行列式的性质

                     

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预备知识 行列式

  

未完成:应该并入行列式

   以下是行列式常见的性质,我们从定义出发容易一一证明。由于行列式的绝对值表示体积,我们也可以从几何上理解这些定理。这些定理对复数元素的行列式同样适用,只是复数行列式不再具有直观的几何意义。

定理 1 

   若行列式中某行或某列全为 0,其结果等于 0。

   证明:根据定义(式 4 ),行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以当某列全为 0,则结果为 0。

   几何理解:若平行体的某条边长等于 0,其体积也等于 0。

定理 2 

   矩阵的任意一列(或任意一行)乘以常数,行列式的值也要乘以该常数。

   证明:思路和定理 1 的证明一样,行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以当某列全部元素乘以常数,则相加的每一项都乘以该常数。

   几何理解:将平行体任意一条边长乘以一个常数,它的体积也需要乘以该常数。

定理 3 

   将行列式的两列交换,结果取相反数。

   证明:根据行列式的定义,交换两行或两列会给展开后的每一项的奇偶性会发生改变,导致行列式的值取相反数。

定理 4 

   若将行列式的某行或某行的每一个元素都表示为两个数之和,那么它就可以表示为两个行列式相加:

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} + c_{i,1} & b_{i, 2} + c_{i, 2} & \dots & b_{i,N} + c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} & b_{i, 2} & \dots & b_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ c_{i,1} & c_{i, 2} & \dots & c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}~ \end{equation}
列的情况也同理。

   证明:行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以显然成立。

   几何理解:若把平行体的一条边变为两条折线,那么可以作出两个叠加的平行体,体积之和等于原来的体积。

定理 5 

   把矩阵的第 $i$ 行(列)加上 “第 $j$ 行(列)乘任意常数 $\lambda$”,行列式的值不变。

   证明:根据定理 4 定理 2 ,我们可以把这样操作后的行列式拆分为两个行列式,第一个与原来相同;第二个在原来的基础上把第 $i$ 行替换为第 $j$ 行,再把行列式的值乘以 $\lambda$。而第二个行列式由于存在两行相同,结果为 0。

   几何理解:以平行四边形为例,由于其体积是底乘以高,令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 为底,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影为高,则将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 变为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$($\lambda$ 为常数)后高不变,所以面积不变。高维情况同理。

定理 6 

   若行列式中的行矢或列线性相关,行列式的值为 0。

   线性相关意味着存在某一行 $i$,可以表示为其他行的线性组合。那么我们可以通过将这些其他的行依次乘以常数,然后加到第 $i$ 行上,使得第 $i$ 行全为 0。根据定理 5 ,这么做不改变行列式的值,而根据式 1 ,行列式的值为 0。

   几何理解:二维情况下两矢量线性相关意味着他们共线,平行四边形面积为 0。三维情况下线性相关意味着三个矢量共面,平行四面体体积为 0。高维情况也可类比。

定理 7 

   行列式的值为 0 当且仅当行列式中存在线性相关的列(行)。

定理 8 

   矩阵转置(将所有 $a_{i,j}$ 与 $a_{j,i}$ 交换)后行其列式的值不变。

   这个定理没有显然的几何理解,可以直接用行列式的定义证明(式 4 )。根据这个定理,以上凡是涉及到 “行” 的定理和说明,都可以替换为 “列”,请读者自行回顾一次。

定理 9 

   两方阵相乘的行列式等于他们的行列式相乘

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert ~. \end{equation}

   证明:容易证明对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 做行变换或对 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做列变换分别相当于对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做相同的行变换或列变换,所以根据定理 5 ,变换后式 2 两边的值都不改变。用行变换和列变换把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 都变为对角矩阵后,证明显然(留做习题)。

定理 10 

   若 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 存在,那么

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~. \end{equation}

   证明: $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{I}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert =1$,所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~.$

1. 拓展

   行列式的代数性质可以抽象为外代数(见例 6 以及例子后的解释),进而用于定义外微分,描述微分形式的代数性质。


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