量子散射

             

预备知识 散射,概率流密度

1. 散射截面

  1本文使用原子单位制.散射截面 $\sigma$ 等于一定时间内被散射的粒子数除以单位截面入射的粒子数.那么从经典力学的角度,如果想象入射粒子流密度是均匀的,$\sigma$ 可以看做是一个障碍物(无远程作用)的最大横截面面积,微分截面 $ \mathrm{d}{\sigma}/\mathrm{d}{\Omega} $ 可以理解为单位立体角的散射截面.量子力学中,如果考虑单粒子以平面波入射,那么 $\sigma$ 等于被散射的概率流(概率/时间)除以入射的概率流密度(概率/时间/面积).概率流定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{ \mathrm{i} }{2m}(\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi^* \boldsymbol\nabla \psi ) \end{equation}
微分截面(differential cross section) 是能量的函数,可以用概率流定义为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert } \end{equation}
对所有方向积分得总散射截面(scattering cross section)
\begin{equation} \sigma = \int \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}

2. 短程势的边界条件

   在三维情况下,每个能量 $E$ 的本征函数都是无穷维简并的.且根据不同的边界条件我们可以获得不同的正交归一基底.常见的边界条件如平面波入射.这是一种物理意义较强的选择,因为如果一个无穷远处的入射波包具有很窄的能量带宽,我们就可以把它近似看作是平面波2.平面波经过散射后,会向各个方向发射球面波.于是规定波函数的边界条件为(以下用箭头表示 $r\to\infty$ 时函数的渐进形式)

\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow (2\pi)^{-3/2} \left[ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) + f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \exp\left( \mathrm{i} k r\right) }{r} \right] \end{equation}
$f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是散射幅.注意该边界条件只能对短程势能使用,即满足
\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r V(r) = 0 \end{equation}
的势能,原因见下文.显然库仑势能不属于短程势,我们将在 “库仑散射” 讨论.满足边界条件式 4 的波函数也会满足正交归一条件
\begin{equation} \int \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^* \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \end{equation}
式 4 代入式 2 可得微分截面就是散射幅的模方
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \left\lvert f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \end{equation}

3. 光学定理

   由概率守恒对散射幅的约束,可以得出光学定理(Optical Theorem)

\begin{equation} \sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} [f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )] \end{equation}
光学定理的物理意义是:球面波往其他方向发射出去的总概率流等于在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 方向抵消的概率流.
未完成:证明见 [24] 习题 12.2

4. 分波展开

预备知识 球坐标中的薛定谔方程

   除了式 4 的边界条件外,我们也可以找到符合另一种常用边界条件的正交归一散射态,即要求每个散射态同时是能量和角动量 $L^2, L_z$ 的本征态.这与 “氢原子的定态波函数” 类似,只是我们要求能量 $E > 0$.

   这时每个能量同样有无穷维简并.我们在球坐标中解方程.先讨论简单的情况,即势能为中心势能 $V(r)$,薛定谔方程可以在球坐标中分离变量,使波函数表示为

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r} \sum_l c_l \psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中每一项被称为一个分波(partial wave),满足上述边界条件.因为在中心势能 $V(r)$ 下,使解偏微分方程变为解常微分方程,即径向方程
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l,m}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{l,m} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi_{l,m} \end{equation}
未完成:这一段讲解有点问题,要说明我们只需要 $m = 0$

5. 相移

   对于短程势能 $V(r)$,即

\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r V(r) = 0 \end{equation}
可以证明3短程势能在无穷远处对相位的影响可以忽略.$\psi_l(r)$ 的渐进表达式就完全可以由相移(phase shift) $\delta_l$ 来描述.由于微分截面也是在无穷远处定义的,我们可以直接由相移计算微分截面.

   我们定义相移 $\delta_l$ 满足

\begin{equation} \psi_l(k, r) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right) \end{equation}
为什么这么定义呢?因为相移是相对的,我们把 $V(r) \equiv 0$ 时的相位作为基准
\begin{equation} \psi_l(k, r) = kr j_r(kr) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} \right) \end{equation}
可以证明(使用式 1 式 4 中的平面波展开,再对比系数),将球面波叠加得到式 4 形式后散射幅为
\begin{equation} f(k, \theta) = \sum_{l=0}^\infty f_l(k) P_l(\cos\theta) \end{equation}
\begin{equation} f_l(k) = \frac{2l+1}{k} \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \sin\delta_l \end{equation}
注意这与 $\phi$ 无关,$f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是一个轴对称的分布.总截面也可以表示为每个分波的截面之和
\begin{equation} \sigma(k) = \int \left\lvert f(k,\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l(k) \end{equation}
\begin{equation} \sigma_l(k) = \frac{4\pi}{2l+1} \left\lvert f_l(k) \right\rvert ^2 = \frac{4\pi}{k^2} (2l + 1) \sin^2 \delta_l(k) \end{equation}
这说明,从散射截面只和相移 $\delta_l(k)$ 有关.而数学上可以证明对应同一列 $\delta_l(k)$ 的势能并不是唯一的.

6. 散射矩阵

   定义 $S$ 矩阵(虽然叫矩阵,其实是一系列函数)为

\begin{equation} S_l(k) = \exp\left(2 \mathrm{i} \delta_l\right) \end{equation}
定义 $K$ 矩阵为
\begin{equation} K_l(k) = \tan \delta_l \end{equation}
二者关系为
\begin{equation} S_l(k) = \frac{1 + \mathrm{i} K_l(k)}{1 - \mathrm{i} K_l(k)} \end{equation}
称为矩阵的原因是,在多通道散射(未完成)中,需要考虑从第不同通道入射和出射的情况,这些量就成为了矩阵,每个矩阵元都是一个函数.

7. 推导散射截面和相位的关系

预备知识 平面波的球谐展开

   存在一组变换系数 $c_l$ 使

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow \frac{1}{kr} \sum_l c_l \sin\left(kr - \frac{\pi l}{2} + \delta_l\right) Y_{l,0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
满足边界条件式 4 .令式 4 中散射幅为
\begin{equation} f(k,\theta) = \sum_l (2l + 1) a_l(k) P_l(\cos \theta) \end{equation}
假设我们已经在球坐标中解出了 $\psi_{k,l}$,即径向波函数 $R_{k,l}(r)$ 与相移,如何获得 $f(k,\theta )$,即系数 $a_l(k)$ 呢?把 $\psi_k$ 用 $\psi_{k,l}$ 基底展开,即对 $P_l$ 展开,再逐项对比系数即可.首先展开平面波
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l = 0}^\infty \mathrm{i} ^l (2l + 1) j_l(kr) P_l(\cos \theta) \rightarrow \sum_{l=0}^\infty (2l + 1)\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (kr - l\pi)}}{2 \mathrm{i} kr} P_l(\cos \theta) \end{equation}
式 22 式 23 代入式 4 ,再逐项与式 21 对比,得
\begin{equation} a_l(k) = \frac{1}{k} \sin\delta_l \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \end{equation}
再次代入式 22 可得散射幅与相移的关系.


1. ^ 本文参考 [24] 相关章节.
2. ^ 如果不是,那么入射波包可以由这些散射态叠加而成,之后的时间演化就是这些散射态分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} E t\right) $ 再叠加.但由于这时能量没有精确的定义,我们不能讨论微分截面关于能量的函数.
3. ^ 不严谨的证明:无穷远处相位的变化约等于 $\int_0^\infty [V(r) - l(l+1)/(2mr^2)] \,\mathrm{d}{r} $,只要满足 $rV(r) \to 0$ 这个积分就收敛.

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