韦达定理

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一元多项式

   韦达定理描述了多项式根与系数的关系.在中学数学中常见韦达定理最简单的形式,即实系数一元二次多项式的根与系数的关系.本词条要讨论的是最一般形式下的韦达定理.

1. 定理描述

定理 1 一元二次多项式的韦达定理

  

   设有域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $ax^2+bx+c$,其有两个根 $x_1$ 和 $x_2$,则有:

\begin{equation} x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \end{equation}
\begin{equation} x_1x_2 = \frac{c}{a} \end{equation}

   定理 1 的推导在这里不赘述,用一元二次方程的求根公式就能解决.

   事实上,韦达定理还适用于一般的实系数多项式的根,记忆起来也非常方便:

定理 2 韦达定理

   设有实系数多项式 $\sum_{i=0}^n a_ix^i$,据代数学基本定理知其应有 $n$ 个根(重根按重数记),分别记为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$.则有:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1+x_2+\cdots+x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n}\\ &\vdots\\ x_1x_2\cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \end{aligned}\right. \end{equation}

   显然,定理 1 只是定理 2 的一个特例:实系数一元二次多项式.实系数多项式指 “实数域上的多项式”,即 “域上的多项式” 的特例,二次多项式则是 “多项式” 的特例.

   记忆式 3 也不难:第 $i$ 个式子就是每 $i$ 个根为一组相乘、所有组相加,结果是 $(-1)^i\frac{a_{n-i}}{a_n}$,分母永远是最高次项的系数.

2. 定理证明

   按定理 2 题设,知

\begin{equation} \sum_{i=0}^n a_ix^i = A(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) \end{equation}

   展开后,比较各项系数得

\begin{equation} a_nx^n = Ax^n \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} a_{n-1}x^{n-1} &= A(-x_1-x_2-\cdots-x_n)x^{n-1}\\ a_{n-2}x^{n-2} &= A(-x_1x_2-x_1x_3-\cdots-x_{n-1}x_n)x^{n-2}\\ &\vdots\\ a_{0} &= A(-x_1)(-x_2)\cdots(-x_n) \end{aligned}\right. \end{equation}

   将式 5 代入式 6 ,整理后即得式 3 .


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