皮卡-林德勒夫定理

贡献者： DTSIo; int256; addis

预备知识　李普希茨条件

　　 皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf theorem）是分析数学中的一个基本定理，又称为柯西-李普希茨定理（Cauchy-Lipschitz theorem）. 它断言：常微分方程（组）的初值问题只需要满足一些非常宽泛的条件，就是唯一可解的。

　　由于许多经典物理问题都可以化归为常微分方程组，所以皮卡-林德勒夫定理可以用来说明这些物理问题的决定论（deterministic）特性：给定了系统的初始状态之后，系统的演化就唯一确定了。

　　对于不满足皮卡-林德勒夫定理条件的常微分方程组，尚有皮亚诺存在定理。后者无法保证解的唯一性。

1. 定理的表述与辨析

定理 1　皮卡-林德勒夫定理

　　设 $I \subset R$ 是开区间， $X$ 是巴拿赫空间, $U \subset X$ 是开集。设有映射 $f : U \times I \to X$ , 对于 $X$ 变量满足局部李普希茨条件，即对于任意 $x_{0} \in U$ , $t_{0} \in I$ , 都存在 $x_{0}$ 的小邻域 ${\bar{B}}_{X} (x_{0}, R) \subset U$ 和 $t_{0}$ 的小邻域 $[t_{0} - r, t_{0} + r] \subset I$ , 以及一个正数 $L > 0$ , 使得对于任何 $x_{1}, x_{2} \in {\bar{B}}_{X} (x_{0}, R)$ 和 $t \in [t_{0} - r, t_{0} + r]$ , 都有 $| f (x_{1}, t) - f (x_{2}, t) |_{X} \leq L | x_{1} - x_{2} |_{X} .$

　　则对于任何 $t_{0} \in I$ , $x_{0} \in U$ , 都存在一个正数 $T > 0$ , 使得常微分方程的初值问题 $\frac{d}{d t} u (t) = f (u (t), t), u (t_{0}) = x_{0}$ 在区间 $[t_{0} - T, t_{0} + T] \cap I$ 上有唯一解。

　　虽然定理的精确表述有点繁琐，但它背后的意思很简单：对于常微分方程

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} u (t) = f (u (t), t) . \end{matrix}

只要右边的函数 $f$ 满足李普希茨条件，也就是下面式 2 ，那么它的初值问题就唯一可解。

\begin{matrix} (2) & \exists constant L > 0, \forall (x, y_{1}), (x, y_{2}) \in D (\bar{D}), | f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq L | y_{1} - y_{2} | . \end{matrix}

其中，

f (x, y)

在区域

D

（闭区域

\bar{D}

）上有定义。满足式 2 就称

f (x, y)

在区域

D

（闭区域

\bar{D}

）上关于

y

满足李普希茨条件。

　　一般来说，实际问题中的 $f$ 都是连续可微的，这其实比李普希茨条件还要强。

　　 "唯一可解"的意思实际上比定理表述得还要更多。在定理的表述中，初值问题式 1 只是局部唯一可解的。但是，如果 $t_{0} + T \in I$ , 那么还可以将 $u (t_{0} + T)$ 作为点 $t_{0} + T$ 处的新初值，从而将解沿着时间轴继续延拓下去。按照这个思路，就可以得到唯一的极大解.

　　在实际应用中，空间 $X$ 一般都是实数空间 $R^{n}$ . 这时候式 1 就是有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。对于形如 $y^{(n)} (t) = F (t, y (t), y^{'} (t), . . ., y^{(n - 1)} (t))$ 的 $n$ 阶方程，只要命 $u (t) = (\begin{matrix} y (t) \\ y^{'} (t) \\ . . . \\ y^{(n - 1)} (t) \end{matrix}), f (u (t), t) = (\begin{matrix} u_{2} (t) \\ u_{3} (t) \\ . . . \\ F (t, u_{1} (t), u_{2} (t), . . ., u_{n} (t)) \end{matrix}),$ 就得到了有 $n$ 个未知函数的常微分方程组。这表示：对于 $n$ 阶常微分方程，如果要确定它的一个特解，一般来说需要给定它的直到 $n - 1$ 阶导数在某点处的值。

2. 证明

　　对于给定的 $t_{0} \in I$ 和 $x_{0} \in U$ , 就取定理表述中的邻域 ${\bar{B}}_{X} (x_{0}, R) \subset U$ 和 $[t_{0} - r, t_{0} + r] \subset I$ . 映射 $f$ 在 ${\bar{B}}_{X} (x_{0}, R) \times [t_{0} - r, t_{0} + r]$ 上是有界的，不妨设它的上界为 $M$ . 对于 $T \leq r$ , 命 $J_{T} = [t_{0} - T, t_{0} + T]$ . 设 $X_{T}$ 是从 $J_{T}$ 出发的到 ${\bar{B}}_{X} (x_{0}, R)$ 的连续映射的集合，赋予度量 $‖ u_{1} (t) - u_{2} (t) ‖ := sup_{t \in J_{T}} | u_{1} (t) - u_{2} (t) |_{X} .$ 则 $X_{T}$ 是一个完备度量空间。考虑它上面的非线性算子 $(Φ u) (t) := x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (u (s), s) d s .$ 这个算子将 $X_{T}$ 的映射变换为从 $J_{T}$ 到 $X$ 的映射。则初值问题式 1 等价于不动点型方程 $u = Φ u$ . 这提示我们可以使用压缩映像原理.

　　欲使得 $Φ$ 将 $X_{T}$ 映射为自身，只需要 $T \leq R / M$ ; 实际上，这时候 $‖ Φ u - x_{0} ‖ \leq sup_{t \in J_{T}} {| \int_{t_{0}}^{t} f (u (s), s) d s |}_{X} \leq T M \leq R,$ 在此基础上，欲使得 $Φ$ 成为压缩映射，只需要 $T < 1 / 2 L$ ; 实际上，这时候对于 $u_{1}, u_{2} \in X_{T}$ 有 $\begin{aligned} ‖ Φ u_{1} - Φ u_{2} ‖ & \leq sup_{t \in J_{T}} {| \int_{t_{0}}^{t} [f (u_{1} (s), s) - f (u_{2} (s), s)] d s |}_{X} \\ \leq T L ‖ u_{1} - u_{2} ‖ \\ < \frac{1}{2} ‖ u_{1} - u_{2} ‖ . \end{aligned}$ 所以，取 $T = min (1 / 2 L, R / M)$ , 即可保证 $Φ$ 是 $X_{T}$ 到自己的压缩映像，从而有唯一不动点。这不动点正是初值问题式 1 的唯一解。证毕。

　　由于用到了压缩映像原理来证明，便可以由此得到收敛到解的近似解序列。因此，皮卡-林德勒夫定理实际上给出了一个近似求解常微分方程（组）的算法：对于初值问题式 1 , 近似解可以由迭代序列 $u_{n + 1} (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (u_{n} (s), s) d s$ 给出，而且这个序列收敛到真解的速度是指数式的。这个算法叫做逐次迭代法. 由于极大解的存在，这个迭代算法实际上并不受 $t \in [t_{0} - T, t_{0} + T]$ 的限制，而可以取为极大存在区间中的任意一点。

3. 应用

　　显然，皮卡-林德勒夫定理保证了这样一个事实：

　　对于一个给定的常微分方程（组）的初值问题，只要它满足皮卡-林德勒夫定理的条件（这是很宽泛的）, 那么不论用什么办法求得它的解都一定是问题的唯一解。

　　这就为许多初等的推理提供了逻辑上的保证。例如，对于常系数二阶线性方程 $u^{″} + a u^{'} + b u = 0,$ 我们过去"猜测"它的解应该是形如 $e^{r t}$ 的函数的线性叠加，其中 $r$ 满足特征方程 $r^{2} + a r + b = 0$ . 现在有了皮卡-林德勒夫定理，我们便可以保证解一定是这种形式。

　　以上推理在微分几何学中有重要的用处。它保证了流形上光滑向量场的流一定是局部存在且唯一的。

　　进一步地，正如开头所说，皮卡-林德勒夫定理保证了许多常见的经典力学系统的决定论特性。例如，对于哈密顿系统, 只要哈密顿函数在相空间的区域上是连续可微的，那么给定了广义坐标和广义动量的初始值之后，系统就一定存在唯一的演化。如果回到牛顿力学的语言，这表示：在一个经典力学系统中，只要力场是连续可微的，那么给定了质点系的初始位置和初始速度，系统的演化就唯一决定了。

　　注意，经典力学系统的决定论特性与所谓的"混沌特性", 例如解对微扰的敏感性或者遍历性都不冲突; "混沌特性"描述的是系统的长期行为，在足够短的时间尺度之下，系统仍然可以是决定论式的。

　　最后，有必要给出一个皮卡-林德勒夫定理不成立的例子来说明以上逻辑的局限。这再次显示出现代物理学的一个基本思想：任何物理系统的数学模型都有其适用范围。

例 1　非唯一的解

　　考虑一个很简单的初值问题 $u^{'} (t) = \sqrt{| u (t) |}, u (0) = 0 .$ 显然 $u (t) \equiv 0$ 是一个解，但分离变量后积分可以看出 $u (t) = t^{2} / 4$ 也是问题的解。之所以会出现这种非唯一性，是因为函数 $\sqrt{| x |}$ 在 $x = 0$ 的任何邻域内都不满足李普希茨条件。然而，如果把 $\sqrt{| x |}$ 视为一维空间中某流体的流场，这就表示流体微团的行为在 $x = 0$ 这个奇点附近是不明确的（或者说，出现了某种类似"湍流"的特性）. 我们可以对此作出一个更物理的解释：之所以出现这样的问题，无非是因为在 $x = 0$ (即"湍流"出现的点) 附近不能再用流体速度场去描述流体的运动，在这里必须引入更精确的模型。

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