量子散射（单粒子弹性）

贡献者： addis

预备知识 1　散射，概率流密度

1. 散射截面

　　¹本文使用原子单位制。散射截面 $σ$ 等于一定时间内被散射的粒子数除以单位截面入射的粒子数。那么从经典力学的角度，如果想象入射粒子流密度是均匀的， $σ$ 可以看做是一个障碍物（无远程作用）的最大横截面面积，微分截面 $d σ / d Ω$ 可以理解为单位立体角的散射截面。量子力学中，如果考虑单粒子以平面波入射，那么 $σ$ 等于被散射的概率流（概率/时间）除以入射的概率流密度（概率/时间/面积）。概率流定义为

\begin{matrix} (1) & j = \frac{i}{2 m} (ψ \nabla ψ^{*} - ψ^{*} \nabla ψ) . \end{matrix}

微分截面（differential cross section） 是能量的函数，可以用概率流定义为（假设散射是轴对称的）

\begin{matrix} (2) & \frac{d σ}{d Ω} = lim_{r \to \infty} \frac{(j_{o u t} \cdot \hat{r}) r^{2}}{| j_{i n} |}, \end{matrix}

对所有方向积分得总散射截面（scattering cross section）

\begin{matrix} (3) & σ = \int \frac{d σ}{d Ω} d Ω . \end{matrix}

2. 短程势的边界条件

　　在三维情况下，每个能量 $E$ 的本征函数都是无穷维简并的。且根据不同的边界条件我们可以获得不同的正交归一基底。常见的边界条件如平面波入射。这是一种物理意义较强的选择，因为如果一个无穷远处的入射波包具有很窄的能量带宽，我们就可以把它近似看作是平面波²。平面波经过散射后，会向各个方向发射球面波。于是规定波函数的边界条件为（以下用箭头表示 $r \to \infty$ 时函数的渐进形式）

\begin{matrix} (4) & ψ_{k}^{(+)} (r) \to (2 π)^{- 3 / 2} [\exp (i k \cdot r) + f (k, \hat{r}) \frac{\exp (i k r)}{r}], \end{matrix}

f (k, \hat{r})

是散射幅。注意该边界条件只能对短程势能使用，即满足

\begin{matrix} (5) & lim_{r \to \infty} r V (r) = 0 \end{matrix}

的势能，原因见下文。显然库仑势能不属于短程势，我们将在 “库仑散射” 讨论。满足边界条件式 4 的波函数也会满足正交归一条件

\begin{matrix} (6) & \int ψ_{k^{'}}^{(+)} (r)^{*} ψ_{k}^{(+)} (r) d^{3} r = δ (k - k^{'}) . \end{matrix}

将式 4 代入式 2 可得微分截面就是散射幅的模方

\begin{matrix} (7) & \frac{d σ}{d Ω} = {| f (k, \hat{r}) |}^{2} . \end{matrix}

3. 光学定理

　　由概率守恒对散射幅的约束，可以得出光学定理（Optical Theorem）

\begin{matrix} (8) & σ = \frac{4 π}{k} Im [f (k, \hat{k})] . \end{matrix}

光学定理的物理意义是：球面波往其他方向发射出去的总概率流等于在

\hat{k}

方向抵消的概率流。

未完成：证明见 [1] 习题 12.2

4. 分波展开

预备知识 2　球坐标中的薛定谔方程

　　除了式 4 的边界条件外，我们也可以找到符合另一种常用边界条件的正交归一散射态，即要求每个散射态同时是能量和角动量 $L^{2}, L_{z}$ 的本征态。这与 “氢原子的定态波函数” 类似，只是我们要求能量 $E > 0$ 。

　　这时每个能量同样有无穷维简并。我们在球坐标中解方程。先讨论简单的情况，即势能为中心势能 $V (r)$ ，薛定谔方程可以在球坐标中分离变量，使波函数表示为

\begin{matrix} (9) & ψ (r) = \frac{1}{r} \sum_{l} c_{l} ψ_{l, m} (r) Y_{l, m} (\hat{r}), \end{matrix}

其中每一项被称为一个分波（partial wave），满足上述边界条件。因为在中心势能

V (r)

下，使解偏微分方程变为解常微分方程，即径向方程

\begin{matrix} (10) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{l, m}}{d r^{2}} + [V (r) + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}}] ψ_{l, m} = i \frac{\partial}{\partial t} ψ_{l, m} . \end{matrix}

未完成：这一段讲解有点问题，要说明我们只需要

m = 0

5. 相移

　　对于短程势能 $V (r)$ ，即

\begin{matrix} (11) & lim_{r \to \infty} r V (r) = 0 . \end{matrix}

可以证明³短程势能在无穷远处对相位的影响可以忽略。

ψ_{l} (r)

的渐进表达式就完全可以由相移（phase shift）

δ_{l}

来描述。由于微分截面也是在无穷远处定义的，我们可以直接由相移计算微分截面。

　　我们定义相移 $δ_{l}$ 满足

\begin{matrix} (12) & ψ_{l} (k, r) \to \sin (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l}) . \end{matrix}

为什么这么定义呢？因为相移是相对的，我们把

V (r) \equiv 0

时的相位作为基准

\begin{matrix} (13) & ψ_{l} (k, r) = k r j_{r} (k r) \to \sin (k r - \frac{l π}{2}), \end{matrix}

可以证明（使用式 1 把式 4 中的平面波展开，再对比系数），将球面波叠加得到式 4 形式后散射幅为

\begin{matrix} (14) & f (k, θ) = \sum_{l = 0}^{\infty} f_{l} (k) P_{l} (\cos θ), \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & f_{l} (k) = \frac{2 l + 1}{k} \exp (i δ_{l}) \sin δ_{l} . \end{matrix}

注意这与

ϕ

无关，

f (\hat{r})

是一个轴对称的分布。总截面也可以表示为每个分波的截面之和

\begin{matrix} (16) & σ (k) = \int {| f (k, θ) |}^{2} d Ω = \sum_{l = 0}^{\infty} σ_{l} (k), \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & σ_{l} (k) = \frac{4 π}{2 l + 1} {| f_{l} (k) |}^{2} = \frac{4 π}{k^{2}} (2 l + 1) \sin^{2} δ_{l} (k) . \end{matrix}

这说明，散射截面只和相移

δ_{l} (k)

有关。数学上可以证明对应同一列

δ_{l} (k)

的势能并不是唯一的。

　　最后，容易证明

\begin{matrix} (18) & σ (k) = \frac{4 π}{k} Im f (k, θ = 0) . \end{matrix}

这说明入射方向的概率流减少等于被散射的概率流概率流，也被称为光学定理（optical theorem）。

6. 散射矩阵

　　定义 $S$ 矩阵（虽然叫矩阵，其实是一列函数）为

\begin{matrix} (19) & S_{l} (k) = \exp (2 i δ_{l}), \end{matrix}

定义

K

矩阵为

\begin{matrix} (20) & K_{l} (k) = \tan δ_{l}, \end{matrix}

二者关系为

\begin{matrix} (21) & S_{l} (k) = \frac{1 + i K_{l} (k)}{1 - i K_{l} (k)} . \end{matrix}

称为矩阵的原因是，在多通道散射（未完成）中，需要考虑从不同通道入射和出射的情况，这些量就成为了矩阵，每个矩阵元都是一个函数。

7. 推导散射截面和相位的关系

预备知识 3　平面波的球谐展开

　　存在一组变换系数 $c_{l}$ 使

\begin{matrix} (22) & ψ (r) \to \frac{1}{k r} \sum_{l} c_{l} \sin (k r - \frac{π l}{2} + δ_{l}) Y_{l, 0} (r) \end{matrix}

满足边界条件式 4 。令式 4 中散射幅为

\begin{matrix} (23) & f (k, θ) = \sum_{l} (2 l + 1) a_{l} (k) P_{l} (\cos θ) . \end{matrix}

假设我们已经在球坐标中解出了

ψ_{k, l}

，即径向波函数

R_{k, l} (r)

与相移，如何获得

f (k, θ)

，即系数

a_{l} (k)

呢？把

ψ_{k}

用

ψ_{k, l}

基底展开，即对

P_{l}

展开，再逐项对比系数即可。首先展开平面波

\begin{matrix} (24) & e^{i k z} = \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (\cos θ) \to \sum_{l = 0}^{\infty} (2 l + 1) \frac{e^{i k r} - e^{- i (k r - l π)}}{2 i k r} P_{l} (\cos θ) . \end{matrix}

将式 23 和式 24 代入式 4 ，再逐项与式 22 对比，得

\begin{matrix} (25) & a_{l} (k) = \frac{1}{k} \sin δ_{l} \exp (i δ_{l}), \end{matrix}

再次代入式 23 可得散射幅与相移的关系。

　　也可以得到系数

\begin{matrix} (26) & c_{l, m}^{(\pm)} = \sqrt{\frac{2}{π}} i^{l} e^{\pm i δ_{l}} Y_{l, m}^{*} (\hat{k}), \end{matrix}

这比平面波的球谐展开多了一个相位因子

e^{\pm i δ_{l}}

。

　　散射的边界条件可以有两种，用 $\pm$ 区分。

未完成：有待数值验证

\begin{matrix} (27) & \begin{aligned} | ψ_{k}^{(\pm)} ⟩ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} [e^{i k \cdot r} + f^{(\pm)} (\hat{k}) e^{\pm i k r}] \\ = \sqrt{\frac{2}{π}} \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} e^{\pm i δ_{l}} j_{l} (k r + δ_{l}) \sum_{m = - l}^{l} Y_{l, m}^{*} (\hat{k}) Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 本文参考 [1] 和 [2] 相关章节。
2. ^ 如果不是，那么入射波包可以由这些散射态叠加而成，之后的时间演化就是这些散射态分别乘以 $\exp (- i E t)$ 再叠加。但由于这时能量没有精确的定义，我们不能讨论微分截面关于能量的函数。
3. ^ 不严谨的证明：无穷远处相位的变化约等于 $\int_{0}^{\infty} [V (r) - l (l + 1) / (2 m r^{2})] d r$ ，只要满足 $r V (r) \to 0$ 这个积分就收敛。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed
[2] ^ Burke, R-Matrix Theory of Atomic Collisions - Application to Atomic, Molecular and Optical Processes

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