多项式的结式与判别式

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一元多项式

   结式和判别式都是由多项式的系数组合成的表达式,刻画了多项式的根的性质.其中结式可用于判断两个多项式有无公共根,而判别式可用于判断一个多项式有无重根.

   介绍概念时,我们会先给出定义,然后再给例子来加深理解.

1. 结式

预备知识 行列式的性质

定义 1 结式

   设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)$ 和 $g(x)=b(x-\beta_1)(x-\beta_2)\cdots(x-\beta_n)$,且两多项式的系数都取自域 $\mathbb{F}$1

   则记

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {Res}(f, g)&=a^nb^m(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_1)\cdots(\alpha_m-\beta_n)\\ &=a^n\prod_{i} g(\alpha_i)\\ &=(-1)^{mn}b^m\prod_{i} f(\beta_i) \end{aligned} \end{equation}
称之为 $f$ 和 $g$ 的结式(resultant)

   结式有以下两个重要性质:

定理 1 

   设 $f, g$ 是系数取自域 $\mathbb{F}$ 的多项式.则 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当 $f, g$(在 $\mathbb{F}$ 的代数闭包中)有共同根.

   证明

   由根的定义和式 1 ,显然 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当存在 $\alpha_i=\beta_j$ 的情况.

   证毕

   另一个性质式,能用多项式的系数来表示结式,于是,我们能从系数轻易判断两多项式有无公共根.

定理 2 

   设 $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0$,$g(x)=b_nx^n+\cdots+b_0$,其中各系数 $a_i, b_j$ 都取自域 $\mathbb{F}$,且 $a_mb_m\neq 0$.则

\begin{equation} \operatorname {Res}(f, g)= \begin{vmatrix} a_m&\cdots&\cdots&a_0\\ &\ddots& & \ddots\\ &&a_m\cdots&\cdots&a_0\\ b_n&\cdots&\cdots&b_0\\ &\ddots& & \ddots\\ &&b_n\cdots&\cdots&b_0\\ \end{vmatrix} \end{equation}
其中式 2 的前 $n$ 行都是 $a_i$,后 $m$ 行都是 $b_j$.

   举例而言,$ax^2+bx+c$ 和 $dx+e$ 的结式是

\begin{equation} \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&0\\ 0&d&e \end{vmatrix} = ae^2+cd^2-bde \end{equation}

   证明过于长,此处暂略.

2. 判别式

定义 2 判别式

   设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中,且有根 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$(重根也按重数分别计入).

   记

\begin{equation} \operatorname {Dis}(f) = a^{2(n-1)}\prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2 \end{equation}
称之为 $f$ 的判别式(discriminant)

例 1 

   二次多项式 $ax^2+b^x+c$ 又可以写为

\begin{equation} (x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) \end{equation}
因此其判别式为
\begin{equation} \begin{aligned} (\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})^2 &= (\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})^2\\ &=\frac{b^2-4ac}{a^2} \end{aligned} \end{equation}
看起来,这个和中学教的 $b^2-4ac$ 相差一个因子 $a^2$.不过对于分辨是否有重根,这个因子没有影响,因为我们只看判别式是不是零.详见定理 3

定理 3 

   设 $f(x)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中,且次数大于等于 1.则 $f$无重根的充要条件是 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$.

   证明

   充分性:

   设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 有重根,即存在 $i\neq j$ 使得 $\alpha_i=\alpha_j$.于是根据式 4 ,$ \operatorname {Dis}f = 0$.因此 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$ 时 $f$ 不能有重根.

   必要性:

   同样由式 4 ,当各 $\alpha_i$ 互不相等时,$ \operatorname {Dis}f\neq 0$.

   证毕

   将定理 2 定理 3 相结合,我们还能得到判别式的行列式表达法:

定理 4 

   设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_n$ 的系数 $a_i$ 都在域 $\mathbb{F}$ 中,且其次数大于等于 2,则

\begin{equation} \operatorname {Dis}(f) = (-1)^{n(n-1)/2}\frac{1}{a_n} \begin{vmatrix} a_n&\cdots&\cdots&a_0\\ &\ddots&&&\ddots\\ &&a_n&\cdots&\cdots&a_0\\ na_n&\cdots&\cdots&a_0\\ &\ddots&&&\ddots\\ &&na_n&\cdots&\cdots&a_0 \end{vmatrix} \end{equation}

   对于 $f$ 有无重根的深入讨论,参见域论中的可分扩张词条.


1. ^ 这里用 “” 这个术语是为了尽可能全面,避免重复词条.在初等数学中,我们常取 $\mathbb{F}$ 为有理数域$\mathbb{Q}$ 或实数域$\mathbb{R}$,也就是说多项式的系数取自有理数域和实数域.具体情况看具体情况下的声明.


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