等间隔能级系统（正则系宗）

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本文处于草稿阶段。

预备知识　玻尔兹曼因子，配分函数

1. 结论

　　若一个系统的能量只能取一系列离散的值（能级），但相邻能级间距恰好为 $ε$ ，那么该系统在温度 $τ$ 达到热平衡时，平均能量为

\begin{matrix} (1) & ⟨ ε ⟩ = \frac{ε}{e^{ε / τ} - 1} . \end{matrix}

2. 推导 1

　　令第 $n$ 个能级的能量为 $ε_{n}$ ，能量的平均值为

\begin{matrix} (2) & ⟨ ε ⟩ = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} ε_{n} \exp (- ε_{n} / τ)}{\sum_{n = 0}^{\infty} \exp (- ε_{n} / τ)} . \end{matrix}

其中

\sum_{n = 0}^{\infty} \exp (- ε_{n} / τ)

就是配分函数

Q

。

　　对于等间距能级，假设等间距能级 $ε_{n} = n ε$ （也可以假设 $ε_{n} = ε_{0} + n ε$ ，上式的分子分母都多出一个因子 $\exp (- ε_{0} / τ)$ ，最后的结果相同）。首先化简配分函数

\begin{matrix} (3) & Q = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n ε / τ} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- ε / τ})^{n} . \end{matrix}

由于

e^{- ε / τ} < 1

，根据等比数列求和公式

\begin{matrix} (4) & . Q = \frac{1}{1 - e^{- ε / τ}} \end{matrix}

再化简分子

\begin{matrix} (5) & \sum_{n = 0}^{\infty} n ε \exp (- n ε / τ) = ε \sum_{n = 0}^{\infty} n (e^{- ε / τ})^{n} . \end{matrix}

令

x = e^{- ε / τ}

，有

x < 1

。同样根据等比数列求和公式

\begin{matrix} (6) & \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n} = x \frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = x \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{(1 - x)^{2}} . \end{matrix}

把

x

换成

e^{- ε / τ}

，式 5 变为

\begin{matrix} (7) & \frac{ε e^{- ε / τ}}{(1 - e^{- ε / τ})^{2}} . \end{matrix}

把分子分母代入平均值公式式 2 得到最后结论

\begin{matrix} (8) & ⟨ ε ⟩ = \frac{ε e^{- ε / τ}}{(1 - e^{- ε / τ})^{2}} / \frac{1}{1 - e^{- ε / τ}} = \frac{ε e^{- ε / τ}}{1 - e^{- ε / τ}} = \frac{ε}{e^{ε / τ} - 1} . \end{matrix}

3. 推导 2

　　由式 4 已知配分函数

\begin{matrix} (9) & Q = \frac{1}{1 - e^{- ε / τ}} = \frac{1}{1 - e^{- ε β}} . \end{matrix}

我们也可以直接用能量均值公式

\begin{matrix} (10) & ⟨ ε ⟩ = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Q = \frac{\partial}{\partial β} \ln (1 - e^{- ε β}) = \frac{ε e^{- ε β}}{1 - e^{- ε β}} = \frac{ε}{e^{ε / τ} - 1} . \end{matrix}

结果相同。

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