皮卡-林德勒夫定理

贡献者： DTSIo; int256; addis

预备知识　李普希茨条件

　　 皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf theorem）是分析数学中的一个基本定理，又称为柯西-李普希茨定理（Cauchy-Lipschitz theorem）. 它断言：常微分方程（组）的初值问题只需要满足一些非常宽泛的条件，就是唯一可解的。

　　由于许多经典物理问题都可以化归为常微分方程组，所以皮卡-林德勒夫定理可以用来说明这些物理问题的决定论（deterministic）特性：给定了系统的初始状态之后，系统的演化就唯一确定了。

　　对于不满足皮卡-林德勒夫定理条件的常微分方程组，尚有皮亚诺存在定理。后者无法保证解的唯一性。

1. 定理的表述与辨析

定理 1　皮卡-林德勒夫定理

　　设 $I\subset\mathbb{R}$ 是开区间，$X$ 是巴拿赫空间, $U\subset X$ 是开集。设有映射 $f:U\times I\to X$, 对于 $X$ 变量满足局部李普希茨条件（），即对于任意 $x_0\in U$, $t_0\in I$, 都存在 $x_0$ 的小邻域 $\bar B_X(x_0,R)\subset U$ 和 $t_0$ 的小邻域 $[t_0-r,t_0+r]\subset I$, 以及一个正数 $L>0$, 使得对于任何 $x_1,x_2\in \bar B_X(x_0,R)$ 和 $t\in[t_0-r,t_0+r]$, 都有 $$ |f(x_1,t)-f(x_2,t)|_X\leq L|x_1-x_2|_X~. $$

　　则对于任何 $t_0\in I$, $x_0\in U$, 都存在一个正数 $T>0$, 使得常微分方程的初值问题 $$ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }u(t)=f(u(t),t)~,\quad u(t_0)=x_0~ $$ 在区间 $[t_0-T,t_0+T]\cap I$ 上有唯一解。

　　虽然定理的精确表述有点繁琐，但它背后的意思很简单：对于常微分方程

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }u(t)=f(u(t),t)~. \end{equation}

只要右边的函数 $f$ 满足李普希茨条件，也就是下面式 2 ，那么它的初值问题就唯一可解。

\begin{equation} \exists \text{constant}\ L > 0, \forall (x, y_1), (x, y_2) \in D(\bar{D}), \left|f(x, y_1)-f(x, y_2)\right| \le L \left|y_1 - y_2\right| ~. \end{equation}

其中，$f(x, y)$ 在区域 $D$（闭区域 $\bar{D}$）上有定义。满足式 2 就称 $f(x, y)$ 在区域 $D$（闭区域 $\bar{D}$）上关于 $y$ 满足李普希茨条件。

　　一般来说，实际问题中的 $f$ 都是连续可微的，这其实比李普希茨条件还要强。

　　 "唯一可解"的意思实际上比定理表述得还要更多。在定理的表述中，初值问题式 1 只是局部唯一可解的。但是，如果 $t_0+T\in I$, 那么还可以将 $u(t_0+T)$ 作为点 $t_0+T$ 处的新初值，从而将解沿着时间轴继续延拓下去。按照这个思路，就可以得到唯一的极大解.

　　在实际应用中，空间 $X$ 一般都是实数空间 $\mathbb{R}^n$. 这时候式 1 就是有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。对于形如 $$ y^{(n)}(t)=F(t,y(t),y'(t),...,y^{(n-1)}(t))~ $$ 的 $n$ 阶方程，只要命 $$ u(t)=\left(\begin{array}{c} y(t)\\ y'(t)\\ ...\\ y^{(n-1)}(t) \end{array} \right)~,\quad f(u(t),t)=\left(\begin{array}{c} u_2(t)\\ u_3(t)\\ ...\\ F\left(t,u_1(t),u_2(t),...,u_n(t)\right) \end{array} \right)~, $$ 就得到了有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。这表示：对于 $n$ 阶常微分方程，如果要确定它的一个特解，一般来说需要给定它的直到 $n-1$ 阶导数在某点处的值。

2. 证明

　　对于给定的 $t_0\in I$ 和 $x_0\in U$, 就取定理表述中的邻域 $\bar B_X(x_0,R)\subset U$ 和 $[t_0-r,t_0+r]\subset I$. 映射 $f$ 在 $\bar B_X(x_0,R)\times[t_0-r,t_0+r]$ 上是有界的，不妨设它的上界为 $M$. 对于 $T\leq r$, 命 $J_T=[t_0-T,t_0+T]$. 设 $\mathfrak{X}_T$ 是从 $J_T$ 出发的到 $\bar B_X(x_0,R)$ 的连续映射的集合，赋予度量 $$ \|u_1(t)-u_2(t)\|:=\sup_{t\in J_T}|u_1(t)-u_2(t)|_X~. $$ 则 $\mathfrak{X}_T$ 是一个完备度量空间。考虑它上面的非线性算子 $$ (\Phi u)(t):=x_0+\int_{t_0}^tf(u(s),s) \,\mathrm{d}{s} ~. $$ 这个算子将 $\mathfrak{X}_T$ 的映射变换为从 $J_T$ 到 $X$ 的映射。则初值问题式 1 等价于不动点型方程 $u=\Phi u$. 这提示我们可以使用压缩映像原理.

　　欲使得 $\Phi$ 将 $\mathfrak{X}_T$ 映射为自身，只需要 $T\leq R/M$; 实际上，这时候 $$ \|\Phi u-x_0\| \leq\sup_{t\in J_T}\left|\int_{t_0}^tf(u(s),s) \,\mathrm{d}{s} \right|_X \leq TM\leq R~, $$ 在此基础上，欲使得 $\Phi$ 成为压缩映射，只需要 $T<1/2L$; 实际上，这时候对于 $u_1,u_2\in\mathfrak{X}_T$ 有 $$ \begin{aligned} \|\Phi u_1-\Phi u_2\| &\leq\sup_{t\in J_T}\left|\int_{t_0}^t[f(u_1(s),s)-f(u_2(s),s)] \,\mathrm{d}{s} \right|_X \\ &\leq TL\|u_1-u_2\|\\ &<\frac{1}{2}\|u_1-u_2\|~. \end{aligned} $$ 所以，取 $T=\min\left(1/2L,R/M\right)$, 即可保证 $\Phi$ 是 $\mathfrak{X}_T$ 到自己的压缩映像，从而有唯一不动点。这不动点正是初值问题式 1 的唯一解。证毕。

　　由于用到了压缩映像原理来证明，便可以由此得到收敛到解的近似解序列。因此，皮卡-林德勒夫定理实际上给出了一个近似求解常微分方程（组）的算法：对于初值问题式 1 , 近似解可以由迭代序列 $$ u_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(u_n(s),s) \,\mathrm{d}{s} ~ $$ 给出，而且这个序列收敛到真解的速度是指数式的。这个算法叫做逐次迭代法. 由于极大解的存在，这个迭代算法实际上并不受 $t\in [t_0-T,t_0+T]$ 的限制，而可以取为极大存在区间中的任意一点。

3. 应用

　　显然，皮卡-林德勒夫定理保证了这样一个事实：

　　对于一个给定的常微分方程（组）的初值问题，只要它满足皮卡-林德勒夫定理的条件（这是很宽泛的）, 那么不论用什么办法求得它的解都一定是问题的唯一解。

　　这就为许多初等的推理提供了逻辑上的保证。例如，对于常系数二阶线性方程 $$ u''+au'+bu=0~, $$ 我们过去"猜测"它的解应该是形如 $e^{rt}$ 的函数的线性叠加，其中 $r$ 满足特征方程 $r^2+ar+b=0$. 现在有了皮卡-林德勒夫定理，我们便可以保证解一定是这种形式。

　　以上推理在微分几何学中有重要的用处。它保证了流形上光滑向量场的流一定是局部存在且唯一的。

　　进一步地，正如开头所说，皮卡-林德勒夫定理保证了许多常见的经典力学系统的决定论特性。例如，对于哈密顿系统, 只要哈密顿函数在相空间的区域上是连续可微的，那么给定了广义坐标和广义动量的初始值之后，系统就一定存在唯一的演化。如果回到牛顿力学的语言，这表示：在一个经典力学系统中，只要力场是连续可微的，那么给定了质点系的初始位置和初始速度，系统的演化就唯一决定了。

　　注意，经典力学系统的决定论特性与所谓的"混沌特性", 例如解对微扰的敏感性或者遍历性都不冲突; "混沌特性"描述的是系统的长期行为，在足够短的时间尺度之下，系统仍然可以是决定论式的。

　　最后，有必要给出一个皮卡-林德勒夫定理不成立的例子来说明以上逻辑的局限。这再次显示出现代物理学的一个基本思想：任何物理系统的数学模型都有其适用范围。

例 1　非唯一的解

　　考虑一个很简单的初值问题 $$ u'(t)=\sqrt{|u(t)|}~,\quad u(0)=0~. $$ 显然 $u(t)\equiv0$ 是一个解，但分离变量后积分可以看出 $u(t)=t^2/4$ 也是问题的解。之所以会出现这种非唯一性，是因为函数 $\sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 的任何邻域内都不满足李普希茨条件。然而，如果把 $\sqrt{|x|}$ 视为一维空间中某流体的流场，这就表示流体微团的行为在 $x=0$ 这个奇点附近是不明确的（或者说，出现了某种类似"湍流"的特性）. 我们可以对此作出一个更物理的解释：之所以出现这样的问题，无非是因为在 $x=0$ (即"湍流"出现的点) 附近不能再用流体速度场去描述流体的运动，在这里必须引入更精确的模型。

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