行列式的性质

             

预备知识 行列式

   以下是行列式常见的性质,我们从定义出发容易一一证明.由于行列式的绝对值表示体积,我们也可以从几何上理解这些定理.这些定理对复数元素的行列式同样适用,只是复数行列式不再具有直观的几何意义.

定理 1 

   若行列式中某行或某列全为 0,其结果等于 0.

   证明:根据定义(式 4 ),行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以当某列全为 0,则结果为 0.

   几何理解:若平行体的某条边长等于 0,其体积也等于 0.

定理 2 

   矩阵的任意一列(或任意一行)乘以常数,行列式的值也要乘以该常数.

   证明:思路和定理 1 的证明一样,行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以当某列全部元素乘以常数,则相加的每一项都乘以该常数.

   几何理解:将平行体任意一条边长乘以一个常数,它的体积也需要乘以该常数.

定理 3 

   将行列式的两列交换,结果取相反数.

   证明:根据行列式的定义,交换两行或两列会给展开后的每一项增加一个逆序数,导致行列式的值取相反数.

定理 4 

   若将行列式的某行或某行的每一个元素都表示为两个数之和,那么它就可以表示为两个行列式相加:

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} + c_{i,1} & b_{i, 2} + c_{i, 2} & \dots & b_{i,N} + c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} & b_{i, 2} & \dots & b_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ c_{i,1} & c_{i, 2} & \dots & c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} \end{aligned} \end{equation}
列的情况也同理.

   证明:行列式展开后,相加的每一项都含有每一行(或每一列)的一个元素,所以显然成立.

   几何理解:若把平行体的一条边变为两条折线,那么可以作出两个叠加的平行体,体积之和等于原来的体积.

定理 5 

   把矩阵的第 $i$ 行(列)叠加上 “第 $j$ 行(列)乘任意常数 $\lambda$”,行列式的值不变.

   证明:根据定理 4 定理 2 ,我们可以把这样操作后的行列式拆分为两个行列式,第一个与原来相同;第二个在原来的基础上把第 $i$ 行替换为第 $j$ 行,再把行列式的值乘以 $\lambda$.而第二个行列式由于存在两行相同,结果为 0.

   几何理解:以平行四边形为例,由于其体积是底乘以高,令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 为底,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影为高,则将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 变为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$($\lambda$ 为常数)后高不变,所以面积不变.高维情况同理.

定理 6 

   若行列式中的行矢或列线性相关,行列式的值为 0.

   线性相关意味着存在某一行 $i$,可以表示为其他行的线性组合.那么我们可以通过将这些其他的行依次乘以常数,然后加到第 $i$ 行上,使得第 $i$ 行全为 0.根据定理 5 ,这么做不改变行列式的值,而根据式 1 ,行列式的值为 0.

   几何理解:二维情况下两矢量线性相关意味着他们共线,平行四边形面积为 0.三维情况下线性相关意味着三个矢量共面,平行四面体体积为 0.高维情况也可类比.

定理 7 

   行列式的值为 0 当且仅当行列式中存在线性相关的列(行).

定理 8 

   矩阵转置(将所有 $a_{i,j}$ 与 $a_{j,i}$ 交换)后行其列式的值不变.

   这个定理没有显然的几何理解,可以直接用行列式的定义证明(式 4 ).根据这个定理,以上凡是涉及到 “行” 的定理和说明,都可以替换为 “列”,请读者自行回顾一次.

1. 拓展

   行列式的代数性质可以抽象为外代数(见例 6 以及例子后的解释),进而用于定义外微分,描述微分形式的代数性质.

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