贡献者: JierPeter
留数定理是用来计算围道积分的工具,也可以借用围道积分的性质来计算实函数的积分。
1. 定理的导出
我们首先讨论最简单的洛朗级数 的围道积分。
例 1
考虑 的围道积分。
令积分路径为 ,其中 是一个常数。 就是一个绕着一个半径为 的圆的逆时针路径。 沿 的围道积分就是:
对于任意逆时针环绕原点的路径 ,我们可以求 ,其中 完全包裹在 中。这相当于求 和 之间区域的围道积分。这个中间区域是不包含原点的,因此由于 在原点之外处处解析,由柯西积分定理知,中间区域的围道积分为 。从而我们可以推知,。
更一般地,对于任意环绕原点的路径 ,有 ,其中 为逆时针时取正号,反之取负号。
接着是幂次更低的洛朗级数的围道积分。
例 2
考虑 的围道积分,其中整数 。
同样令积分路径为 ,其中 是一个常数。 沿 的围道积分就是:
和例 1 一样地,可以将结论推广为,对于任意积分路径 ,都有
而洛朗级数的正则部分是一个泰勒级数,其围道积分处处为 。结合例 1 和例 2 ,我们可以得到以下定理:
定义 1 留数
取洛朗级数 ,定义 为 在 处的留数(residue),记为 ,或者 。
定理 1 留数定理(单个极点)
洛朗级数 沿闭合路径 逆时针绕点 一周的围道积分为
这一结果也可以表述为
有时候回路中会有多个极点,此时我们要做的就是把这些极点的留数求和:
定理 2 留数定理
如果连续复变函数 在闭合路径 中有多个极点,那么沿 的回路积分为
其中 遍历所有包含在 中的极点。
例 3
考虑函数 在 轴上的积分,即 。
设 为实数轴上从 到 的路径, 为从 到 的八分之一圆弧路径, 为上述圆弧半径上从 到 的路径。于是有
由于 在整个复平面上都没有极点,因此据定理 2 ,
由于 作为实函数是偶函数,故 。于是我们可以根据 在 和 上的围道积分计算出式 1 ,再取 的极限得到所求。
先计算 沿着 的积分:
于是显然可知,
再计算 沿着 的积分:
由
高斯积分的
式 5 ,可知
和 的积分得到了,就可以进行最后的计算:
注意到 ,式 13 也可写为
这和
高斯积分的
式 6 相符。
类似地可证
2. 留数的计算
如果能把给定函数 在给定点的洛朗展开写出来,我们直接就能得到对应的留数,用于计算围道积分。但那样常常非常麻烦,也没有必要,因为留数只是洛朗级数中的一个系数,通常没必要为了求这一个系数而把整个级数算出来。
引理 1 的证明很简单,将 在 处泰勒展开以后再除以 即可。
利用引理 1 ,我们可以快速计算出很多常见函数的留数。
例 4
求 在 处的留数。
由于 在 处解析,因此根据引理 1 ,代入 和 可知,
用证明引理 1 的方法进行推广,还可以得到更一般的定理:
定理 3
如果 是一个在 处解析的函数, 是一个正整数,那么 。
证明:
由于 在 处解析,因此可以在 处展开为
于是
因此
而
证毕。
在很多材料中会把点 称为 的 级极点,其中 在 处解析。
例 5
计算 。
在 处, 有一个二级极点。根据定理 3 ,将 、 和 代入,可得:
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