抛物线坐标系中的类氢原子定态波函数

             

  • 本词条处于草稿阶段.
  • 画出密度图应该会很漂亮
预备知识 定态薛定谔方程,抛物线坐标系

  1本文使用原子单位制.使用相对坐标,令约化质量为 $\mu$,有

\begin{equation} -\frac{1}{2\mu} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi - \frac{Z}{r} \psi = E\psi \end{equation}
在抛物线坐标系中变为
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \left\{\frac{4}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial u}{\partial \xi} \left(\xi \frac{\partial}{\partial{\xi}} \right) + \frac{\partial u}{\partial \eta} \left(\eta \frac{\partial}{\partial{\eta}} \right) \right] + \frac{1}{\xi\eta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \right\} \psi - \frac{2Z}{\xi + \eta}\psi = E\psi \end{equation}
分离变量,令
\begin{equation} \psi(\xi, \eta, \phi) = f(\xi) g(\eta) \Phi(\phi) \end{equation}
和球坐标同理,$\Phi(\phi) = \exp\left( \mathrm{i} m \phi\right) $.令另外两个分离变量常数满足
\begin{equation} \nu_1 + \nu_2 = Z \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\xi}} \left(\xi \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{\xi}} \right) + \left(\frac{\mu E \xi}{2} - \frac{m^2}{4\xi} + \nu_1 \right) f = 0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\eta}} \left(\eta \frac{\mathrm{d}{g}}{\mathrm{d}{\eta}} \right) + \left(\frac{\mu E\eta}{2} - \frac{m^2}{4\eta} + \nu_2 \right) g = 0 \end{equation}
可以化简为 Kummer-Laplace 微分方程.解出后,$\nu_1, \nu_2$ 分别对应两个整数 $n_1, n_2$,称为抛物线量子数,和主量子数 $n$ 的关系为
\begin{equation} n = n_1 + n_2 + \left\lvert m \right\rvert + 1 \end{equation}
令 $\rho_1 = Z\xi / n$,$\rho_2 = Z\eta/n$,定态波函数为
\begin{equation} \begin{aligned} \psi_{n_1,n_2,m}(\xi,\eta,\phi) &= \frac{(Z/a_\mu)^{3/2}}{\sqrt{\pi} n^2} \sqrt{\frac{n_1!n_2!}{[(n_1+ \left\lvert m \right\rvert )!(n_2+ \left\lvert m \right\rvert )!]^3}} \\ &\times \mathrm{e} ^{-(\rho_1+\rho_2)/2}(\rho_1\rho_2)^{ \left\lvert m \right\rvert /2} L_{n_1 + \left\lvert m \right\rvert }^{ \left\lvert m \right\rvert }(\rho_1) L_{n_2 + \left\lvert m \right\rvert }^{ \left\lvert m \right\rvert }(\rho_2) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{aligned} \end{equation}
其中 $a_\mu = M/(M + 1)$ 是约化玻尔半径(未完成).

   能量本征值为

\begin{equation} E_n = -\frac{Z^2}{2n^2} \end{equation}


1. ^ 参考 [24] Chap. 3.5 One-electron atoms in parabolic coordinates.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利