常微分方程解的存在、唯一及连续可微定理

                     

贡献者： 零穹

　　 本节证明常微分方程的解的存在、唯一、及对参数连续可微定理。所谓 “解对参数连续可微” 是指微分方程

的解 $\phi$ 也是某些参数 $\mu =({\mu }_1,\cdots ,{\mu }_m)$ 的函数，即 $\phi (\mu ,t)$。于是 式 1 右边也应写成 $v(x,\mu ,t)$。即需要证明形如 的微分方程解的存在唯一且对参数 $\mu$ 的连续可微定理。然而，可以验证，对式 1 证明存在唯一性和对初始点解为 $C^r$ 类，等价于证明式 2 的存在唯一性和对参数 $\mu$ 为 $C^r$ 类。事实上： 若微分方程式 1 解 $\phi$ 存在唯一且对初始点 $(t_0,x_0)$ $r$ 次连续可微。记 则 式 2 等价于(初始 $\mu$ 分量为 $\mu$ 的)微分方程 由假设，式 4 的解 $\phi (t)$ 存在唯一，且 $r$ 次连续可微的依赖于起始点 $(t_0,x_0,\mu )$（即解可写为 $\phi (x_0,\mu ,t_0,t)\equiv \phi (t)$ 且 $\phi (x_0,\mu ,t_0,t_0)=x_0$），于是解也就 $r$ 阶连续可微的依赖于 $\mu$； 反之，如果对式 2 的微分方程存在唯一及对参数 $\mu$ $r$ 次连续可微定理成立，则由 $\mu$ 是参数，可令 $v_{\mu }(x,t)\equiv v(x,\mu ,t)$ 则式 2 等价于 由假定，其解存在唯一且对参数 $\mu$ 属于 $C^r$ 类。取参数 $\mu$ 对应起始点 $(t_0,x_0)$ 的情形，于是微分方程式 5 的解存在唯一且对起始点 $r$ 阶连续可微。

　　 一般的常微分方程都可以写为式 1 的形式，并通过上面考虑，我们只需要证明对形为式 1 的微分方程的解存在唯一且连续依赖于起始点即可。

　　 解的可微定理引出一个重要的方法：小参数法（或微扰法）。设想包含小参数 $ϵ$ 的微分方程 $\dot{x}=v(x,ϵ)$，$v$ 对 $ϵ$ 连续可微，于是解的可微定理使得具有固定初始条件的解可以写成形式

其中 $x_0$ 是 “未受扰” 方程 $\dot{x}=v(x,0)$ 的解。

1. 存在、唯一及对参数的连续可微定理

　　 证明（存在唯一和对参数的连续性）：由定理 2 ，对任一点 $(t_1,x_1)$，都有要求的点 $(t_1,x_1)$ 的领域 $M$（对应 $|x-x_1|\le b^{\prime },|t-t_1|\le a^{\prime }$）存在，使得 $\mathrm{\forall }z\in M$，皮卡映射（定义 1 ）

是 $M$ 中的压缩映射（$M$ 的定义见定理 2 ）。由于压缩映射都有不动点（定理 1 ），而皮卡映射式 9 的不动点 $g(x_1,t_1,t)$ 就是微分方程式 8 的解（定理 1 ），由 $M$ 的完备性（习题 1 ），该不动点对应的曲线也在 $M$ 中。而 $M$ 中的曲线都是连续的，故解的存在性和对变量 $(x_1,t_1,t)$ 的连续性得证！

　　 下面证明唯一性：设 $g_1(x_1,t_1,t),g_2(x_1,t_1,t)$ 都是初值条件 $g(x_1,t_1,t_1)=x_1$ 的微分方程式 8 的解。由于 $g_1,g_2\in M$，所以可对其实行皮卡映射。由于在解存在的区域里皮卡映射是压缩映射，故成立（为何度量变成范数可类比线性算子度量空间，这里 $\Vert g\Vert =\underset{x_1,t_1,t}{max}|g(x_1,t_1,t)|$）

由于定理 1 ，$g_1,g_2$ 都是 $A$ 的不动点，故式 10 变成 上式只能在 $\Vert g_1-g_2\Vert =0$ 时成立，这意味着唯一性。对 $g\in C^{r-1}$ 单独放在下面进行证明。

　　 证毕！

2. 可微性的证明

　　 对于可微性，我们用数学归纳法进行证明。我们分为三个分定理进行证明。下面将用 $C_{x_1}^r$ 表示关于 $x_1$ 是 $C^r$ 类的函数。

　　 证明：对初始点 $(t_1,x_1)\in M$ 的映射 $g_0(x_1,t_1,t)$ 和初始矩阵为单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的矩阵映射 $f_0(x_1,t_1,t)$，我们分别用 $g_n,f_n$ 表示其皮卡近似¹：

这里的 $v_{\ast }$ 表示 $v$ 对其第一个变量 $x$ 的导数。 注意 $(g_0{)}_{\ast }=f_0$，于是由数学归纳法可从式 12 推得 $(g_{n+1}{)}_{\ast }=f_{n+1}$。因此，序列 $\{f_n\}$ 是 $\{g_n\}$ 的导数序列。对充分小的 $|t-t_1|$，式 12 一致收敛（因为皮卡映射的压缩性要求其不动点存在，$f_n$ 的皮卡映射可看出其对应向量场 $v_f(x,y,t)=v(x,t)y$，显然对 $x,y,t$ 连续可微）。因此序列 $\{g_n\}$ 及其关于 $x_1$ 的导数都一致收敛，因此极限函数 关于 $x_1$ 一致可微。实际上， 证毕！

　　 注意式 12 第二式表明其对应微分方程为

其和式 7 一起称为关于微分方程式 7 的变分方程。于是式 14 表明方程式 7 的解关于初始条件 $x_1$ 的导数 $g_{\ast }$ 是满足初始条件 $y(t_1)=E$ 的式 15 的解。 这就证得下面的定理

　　 证明： 假设对定理对 $<r$ 成立。则

　　 证毕！

　　 证明：因为 $f\in C_{x_1}^r\cap C^{r-1}\Rightarrow F\in C_{x_1}^r\cap C_t^r\cap C_{t_1}^r$，所以 $F$ 对 $x_1$（或 $t$ 或 $t_1$）的 $r$ 阶偏导存在。剩下只需证明任意的 $r$ 阶混合导都存在，若先对 $t$（或 $t_1$）求偏导，则 $\frac{\partial F(x_1,t_1,t)}{\partial t}=f(x_1,t_1,t)$（或 $\frac{\partial F(x_1,t_1,t)}{\partial t_1}=-f(x_1,t_1,t)$），由于 $f\in C^{r-1}$，所以剩下 $r-1$ 次混合导都存在；若先对 $x_1$ 求偏导，且第 1 次对 $t$ (或 $t_1$)求偏导在第 $i$ 次，那么由

于是剩余的 $r-i$ 次混合偏导存在且连续。

　　 证毕！

　　 证明：由于解是对应的皮卡映射的不动点，于是

由 $\frac{\partial v}{\partial x_1}=\frac{\partial v}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial x_1}$ 知 $\frac{\partial v}{\partial x_1}$ 关于 $x_1$ 的阶数为 $\frac{\partial v}{\partial x_1}$ 和 $\frac{\partial g}{\partial x_1}$ 关于 $x_1$ 的阶数最小的那个。所以若 $g$ 关于 $x_1$ 阶数小于 $r$，则 $v$ 关于 $x_1$ 的阶数 和 $g$ 一致。于是由 引理 1 由定理 5 ，$g\in C_{x_1}^s,s<r$。于是 由已经证明的解 $g$ 连续依赖于其变量，即 $g\in C^0$ 成立，上式立刻得到 $g\in C^{r-1}$。

　　 证毕！

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1. ^ 对矩阵映射来说，只不过曲线所在空间维度变大了