韦达定理（高等代数）

贡献者： JierPeter; Giacomo

预备知识　一元多项式，韦达定理（高中）

　　韦达定理描述了多项式根与系数的关系。在中学数学中常见韦达定理最简单的形式，即系数一元二次多项式的根与系数的关系。本文要讨论的是更一般形式下的韦达定理。

1. 定理描述

　　韦达定理适用于一般的复系数多项式的根（实系数多项式是它的一个特殊情况），记忆起来也非常方便：

定理 1　韦达定理

　　设有复系数多项式 $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \in C [x]$ ，据代数学基本定理知其应有 $n$ 个根（重根按重数记），分别记为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 。则有：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} & = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}, \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{n - 1} x_{n} & = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}}, \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \dots x_{n} & = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} . \end{aligned} \end{matrix}

更一般的，我们有

\sum_{1 \leq k_{1} \leq \dots \leq k_{i} \leq n} x_{k_{1}} x_{k_{2}} \dots x_{k_{i}} = (- 1)^{i} \frac{a_{n - i}}{a_{n}} .

未完成：Elementary symmetric polynomial

　　显然，高中版本的韦达定理只是定理 1 的一个特例：实系数一元二次多项式。

　　记忆式 1 也不难：第 $i$ 个式子就是每 $i$ 个根为一组相乘、所有组相加，结果是 $(- 1)^{i} \frac{a_{n - i}}{a_{n}}$ ，分母永远是最高次项的系数。

2. 定理证明

　　按定理 1 题设，知

\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = A (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n}) . \end{matrix}

　　展开后，比较各项系数得

\begin{matrix} (3) & a_{n} x^{n} = A x^{n}, \end{matrix}

和

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} a_{n - 1} x^{n - 1} & = A (- x_{1} - x_{2} - \dots - x_{n}) x^{n - 1}, \\ a_{n - 2} x^{n - 2} & = A (- x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3} - \dots - x_{n - 1} x_{n}) x^{n - 2}, \\ ⋮ \\ a_{0} & = A (- x_{1}) (- x_{2}) \dots (- x_{n}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　将式 3 代入式 4 ，整理后即得式 1 .

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韦达定理（高等代数）

1. 定理描述

定理 1 韦达定理

2. 定理证明

定理 1　韦达定理