主应力

贡献者： ACertainUser

预备知识　应力

1. 主应力

　　¹假设有一个受力状况相对复杂的二维微元体。我们能不能改变划分微元体的方式，从而简化他的受力？

图 1：二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　答案难得的是。..可以的。在一点处，我们总能够找到一种选取微元体的方式，使其只受正应力而不受切应力。此时，这些正应力也被称为主应力（Principal Stress）。这个结论同时适用于二维与三维的微元体。

图 2：改变选取微元体的方式，使其只受正应力而不受切应力。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　某种意义上，主应力比单纯的应力更具有代表性。应力的数值与微元体的选取方式有关，而主应力的数值则与之无关。同时，主应力减少了变量个数：在二维情况下，由应力的 3 个分量减少为了主应力的 2 个；而三维情况下，由 6 个分量减少为了 3 个。

2. 计算主应力

未完成：需要补充证明

未完成：Mohr 圆

　　那么，你现在想问的问题大概一定是：如果已知微元体的受应力情况，那么如何计算主应力呢？事实上，主应力就是应力矩阵的本征值。计算一个应力矩阵本征值，就能得到他的主应力。因此主应力的求解是公式化的、不需要太多灵性。

例 1　二维微元体的主应力

　　对于二维情况，主应力就是方程 $$\sigma_p^2+(\sigma_x+\sigma_y)\sigma_p+\sigma_x\sigma_y-\tau^2=0~$$ 的两个根，即 $$\sigma_p=\frac{\sigma_x+\sigma_y \pm \sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2+4\tau^2}}{2}~,$$ $\sigma_x,\sigma_y,\tau$ 是相应微元体的应力。

例 2　三维微元体的主应力

　　对于三维情况，主应力是方程 $$ \sigma_p^3-I_1\sigma_p^2-I_2\sigma_p-I_3=0~ $$ 的三个根，其中 $$ \begin{aligned} I_1&=tr(\sigma)~,\\ I_2&=\frac{1}{2} ({\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij} -I_1^2})~,\\ I_3&=det(\sigma)~.\\ \end{aligned} $$ $\sigma$ 是相应的应力矩阵，$\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij}=\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2+...$ 是应力矩阵各项平方的和。

　　你可以从刚体的静力平衡条件出发来验证这些结论。不过，思考与计算过程会相对繁琐。

1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与郑泽邦的《金属学》课件

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

主应力

1. 主应力

2. 计算主应力

例 1 二维微元体的主应力

例 2 三维微元体的主应力

例 1　二维微元体的主应力

例 2　三维微元体的主应力