行列式的性质

贡献者： addis; ACertainUser; 3.1415926

预备知识　行列式

未完成：应该并入行列式

　　以下是行列式常见的性质，我们从定义出发容易一一证明。由于行列式的绝对值表示体积，我们也可以从几何上理解这些定理。这些定理对复数元素的行列式同样适用，只是复数行列式不再具有直观的几何意义。

定理 1　

　　若行列式中某行或某列全为 0，其结果等于 0。

　　证明：根据定义（式 4 ），行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以当某列全为 0，则结果为 0。

　　几何理解：若平行体的某条边长等于 0，其体积也等于 0。

定理 2　

　　矩阵的任意一列（或任意一行）乘以常数，行列式的值也要乘以该常数。

　　证明：思路和定理 1 的证明一样，行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以当某列全部元素乘以常数，则相加的每一项都乘以该常数。

　　几何理解：将平行体任意一条边长乘以一个常数，它的体积也需要乘以该常数。

定理 3　

　　将行列式的两列交换，结果取相反数。

　　证明：根据行列式的定义，交换两行或两列会给展开后的每一项的奇偶性会发生改变，导致行列式的值取相反数。

定理 4　

　　若将行列式的某行或某行的每一个元素都表示为两个数之和，那么它就可以表示为两个行列式相加：

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} + c_{i,1} & b_{i, 2} + c_{i, 2} & \dots & b_{i,N} + c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} & b_{i, 2} & \dots & b_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ c_{i,1} & c_{i, 2} & \dots & c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}~ \end{equation}

列的情况也同理。

　　证明：行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以显然成立。

　　几何理解：若把平行体的一条边变为两条折线，那么可以作出两个叠加的平行体，体积之和等于原来的体积。

定理 5　

　　把矩阵的第 $i$ 行（列）加上 “第 $j$ 行（列）乘任意常数 $\lambda$”，行列式的值不变。

　　证明：根据定理 4 和定理 2 ，我们可以把这样操作后的行列式拆分为两个行列式，第一个与原来相同；第二个在原来的基础上把第 $i$ 行替换为第 $j$ 行，再把行列式的值乘以 $\lambda$。而第二个行列式由于存在两行相同，结果为 0。

　　几何理解：以平行四边形为例，由于其体积是底乘以高，令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 为底，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影为高，则将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 变为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$（$\lambda$ 为常数）后高不变，所以面积不变。高维情况同理。

定理 6　

　　若行列式中的行矢或列线性相关，行列式的值为 0。

　　线性相关意味着存在某一行 $i$，可以表示为其他行的线性组合。那么我们可以通过将这些其他的行依次乘以常数，然后加到第 $i$ 行上，使得第 $i$ 行全为 0。根据定理 5 ，这么做不改变行列式的值，而根据式 1 ，行列式的值为 0。

　　几何理解：二维情况下两矢量线性相关意味着他们共线，平行四边形面积为 0。三维情况下线性相关意味着三个矢量共面，平行四面体体积为 0。高维情况也可类比。

定理 7　

　　行列式的值为 0 当且仅当行列式中存在线性相关的列（行）。

定理 8　

　　矩阵转置（将所有 $a_{i,j}$ 与 $a_{j,i}$ 交换）后行其列式的值不变。

　　这个定理没有显然的几何理解，可以直接用行列式的定义证明（式 4 ）。根据这个定理，以上凡是涉及到 “行” 的定理和说明，都可以替换为 “列”，请读者自行回顾一次。

定理 9　

　　两方阵相乘的行列式等于他们的行列式相乘

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert ~. \end{equation}

　　证明：容易证明对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 做行变换或对 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做列变换分别相当于对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做相同的行变换或列变换，所以根据定理 5 ，变换后式 2 两边的值都不改变。用行变换和列变换把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 都变为对角矩阵后，证明显然（留做习题）。

定理 10　

　　若 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，那么

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~. \end{equation}

　　证明： $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{I}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert =1$，所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~.$

1. 拓展

　　行列式的代数性质可以抽象为外代数（见例 6 以及例子后的解释），进而用于定义外微分，描述微分形式的代数性质。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。