留数定理

贡献者： JierPeter

预备知识　洛朗级数

　　留数定理是用来计算围道积分的工具，也可以借用围道积分的性质来计算实函数的积分。

1. 定理的导出

　　我们首先讨论最简单的洛朗级数 $f (z) = 1 / z$ 的围道积分。

例 1　

　　考虑 $f (z) = 1 / z$ 的围道积分。

　　令积分路径为 $Γ (t) = ρ e^{i t}$ ，其中 $ρ$ 是一个常数。 $Γ$ 就是一个绕着一个半径为 $ρ$ 的圆的逆时针路径。 $f$ 沿 $Γ$ 的围道积分就是：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \int_{Γ} \frac{1}{z} d z & = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{ρ e^{i t}} \cdot \frac{d ρ e^{i t}}{d t} d t \\ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{ρ e^{i t}} \cdot (i ρ e^{i t}) d t \\ = \int_{0}^{2 π} i d t \\ = 2 π i . \end{aligned} \end{matrix}

　　对于任意逆时针环绕原点的路径 $P (t)$ ，我们可以求 $\int_{Γ} \frac{1}{z} d z - \int_{P} \frac{1}{z} d z$ ，其中 $Γ$ 完全包裹在 $P$ 中。这相当于求 $Γ$ 和 $P$ 之间区域的围道积分。这个中间区域是不包含原点的，因此由于 $1 / z$ 在原点之外处处解析，由柯西积分定理知，中间区域的围道积分为 $0$ 。从而我们可以推知， $\int_{P} \frac{1}{z} d z = 2 π i$ 。

　　更一般地，对于任意环绕原点的路径 $P$ ，有 $\int_{P} \frac{1}{z} d z = \pm 2 π i$ ，其中 $P$ 为逆时针时取正号，反之取负号。

　　接着是幂次更低的洛朗级数的围道积分。

例 2　

　　考虑 $f (z) = 1 / z^{n}$ 的围道积分，其中整数 $n > 1$ 。

　　同样令积分路径为 $Γ (t) = ρ e^{i t}$ ，其中 $ρ$ 是一个常数。 $f$ 沿 $Γ$ 的围道积分就是：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \int_{Γ} \frac{1}{z^{n}} d z & = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{(ρ e^{i t})^{n}} \cdot \frac{d ρ e^{i t}}{d t} d t \\ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{(ρ e^{i t})^{n}} \cdot (i ρ e^{i t}) d t \\ = \int_{0}^{2 π} \frac{i}{ρ^{n - 1}} e^{(1 - n) i t} d t \\ = \frac{1}{(1 - n) ρ^{n - 1}} e^{(1 - n) i t} ∣_{t = 0}^{t = 2 π} \\ = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　和例 1 一样地，可以将结论推广为，对于任意积分路径 $P$ ，都有

\begin{matrix} (3) & \int_{P} \frac{1}{z^{n}} d z = 0 . \end{matrix}

　　而洛朗级数的正则部分是一个泰勒级数，其围道积分处处为 $0$ 。结合例 1 和例 2 ，我们可以得到以下定理：

定义 1　留数

　　取洛朗级数 $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n}$ ，定义 $a_{- 1}$ 为 $f$ 在 $c$ 处的留数（residue），记为 $Res [f, c]$ ，或者 ${Res}_{c} f$ 。

定理 1　留数定理（单个极点）

　　洛朗级数 $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n}$ 沿闭合路径 $Γ$ 逆时针绕点 $c$ 一周的围道积分为

\begin{matrix} (4) & \int_{Γ} f (z) d z = 2 a_{- 1} π i, \end{matrix}

这一结果也可以表述为

\begin{matrix} (5) & \int_{Γ} f (z) d z = 2 π i {Res}_{c} f . \end{matrix}

　　有时候回路中会有多个极点，此时我们要做的就是把这些极点的留数求和：

定理 2　留数定理

　　如果连续复变函数 $f (z)$ 在闭合路径 $Γ$ 中有多个极点，那么沿 $Γ$ 的回路积分为

\begin{matrix} (6) & \int_{Γ} f (z) d z = 2 π i \sum_{c} {Res}_{c} f . \end{matrix}

其中

c

遍历所有包含在

Γ

中的极点。

例 3　

　　考虑函数 $f (z) = e^{i z^{2}}$ 在 $x$ 轴上的积分，即 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ 。

　　设 $Γ_{1}$ 为实数轴上从 $0$ 到 $ρ$ 的路径， $Γ_{2}$ 为从 $ρ$ 到 $e^{π i / 4}$ 的八分之一圆弧路径， $Γ_{3}$ 为上述圆弧半径上从 $e^{π i / 4}$ 到 $0$ 的路径。于是有

\begin{matrix} (7) & \int_{0}^{ρ} f (x) d x = \int_{Γ_{1}} f (z) d z . \end{matrix}

图 1：例 3 的积分路径。

　　由于 $f (z)$ 在整个复平面上都没有极点，因此据定理 2 ，

\begin{matrix} (8) & \sum_{i = 1, 2, 3} \int_{Γ_{i}} f (z) d z = 0 . \end{matrix}

　　由于 $f (x)$ 作为实函数是偶函数，故 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{0}^{\infty} f (x) d x$ 。于是我们可以根据 $f (z)$ 在 $Γ_{2}$ 和 $Γ_{3}$ 上的围道积分计算出式 1 ，再取 $ρ \to \infty$ 的极限得到所求。

　　先计算 $f (z)$ 沿着 $Γ_{2}$ 的积分：

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \int_{Γ_{2}} f (z) d z & = \int_{0}^{π / 4} e^{i ρ^{2} e^{2 i t}} \cdot i ρ e^{i t} d t \\ = i ρ \cdot (- \frac{1}{2 ρ^{2}}) e^{i ρ^{2} e^{2 i t}} ∣_{t = 0}^{t = π / 4} \\ = - \frac{i}{2 ρ} (e^{- ρ^{2}} - e^{i ρ^{2}}), \end{aligned} \end{matrix}

于是显然可知，

\begin{matrix} (10) & lim_{ρ \to + \infty} \int_{Γ_{2}} f (z) d z = 0 . \end{matrix}

　　再计算 $f (z)$ 沿着 $Γ_{3}$ 的积分：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \int_{Γ_{3}} f (z) d z & = \int_{ρ}^{0} e^{i {(\frac{\sqrt{2}}{2} t + \frac{\sqrt{2}}{2} i t)}^{2}} \cdot \frac{d (\frac{\sqrt{2}}{2} t + \frac{\sqrt{2}}{2} i t)}{d t} d t \\ = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i) \cdot \int_{ρ}^{0} e^{i {(\frac{\sqrt{2}}{2} t + \frac{\sqrt{2}}{2} i t)}^{2}} \cdot d t \\ = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i) \cdot \int_{ρ}^{0} e^{- t^{2}} \cdot d t . \end{aligned} \end{matrix}

由高斯积分的式 5 ，可知

\begin{matrix} (12) & lim_{ρ \to + \infty} \int_{Γ_{3}} f (z) d z = (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} i) \sqrt{π} = \sqrt{\frac{π}{8}} (1 + i) . \end{matrix}

　　 $Γ_{2}$ 和 $Γ_{3}$ 的积分得到了，就可以进行最后的计算：

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) & = 2 \int_{0}^{\infty} f (x) d x \\ = - 2 lim_{ρ \to + \infty} [\int_{Γ_{2}} f (z) d z + \int_{Γ_{3}} f (z) d z] \\ = - 2 \cdot \sqrt{\frac{π}{8}} (1 + i) \\ = \sqrt{\frac{π}{2}} (1 + i) . \end{aligned} \end{matrix}

　　注意到 $\sqrt{i} = \sqrt{\frac{1}{2}} (1 + i)$ ，式 13 也可写为

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) & = \sqrt{\frac{π}{- i}} . \end{aligned} \end{matrix}

这和高斯积分的式 6 相符。

　　类似地可证

\begin{matrix} (15) & \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{2}} (1 - i) . \end{matrix}

2. 留数的计算

　　如果能把给定函数 $f$ 在给定点的洛朗展开写出来，我们直接就能得到对应的留数，用于计算围道积分。但那样常常非常麻烦，也没有必要，因为留数只是洛朗级数中的一个系数，通常没必要为了求这一个系数而把整个级数算出来。

引理 1　

　　如果 $f (z)$ 是一个在 $c \in C$ 处解析的函数，那么 ${Rez}_{c} \frac{f (z)}{z - c} = f (c)$ 。

　　引理 1 的证明很简单，将 $f (z)$ 在 $c$ 处泰勒展开以后再除以 $z - c$ 即可。

　　利用引理 1 ，我们可以快速计算出很多常见函数的留数。

例 4　

　　求 $\frac{1}{z (z - 2)}$ 在 $z = 2$ 处的留数。

　　由于 $\frac{1}{z}$ 在 $z = 2$ 处解析，因此根据引理 1 ，代入 $f (z) = \frac{1}{z}$ 和 $c = 2$ 可知，

\begin{matrix} (16) & {Rez}_{2} \frac{1}{z (z - 2)} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

　　用证明引理 1 的方法进行推广，还可以得到更一般的定理：

定理 3　

　　如果 $f (z)$ 是一个在 $c \in C$ 处解析的函数， $k$ 是一个正整数，那么 ${Rez}_{c} \frac{f (z)}{(z - c)^{k}} = \frac{f^{(k - 1)} (c)}{(k - 1)!}$ 。

　　证明：

　　由于 $f (z)$ 在 $c$ 处解析，因此可以在 $c$ 处展开为

\begin{matrix} (17) & f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n} . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (18) & \frac{f (z)}{(z - c)^{k}} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n - k} = \sum_{n = - k}^{\infty} a_{n + k} (z - c)^{n}, \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (19) & {Rez}_{c} \frac{f (z)}{(z - c)^{k}} = a_{k - 1}, \end{matrix}

而

\begin{matrix} (20) & f^{k - 1} (c) = (k - 1)! a_{k - 1} . \end{matrix}

　　证毕。

　　在很多材料中会把点 $c$ 称为 $f (z) / (z - c)^{k}$ 的 $k$ 级极点，其中 $f (z)$ 在 $c$ 处解析。

例 5　

　　计算 ${Rez}_{0} \frac{e^{2 z}}{z^{2}}$ 。

　　在 $0$ 处， $\frac{e^{2 z}}{z^{2}}$ 有一个二级极点。根据定理 3 ，将 $k = 2$ 、 $f (z) = e^{2 z}$ 和 $c = 0$ 代入，可得：

\begin{matrix} (21) & {Rez}_{0} \frac{e^{2 z}}{z^{2}} = \frac{(e^{2 z})^{'} ∣_{z = 0}}{1!} = 2 . \end{matrix}

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留数定理

1. 定理的导出

例 1

例 2

定义 1 留数

定理 1 留数定理（单个极点）

定理 2 留数定理

例 3

2. 留数的计算

引理 1

例 4

定理 3

例 5

例 1　

例 2　

定义 1　留数

定理 1　留数定理（单个极点）

定理 2　留数定理

例 3　

引理 1　

例 4　

定理 3　

例 5　