主应力

                     

贡献者: ACertainUser

预备知识 应力

1. 主应力

  1假设有一个受力状况相对复杂的二维微元体.我们能不能改变划分微元体的方式,从而简化他的受力?

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图 1:二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   答案难得的是...可以的.在一点处,我们总能够找到一种选取微元体的方式,使其只受正应力而不受切应力.此时,这些正应力也被称为主应力(Principal Stress).这个结论同时适用于二维与三维的微元体.

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图 2:改变选取微元体的方式,使其只受正应力而不受切应力.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

   某种意义上,主应力比单纯的应力更具有代表性.应力的数值与微元体的选取方式有关,而主应力的数值则与之无关.同时,主应力减少了变量个数:在二维情况下,由应力的 3 个分量减少为了主应力的 2 个;而三维情况下,由 6 个分量减少为了 3 个.

2. 计算主应力

  

未完成:需要补充证明
未完成:Mohr 圆

   那么,你现在想问的问题大概一定是:如果已知微元体的受应力情况,那么如何计算主应力呢?事实上,主应力就是应力矩阵的本征值.计算一个应力矩阵本征值,就能得到他的主应力.因此主应力的求解是公式化的、不需要太多灵性

例 1 二维微元体的主应力

   对于二维情况,主应力就是方程 $$\sigma_p^2+(\sigma_x+\sigma_y)\sigma_p+\sigma_x\sigma_y-\tau^2=0$$ 的两个根,即 $$\sigma_p=\frac{\sigma_x+\sigma_y \pm \sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2+4\tau^2}}{2}$$ $\sigma_x,\sigma_y,\tau$ 是相应微元体的应力.

例 2 三维微元体的主应力

   对于三维情况,主应力是方程 $$ \sigma_p^3-I_1\sigma_p^2-I_2\sigma_p-I_3=0 $$ 的三个根,其中 $$ \begin{aligned} I_1&=tr(\sigma)\\ I_2&=\frac{1}{2} ({\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij} -I_1^2})\\ I_3&=det(\sigma)\\ \end{aligned} $$ $\sigma$ 是相应的应力矩阵,$\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij}=\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2+...$ 是应力矩阵各项平方的和.

   你可以从刚体的静力平衡条件出发来验证这些结论.不过,思考与计算过程会相对繁琐.


1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与郑泽邦的《金属学》课件


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