韦达定理（高等代数）
贡献者： JierPeter; Giacomo
韦达定理描述了多项式根与系数的关系。在中学数学中常见韦达定理最简单的形式，即系数一元二次多项式的根与系数的关系。本文要讨论的是更一般形式下的韦达定理。
1. 定理描述
韦达定理适用于一般的复系数多项式的根（实系数多项式是它的一个特殊情况），记忆起来也非常方便：
定理 1 韦达定理
设有复系数多项式 $\sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathbb{C}[x]$，据代数学基本定理知其应有 $n$ 个根（重根按重数记），分别记为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$。则有：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\cdots+x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}~,\\
x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n}~,\\
&\vdots\\
x_1x_2\cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n}~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
更一般的，我们有
$$
\sum_{1 \leq k_1 \leq \dots \leq k_i \leq n} x_{k_1} x_{k_2} \cdots x_{k_i} = (-1)^i \frac{a_{n - i}}{a_n}~.
$$
未完成：Elementary symmetric polynomial
显然，高中版本的韦达定理只是定理 1 的一个特例：实系数一元二次多项式。
记忆式 1 也不难：第 $i$ 个式子就是每 $i$ 个根为一组相乘、所有组相加，结果是 $(-1)^i\frac{a_{n-i}}{a_n}$，分母永远是最高次项的系数。
2. 定理证明
按定理 1 题设，知
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n a_ix^i = A(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)~.
\end{equation}
展开后，比较各项系数得
\begin{equation}
a_nx^n = Ax^n~,
\end{equation}
和
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a_{n-1}x^{n-1} &= A(-x_1-x_2-\cdots-x_n)x^{n-1}~,\\
a_{n-2}x^{n-2} &= A(-x_1x_2-x_1x_3-\cdots-x_{n-1}x_n)x^{n-2}~,\\
&\vdots\\
a_{0} &= A(-x_1)(-x_2)\cdots(-x_n)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
将式 3 代入式 4 ，整理后即得式 1 .
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