贡献者： 零穹
李普希茨条件（Lipschitz）条件描述的对象是度量空间中的映射，它描述那些像点的距离受到原点距离影响的映射。李普希茨条件的最初形式是由德国数学家李普希茨在其 1864 年关于周期函数的傅里叶级数收敛性的研究中提出的 [19]。本文介绍的是一般度量空间中的李普希茨条件。李普希茨条件在证明常微分方程的存在及唯一定理中起到作用。
定义 1 李普希茨条件
设 $A$ 是度量空间 $(M_1,d)$ 到 $(M_2,d')$ 的映射，$L$ 是一个正实数。若 $A$ 满足
\begin{equation}
d(Ax,Ay)\leq Ld'(x,y),\quad\forall x,y\in M_1~,
\end{equation}
则称 $A$ 为满足具有常数 $L$ 的
李普希茨条件，记作 $A\in \mathrm{Lip} L$。满足
式 1 的最小常数称为
李普希茨常数。
例 1 压缩映射
若定义 1 中的 $(M_2,d')=(M_1,d)$，且 $0< L<1$，则此时 $A$ 便是 $M_1$ 中的压缩映射。
定理 1 满足李普希茨条件的映射必一致连续
若 $A$ 是度量空间 $(M_1,d)$ 到 $(M_2,d')$ 的满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件的映射，则 $A$ 必一致连续。
度量空间中的映射的一致连续性定义如下：
定义 2 一致连续
设 $f$ 是度量空间 $(M_1,d)$ 到 $(M_2,d')$ 的映射，若对每一正数 $\epsilon$，都有一个 $\delta>0$ 存在，使得只要
\begin{equation}
d(x,y)<\delta~,
\end{equation}
就有
\begin{equation}
d'(Ax,Ay)<\epsilon~.
\end{equation}
则称 $A$ 为
一致连续的。
现在来证明定理 1 。
证明：只要取 $0<\delta<\frac{\epsilon}{L}$（由实数的稠密性，这是可以做到的），那么
\begin{equation}
d(Ax,Ay)\leq Ld'(x,y)< \epsilon~.
\end{equation}
由
定义 2 ，$A$ 一致连续。
证毕！
定理 2 凸且紧子集上的连续可微映射满足李普希茨条件
设 $V$ 是 $\mathbb R^n$ 空间任意凸的和紧致的子集，则任一连续可微映射（定义 1 ）$f:V\rightarrow \mathbb R^m$ 在 $V$ 上满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件，$L$ 等于 $f$ 在 $V$ 上的上确界，即($f_*$ 是可微函数 $f$ 的导数)
\begin{equation}
L=\sup_{x\in V} \left\lvert f_{*x} \right\rvert ~.
\end{equation}
证明：要证 $f$ 满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件，就是要证
\begin{equation}
\left\lvert f(y)-f(x) \right\rvert \leq L \left\lvert y-x \right\rvert ,\quad\forall x,y\in\mathbb R^n~.
\end{equation}
设 $z(t)=x+t(y-x),t\in[0,1]$，即 $z(t)$ 是连接点 $x$ 和 $y$ 的线段，$V$ 的凸集性意味着这一线段属于 $V$
1。
由微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式
），
\begin{equation}
f(y)-f(x)=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{\tau}} f(z(\tau)) \,\mathrm{d}{\tau} =\int_0^1f_{*z(\tau)}\dot z(\tau) \,\mathrm{d}{\tau} ~.
\end{equation}
由于 $f$ 是在 $V$ 上连续可微，于是 $f_*$ 连续。而 $\mathbb R^n$ 中紧致的子集是闭的，魏尔斯特拉斯第一定理 $\mathbb R^n$ 的闭集上连续函数必有界，第二定理表明 $\mathbb R^n$ 的闭集上连续函数必能达到其上下确界，于是
\begin{equation}
\left\lvert f_* \right\rvert (x)\leq L ,\forall x\in V ~.
\end{equation}
所以成立
\begin{equation}
\left\lvert \int_0^1f_{*z(\tau)}\dot z(\tau) \,\mathrm{d}{\tau} \right\rvert \leq\int_0^1L \left\lvert y-x \right\rvert \,\mathrm{d}{\tau} =L \left\lvert y-x \right\rvert ~.
\end{equation}
由
式 7 ，于是
式 6 成立。
证毕！
1. ^ 于是才可以利用微积分基本定律
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