留数定理

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 洛朗级数

   留数定理是用来计算围道积分的工具,也可以借用围道积分的性质来计算实函数的积分。

1. 定理的导出

   我们首先讨论最简单的洛朗级数 f(z)=1/z 的围道积分。

例 1 

   考虑 f(z)=1/z 的围道积分。

   令积分路径为 Γ(t)=ρeit,其中 ρ 是一个常数。Γ 就是一个绕着一个半径为 ρ 的圆的逆时针路径。f 沿 Γ 的围道积分就是:

(1)Γ1zdz=02π1ρeitdρeitdtdt=02π1ρeit(iρeit)dt=02πidt=2πi .

   对于任意逆时针环绕原点的路径 P(t),我们可以求 Γ1zdzP1zdz,其中 Γ 完全包裹在 P 中。这相当于求 ΓP 之间区域的围道积分。这个中间区域是不包含原点的,因此由于 1/z 在原点之外处处解析,由柯西积分定理知,中间区域的围道积分为 0。从而我们可以推知,P1zdz=2πi

   更一般地,对于任意环绕原点的路径 P,有 P1zdz=±2πi,其中 P 为逆时针时取正号,反之取负号。

   接着是幂次更低的洛朗级数的围道积分。

例 2 

   考虑 f(z)=1/zn 的围道积分,其中整数 n>1

   同样令积分路径为 Γ(t)=ρeit,其中 ρ 是一个常数。f 沿 Γ 的围道积分就是:

(2)Γ1zndz=02π1(ρeit)ndρeitdtdt=02π1(ρeit)n(iρeit)dt=02πiρn1e(1n)itdt=1(1n)ρn1e(1n)itt=0t=2π=0 .

   和例 1 一样地,可以将结论推广为,对于任意积分路径 P,都有

(3)P1zndz=0 .

   而洛朗级数的正则部分是一个泰勒级数,其围道积分处处为 0。结合例 1 例 2 ,我们可以得到以下定理:

定义 1 留数

   取洛朗级数 f(z)=n=an(zc)n,定义 a1fc 处的留数(residue),记为 Res[f,c],或者 Rescf

定理 1 留数定理(单个极点)

   洛朗级数 f(z)=n=an(zc)n 沿闭合路径 Γ 逆时针绕点 c 一周的围道积分为

(4)Γf(z)dz=2a1πi ,
这一结果也可以表述为
(5)Γf(z)dz=2πiRescf .

   有时候回路中会有多个极点,此时我们要做的就是把这些极点的留数求和:

定理 2 留数定理

  

   如果连续复变函数 f(z) 在闭合路径 Γ 中有多个极点,那么沿 Γ 的回路积分为

(6)Γf(z)dz=2πicRescf .
其中 c 遍历所有包含在 Γ 中的极点。

例 3 

  

   考虑函数 f(z)=eiz2x 轴上的积分,即 f(x)dx

   设 Γ1 为实数轴上从 0ρ 的路径,Γ2 为从 ρeπi/4八分之一圆弧路径,Γ3 为上述圆弧半径上从 eπi/40 的路径。于是有

(7)0ρf(x)dx=Γ1f(z)dz .

图
图 1:例 3 的积分路径。

   由于 f(z) 在整个复平面上都没有极点,因此据定理 2

(8)i=1,2,3Γif(z)dz=0 .

   由于 f(x) 作为实函数是偶函数,故 f(x)dx=20f(x)dx。于是我们可以根据 f(z)Γ2Γ3 上的围道积分计算出式 1 ,再取 ρ 的极限得到所求。

   先计算 f(z) 沿着 Γ2 的积分:

(9)Γ2f(z)dz=0π/4eiρ2e2itiρeitdt=iρ(12ρ2)eiρ2e2itt=0t=π/4=i2ρ(eρ2eiρ2) ,
于是显然可知,
(10)limρ+Γ2f(z)dz=0 .

   再计算 f(z) 沿着 Γ3 的积分:

(11)Γ3f(z)dz=ρ0ei(22t+22it)2d(22t+22it)dtdt=(22+22i)ρ0ei(22t+22it)2dt=(22+22i)ρ0et2dt .
高斯积分式 5 ,可知
(12)limρ+Γ3f(z)dz=(24+24i)π=π8(1+i) .

   Γ2Γ3 的积分得到了,就可以进行最后的计算:

(13)f(x)=20f(x)dx=2limρ+[Γ2f(z)dz+Γ3f(z)dz]=2π8(1+i)=π2(1+i) .

   注意到 i=12(1+i)式 13 也可写为

(14)f(x)=πi .
这和高斯积分式 6 相符。

   类似地可证

(15)eix2dx=π2(1i) .

2. 留数的计算

   如果能把给定函数 f 在给定点的洛朗展开写出来,我们直接就能得到对应的留数,用于计算围道积分。但那样常常非常麻烦,也没有必要,因为留数只是洛朗级数中的一个系数,通常没必要为了求这一个系数而把整个级数算出来。

引理 1 

   如果 f(z) 是一个在 cC 处解析的函数,那么 Rezcf(z)zc=f(c)

   引理 1 的证明很简单,将 f(z)c 处泰勒展开以后再除以 zc 即可。

   利用引理 1 ,我们可以快速计算出很多常见函数的留数。

例 4 

   求 1z(z2)z=2 处的留数。

   由于 1zz=2 处解析,因此根据引理 1 ,代入 f(z)=1zc=2 可知,

(16)Rez21z(z2)=12 .

   用证明引理 1 的方法进行推广,还可以得到更一般的定理:

定理 3 

   如果 f(z) 是一个在 cC 处解析的函数,k 是一个正整数,那么 Rezcf(z)(zc)k=f(k1)(c)(k1)!

   证明

   由于 f(z)c 处解析,因此可以在 c 处展开为

(17)f(z)=n=0an(zc)n .
于是
(18)f(z)(zc)k=n=0an(zc)nk=n=kan+k(zc)n ,
因此
(19)Rezcf(z)(zc)k=ak1 ,
(20)fk1(c)=(k1)!ak1 .

   证毕

   在很多材料中会把点 c 称为 f(z)/(zc)kk级极点,其中 f(z)c 处解析。

例 5 

   计算 Rez0e2zz2

   在 0 处,e2zz2 有一个二级极点。根据定理 3 ,将 k=2f(z)=e2zc=0 代入,可得:

(21)Rez0e2zz2=(e2z)z=01!=2 .


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