留数定理

             

贡献者: JierPeter

预备知识 洛朗级数

   留数定理是用来计算围道积分的工具,也可以借用围道积分的性质来计算实函数的积分.

1. 定理的导出

   我们首先讨论最简单的洛朗级数 $f(z)=1/z$ 的围道积分.

例 1 

   考虑 $f(z)=1/z$ 的围道积分.

   令积分路径为 $\Gamma(t)=\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}$,其中 $\rho$ 是一个常数.$\Gamma$ 就是一个绕着一个半径为 $\rho$ 的圆的逆时针路径.$f$ 沿 $\Gamma$ 的围道积分就是:

\begin{equation} \begin{aligned} \int_{\Gamma}\frac{1}{z} \,\mathrm{d}{z} &=\int^{2\pi}_0\frac{1}{\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}}\cdot\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}}{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} \\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}}\cdot ( \mathrm{i} \rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}) \,\mathrm{d}{t} \\ &=\int_0^{2\pi} \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} \\ &=2\pi \mathrm{i} \end{aligned} \end{equation}

   对于任意逆时针环绕原点的路径 $P(t)$,我们可以求 $\int_{\Gamma}\frac{1}{z} \,\mathrm{d}{z} -\int_{P}\frac{1}{z} \,\mathrm{d}{z} $,其中 $\Gamma$ 完全包裹在 $P$ 中.这相当于求 $\Gamma$ 和 $P$ 之间区域的围道积分.这个中间区域是不包含原点的,因此由于 $1/z$ 在原点之外处处解析,由柯西积分定理知,中间区域的围道积分为 $0$.从而我们可以推知,$\int_{P}\frac{1}{z} \,\mathrm{d}{z} =2\pi \mathrm{i} $.

   更一般地,对于任意环绕原点的路径 $P$,有 $\int_{P}\frac{1}{z} \,\mathrm{d}{z} =\pm 2\pi \mathrm{i} $,其中 $P$ 为逆时针时取正号,反之取负号.

   接着是幂次更低的洛朗级数的围道积分.

例 2 

   考虑 $f(z)=1/z^n$ 的围道积分,其中整数 $n > 1$.

   同样令积分路径为 $\Gamma(t)=\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}$,其中 $\rho$ 是一个常数.$f$ 沿 $\Gamma$ 的围道积分就是:

\begin{equation} \begin{aligned} \int_{\Gamma}\frac{1}{z^n} \,\mathrm{d}{z} &=\int^{2\pi}_0\frac{1}{(\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t})^n}\cdot\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}}{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} \\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{(\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t})^n}\cdot ( \mathrm{i} \rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t}) \,\mathrm{d}{t} \\ &=\int_0^{2\pi}\frac{ \mathrm{i} }{\rho^{n-1}} \mathrm{e} ^{(1-n) \mathrm{i} t} \,\mathrm{d}{t} \\ &=\frac{1}{(1-n)\rho^{n-1}} \mathrm{e} ^{(1-n) \mathrm{i} t}|^{t=2\pi}_{t=0}\\ &=0 \end{aligned} \end{equation}

   和例 1 一样地,可以将结论推广为,对于任意积分路径 $P$,都有

\begin{equation} \int_P\frac{1}{z^n} \,\mathrm{d}{z} =0 \end{equation}

   而洛朗级数的正则部分是一个泰勒级数,其围道积分处处为 $0$.结合例 1 例 2 ,我们可以得到以下定理:

定义 1 留数

   取洛朗级数 $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$,定义 $a_{-1}$ 为 $f$ 在 $c$ 处的留数(residue),记为 $ \operatorname {Res}[f, c]$,或者 $ \operatorname {Res}_cf$.

定理 1 留数定理(单个极点)

   洛朗级数 $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ 沿闭合路径 $\Gamma$ 逆时针绕点 $c$ 一周的围道积分为

\begin{equation} \int_\Gamma f(z) \,\mathrm{d}{z} =2a_{-1}\pi \mathrm{i} \end{equation}
这一结果也可以表述为
\begin{equation} \int_\Gamma f(z) \,\mathrm{d}{z} =2\pi \mathrm{i} \operatorname {Res}_cf \end{equation}

   有时候回路中会有多个极点,此时我们要做的就是把这些极点的留数求和:

定理 2 留数定理

   如果连续复变函数 $f(z)$ 在闭合路径 $\Gamma$ 中有多个极点,那么沿 $\Gamma$ 的回路积分为

\begin{equation} \int_\Gamma f(z) \,\mathrm{d}{z} =2\pi \mathrm{i} \sum_{c} \operatorname {Res}_cf \end{equation}
其中 $c$ 遍历所有包含在 $\Gamma$ 中的极点.

2. 留数的计算

   如果能把给定函数 $f$ 在给定点的洛朗展开写出来,我们直接就能得到对应的留数,用于计算围道积分.但那样常常是非常麻烦的,也是没有必要的,因为留数只是洛朗级数中的一个系数,通常没必要为了求这一个系数而把整个级数算出来.

引理 1 

   如果 $f(z)$ 是一个在 $c\in\mathbb{C}$ 处解析的函数,那么 $ \operatorname {Rez}_c\frac{f(z)}{z-c}=f(c)$.

   引理 1 的证明很简单,将 $f(z)$ 在 $c$ 处泰勒展开以后再除以 $z-c$ 即可.

   利用引理 1 ,我们可以快速计算出很多常见函数的留数.

例 3 

   求 $\frac{1}{z(z-2)}$ 在 $z=2$ 处的留数.

   由于 $\frac{1}{z}$ 在 $z=2$ 处解析,因此根据引理 1 ,代入 $f(z)=\frac{1}{z}$ 和 $c=2$ 可知,

\begin{equation} \operatorname {Rez}_2\frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{2} \end{equation}

   用证明引理 1 的方法进行推广,还可以得到更一般的定理:

定理 3 

   如果 $f(z)$ 是一个在 $c\in\mathbb{C}$ 处解析的函数,$k$ 是一个正整数,那么 $ \operatorname {Rez}_c\frac{f(z)}{(z-c)^k}=\frac{f^{(k-1)}(c)}{(k-1)!}$.

   在很多材料中会把点 $c$ 称为 $f(z)/(z-c)^k$ 的 $k$级极点,其中 $f(z)$ 在 $c$ 处解析.

例 4 

   计算 $ \operatorname {Rez}_0 \frac{ \mathrm{e} ^{2z}}{z^2}$.

   在 $0$ 处,$\frac{ \mathrm{e} ^{2z}}{z^2}$ 有一个二级极点.根据定理 3 ,将 $k=2$、$f(z)= \mathrm{e} ^{2z}$ 和 $c=0$ 代入,可得:

\begin{equation} \operatorname {Rez}_0\frac{ \mathrm{e} ^{2z}}{z^2}=\frac{( \mathrm{e} ^{2z})'|_{z=0}}{1!}=2 \end{equation}


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