多项式 $ax^2+b^x+c$ 又可以写为
\begin{equation}
(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})~,
\end{equation}
因此其判别式为
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})^2 &= (\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})^2\\
&=\frac{b^2-4ac}{a^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
看起来，这个和中学教的 $b^2-4ac$ 相差一个因子 $a^2$。不过对于分辨是否有重根，这个因子没有影响，因为我们只看判别式是不是零。详见
定理 3 。
定理 3
设 $f(x)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中，且次数大于等于 1。则 $f$无重根的充要条件是 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$。
证明：
充分性：
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 有重根，即存在 $i\neq j$ 使得 $\alpha_i=\alpha_j$。于是根据式 4 ，$ \operatorname {Dis}f = 0$。因此 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$ 时 $f$ 不能有重根。
必要性：
同样由式 4 ，当各 $\alpha_i$ 互不相等时，$ \operatorname {Dis}f\neq 0$。
证毕。
将定理 2 和定理 3 相结合，我们还能得到判别式的行列式表达法：
定理 4
设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_n$ 的系数 $a_i$ 都在域 $\mathbb{F}$ 中，且其次数大于等于 2，则
\begin{equation}
\operatorname {Dis}(f) = (-1)^{n(n-1)/2}\frac{1}{a_n}
\begin{vmatrix}
a_n&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots&&&\ddots\\
&&a_n&\cdots&\cdots&a_0\\
na_n&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots&&&\ddots\\
&&na_n&\cdots&\cdots&a_0
\end{vmatrix}~.
\end{equation}
对于 $f$ 有无重根的深入讨论，参见域论中的可分扩张词条。
1. ^ 这里用 “域” 这个术语是为了尽可能全面，避免重复词条。在初等数学中，我们常取 $\mathbb{F}$ 为有理数域$\mathbb{Q}$ 或实数域$\mathbb{R}$，也就是说多项式的系数取自有理数域和实数域。具体情况看具体情况下的声明。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。