类氢原子的 Stark 效应(抛物线坐标系)

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 抛物线坐标系中的类氢原子定态波函数

  1注意这里假设原子核不动,而不是向之前一样采用约化质量 $\mu$.哈密顿算符中的电场项为

\begin{equation} H' = \mathcal Ez = \frac12 \mathcal E (\xi - \eta) \end{equation}
薛定谔方程变为
\begin{equation} \left(-\frac12 \boldsymbol{\nabla}^2 - \frac{Z}{r} + H' \right) \psi = E\psi \end{equation}
分离变量法得微分方程(对比式 5
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\xi}} \left(\xi \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{\xi}} \right) + \left(\frac{E \xi}{2} - \frac{m^2}{4\xi} -\frac14\mathcal E \xi^2 + \nu_1 \right) f = 0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\eta}} \left(\eta \frac{\mathrm{d}{g}}{\mathrm{d}{\eta}} \right) + \left(\frac{E\eta}{2} - \frac{m^2}{4\eta} +\frac14\mathcal E \eta^2 + \nu_2 \right) g = 0 \end{equation}

   可能由于求出精确解过于复杂, [24] 中仍使用一阶微扰理论,得本征能量为

\begin{equation} E_{n,n_1,n_2}^{(1)} = -\frac{Z^2}{2n^2} + \frac32 \mathcal E \frac{n}{Z}(n_1 - n_2) \end{equation}
书中也没有给出波函数的解析解.

1. 平方 Stark 效应

   类氢原子基态不存在一阶微扰,使用二阶微扰,在抛物线坐标中计算积分有

\begin{equation} E_{100}^{(2)} = e^2\mathcal E^2 \sum_{n\ne 1, l, m} \frac{ \left\lvert \left\langle \psi_{nlm} \middle| z \middle| \psi_{nlm} \right\rangle \right\rvert ^2}{E_1 - E_n} \approx - 2.25\frac{\mathcal E^2}{Z^4} \end{equation}
例如氢原子基态能量 $-0.5$,若静电场为 $0.01$,则总能量为 $-0.500225$(包括在静电场中的势能).

   一般公式

\begin{equation} E_{n,n_1,n_2,m} = -\frac{Z^2}{2n^2} + \frac32 \mathcal E \frac{n}{Z} (n_1-n_2) -\frac{1}{16}\mathcal E^2 \left(\frac{n}{Z} \right) ^4 [17n^2-3(n_1-n_2)^2-9m^2+19] \end{equation}


1. ^ 参考 [24] Chap. 3.5 One-electron atoms in parabolic coordinates.

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