韦达定理(高等代数)

                     

贡献者: JierPeter; Giacomo

预备知识 一元多项式,韦达定理(高中)

   韦达定理描述了多项式根与系数的关系。在中学数学中常见韦达定理最简单的形式,即系数一元二次多项式的根与系数的关系。本词条要讨论的是更一般形式下的韦达定理。

1. 定理描述

   韦达定理适用于一般的复系数多项式的根(实系数多项式是它的一个特殊情况),记忆起来也非常方便:

定理 1 韦达定理

   设有复系数多项式 $\sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathbb{C}[x]$,据代数学基本定理知其应有 $n$ 个根(重根按重数记),分别记为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$。则有:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1+x_2+\cdots+x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n}\\ &\vdots\\ x_1x_2\cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \end{aligned}\right. \end{equation}
更一般的,我们有 $$ \sum_{1 \leq k_1 \leq \dots \leq k_i \leq n} x_{k_1} x_{k_2} \cdots x_{k_i} = (-1)^i \frac{a_{n - i}}{a_n} $$

  

未完成:Elementary symmetric polynomial

   显然,高中版本的韦达定理只是定理 1 的一个特例:实系数一元二次多项式。

   记忆式 1 也不难:第 $i$ 个式子就是每 $i$ 个根为一组相乘、所有组相加,结果是 $(-1)^i\frac{a_{n-i}}{a_n}$,分母永远是最高次项的系数。

2. 定理证明

   按定理 1 题设,知

\begin{equation} \sum_{i=0}^n a_ix^i = A(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) \end{equation}

   展开后,比较各项系数得

\begin{equation} a_nx^n = Ax^n \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} a_{n-1}x^{n-1} &= A(-x_1-x_2-\cdots-x_n)x^{n-1}\\ a_{n-2}x^{n-2} &= A(-x_1x_2-x_1x_3-\cdots-x_{n-1}x_n)x^{n-2}\\ &\vdots\\ a_{0} &= A(-x_1)(-x_2)\cdots(-x_n) \end{aligned}\right. \end{equation}

   将式 3 代入式 4 ,整理后即得式 1 .


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利