巴拿赫不动点定理

             

预备知识 完备度量空间

   巴拿赫不动点定理 (Banach fixed point theorem) 又称作压缩映像原理 (contraction mapping principle). 它是完备度量空间理论中的基本定理, 在分析数学的诸多分支中均有应用.

1. 两个著名例子

例 1 落在地面上的地图

   这是数学科普中常见的命题: 将一座公园的地图铺开在公园地面上, 则地面上恰有唯一一点与地图上对应的点重合.

   借助一点线性代数知识, 这个命题是不难验证的. 设公园可以用有界的面闭区域 $\bar\Omega$ 表示. 设地图的压缩比是 $\lambda$ (它当然介于 0 和 1 之间). 现在固定一个平面直角坐标系, 把地图铺在区域 $\bar\Omega$ 内, 则从 $\bar\Omega$ 内的点 (公园中的地点) 到地图上对应点的变换由下面的公式给出: $$ x\to \lambda Rx+b, $$ 这里 $R$ 是一个旋转变换, $b$ 是平移向量. 于是, 要找的重合点必然满足方程 $$ x=\lambda Rx+b. $$ 由于 $\|\lambda R\|=\lambda < 1$, 这方程就有唯一的解 $$ x=(1-\lambda R)^{-1}b=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nR^nb. $$ 它就是要求的重合点.

例 2 函数的迭代

   这是一个常见的数学实验: 在计算器中任意输入一个数, 而后不停地计算它的余弦值 (弧度制), 会得到什么结果?

图
图 1:余弦函数的迭代

   上图给出了一个结果; 迭代的结果越来越逼近对角线 $y=x$ 与余弦曲线 $y=\cos x$ 的唯一交点. 验算若干数值, 不难作出如下猜测: 不论实数的迭代序列 $$ x_{n+1}=\cos x_n $$ 开始于哪一个数, 它最后都会收敛到方程 $x=\cos x$ 的唯一实数解 $x=0.739...$.

   这个结论也可以严格证明. 不论起点 $x_1$ 是何数, 都有 $|x_2|=|\cos x_1|\leq 1$, 从而 $\cos 1\leq x_3\leq 1$. 这样一来, 从 $x_3$ 开始, 所有点都落在区间 $[\cos 1,1]$ 内. 于是可以作出如下估计: $$ \begin{aligned} |x_{n+2}-x_{n+1}| =\left|\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\sin tdt\right| \leq (\sin 1)|x_{n+1}-x_n|. \end{aligned} $$ 由于 $|\sin1| < 1$, 这表示序列 $\{x_n\}$ 是柯西序列, 从而收敛到某个点 $x_*$. 对等式 $x_{n+1}=\cos x_n$ 取极限即看出这个极限点正是方程 $x=\cos x$ 的解.

2. 巴拿赫不动点定理

定理的表述

   从上面所举的两个例子, 可以抽象出如下的定理:

定理 1 巴拿赫不动点定理

   设 $(X,d)$ 是完备度量空间, $T:X\to X$ 是连续映射. 如果存在一个数 $q\in(0,1)$ 使得 $d(Tx,Ty)\leq qd(x,y)$ 对于任意的 $x,y\in X$ 都成立, 那么映射 $T$ 有唯一的不动点, 即满足 $x=Tx$ 的点. 而且, 对于任意 $x_0\in X$, 点列 $\{T^nx_0\}_{n\in\mathbb{N}}$ 都收敛到这个不动点.

   证明是直接的计算: 根据度量空间中的三角不等式, 显然有 $$ \begin{aligned} d(T^nx_0,T^{n+k}x_0) &\leq \sum_{j=1}^k d(T^{n+j-1}x_0,T^{n+j}x_0)\\ &\leq \sum_{j=1}^k q^{n+j-1}d(x_0,Tx_0)\\ &\leq \frac{q^n}{1-q}d(x_0,Tx_0). \end{aligned} $$ 于是点列 $\{T^nx_0\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是柯西序列, 在完备度量空间 $X$ 之中自然收敛到某个 $x_*\in X$. 在公式 $T^{n+1}x_0=T(T^nx_0)$ 中令 $n\to\infty$ 就立刻看出 $x_*=Tx_*$. 不动点的唯一性则由 $d(Tx,Ty)\leq qd(x,y)$ 立刻得到. 证毕.

   在上面的不等式中, 如果令 $k\to\infty$, 就得到估计 $$ d(T^nx_0,x_*)\leq\frac{q^n}{1-q}d(x_0,Tx_0). $$ 这表示点列 $\{T^nx_0\}_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛到不动点 $x_*$ 的速度很快, 是指数式的.

辨析

   从许多个意义上来说, 巴拿赫不动点定理都是最优的, 因为取消任何一条假设都能够让定理不成立 (即存在反例).

例 3 没有完备性

   这个例子非常简单. 考虑开区间 $(0,1)$ 到自己的映射 $f(x)=x/2$. 它的不动点 $x=0$ 跑出了 $(0,1)$ 的范围. 之所以会有这样的反例, 是因为开区间 $(0,1)$ 在通常的距离函数之下并不是完备的度量空间.

例 4 没有一致的压缩比

   巴拿赫不动点定理的表述要求一个无关于点 $x,y$ 的数 $q < 1$, 这个数有时被称为压缩比. 如果没有一致的压缩比, 那么就能举出反例. 例如函数 $$ f(x)=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\sqrt{x^2+1},\,x\in\mathbb{R}. $$ 如图所示, 它的图形是双曲线的一支, 以对角线 $y=x$ 为渐近线. 方程 $x=f(x)$ 当然无解. 另一方面, 通过微分中值定理, 却也容易证明不等式 $$ |f(x_1)-f(x_2)|<|x_1-x_2|,\,x_1,x_2\in\mathbb{R}. $$ 然而, 当 $x_1,x_2\to-\infty$ 时, 不难看出 $\frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}$ 越来越接近 1. 因此映射 $f$ 没有一致的压缩比.

图
图 2:函数 $f(x)=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\sqrt{x^2+1}$ 的图形

3. 应用举例

   巴拿赫不动点定理在数学中有诸多应用. 它可以用来证明方程存在唯一解, 而且因为它的证明是构造性的, 它还能够给出近似计算解的算法.

例 5 平方根的计算

   对于给定的正数 $a$,它的算术平方根 $\sqrt{a}$ 一定满足方程 $x^2=a$.不妨设 $a > 1$,将其改写为下列形式

\begin{equation} \frac{1}{2} \left(x+\frac{a}{x} \right) =x \end{equation}
将等式左边的部分视为 $Tx$,易知 $T$ 是完备度量空间1 $[\eta,a]$($\eta$ 是一足够小正数2)上的连续映射.

   又对任意 $x_1,x_2\in [\eta,a]$

\begin{equation} \left\lvert Tx_1 - Tx_2 \right\rvert =\frac{1}{2} \left\lvert x_1 - x_2 \right\rvert \left\lvert 1-\frac{a}{x_1x_2} \right\rvert \leq\frac{1}{2} \left\lvert x_1 - x_2 \right\rvert \end{equation}

   根据巴拿赫不动点定理,我们可知算术平方根 $\sqrt{a}$ 必然存在且唯一,且对任意 $x\in[\eta,a]$,点列 $\{T^nx_0\}_{n\in\mathbb{N}}$ 均收敛到 $\sqrt{a}$.

   所以我们可以这么计算正数 $a(a\geq 2)$ 的算术平方根:先取 $x_1=\frac{1}{2}a$3,然后按下式迭代计算:

\begin{equation} x_{n+1}=\frac{1}{2} \left(x_n+\frac{a}{x_n} \right) \end{equation}

   计算精度估计($n$ 为迭代计算次数)

\begin{equation} \epsilon\leq \left(\frac{1}{2} \right) ^{n+1} \left\lvert a-4 \right\rvert \end{equation}

   当 $1\leq a < 2$ 时,取 $x_1=1$,此时计算精度估计

\begin{equation} \epsilon\leq \left(\frac{1}{2} \right) ^{n-1} \left\lvert a \right\rvert \end{equation}

   当 $0 < a<1$ 时,求 $\sqrt{1/a}$,然后求倒数即可.


1. ^ 完备度量空间的闭子集必然是完备度量空间.
2. ^ $\eta$ 的值一方面要保证 $Tx\in[\eta,a](x\in[\eta,a])$,另一方面要保证 $x_1x_2 \geq a/2$ $(x_1,x_2\in[\eta,a])$,但可以证明 $\eta$ 是存在的(证明存在正数 $\eta$ 使 $a/2\leq \eta^2 < a$).
3. ^ 易证存在 $\eta\leq\frac{1}{2}a$ 且满足上面的条件.

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