位移与应变

                     

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  • 应变协调方程

  1 在应力中我们讨论了如何表示材料中各处的受力,现在我们讨论如何表示材料中各处的变形.此处我们只探讨小变形的情况,即材料变形的程度非常轻微.

1. 位移

图
图 1:材料变形后,材料中的每一点的位置发生改变
图
图 2:上图的叠加

   在材料变形后,材料中的每一点的位置都发生改变.例如,原先位于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 的点在变形后运动到了 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _0$ 位置,原先位于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 的点运动到了 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1$ 位置...依此类推,我们可以在变形前点的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 与变形后的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 之间建立一种映射$$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \rightarrow \boldsymbol{\mathbf{a}} $$,亦即定义一个函数.$$ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$$

位移函数

   为了更好地表示 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处的点的位置如何变化,我们定义位移函数

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) - \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}
由此,点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的位置变化也可以表述为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}

   $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 是一个矢量函数,也被称为位移场.它的 3 个分量表示点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在 $x_1, x_2, x_3$2各方向上的位移,每一个分量都是关于点坐标的函数. $$ \boldsymbol{\mathbf{u}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \begin{pmatrix} u_1( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\\ u_2( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\\ u_3( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1(x_1, x_2, x_3)\\ u_2(x_1, x_2, x_3)\\ u_3(x_1, x_2, x_3)\\ \end{pmatrix} $$ 我们假定 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 是一个 “好函数”,单值、连续且多阶可导.这意味着变形前后,原先的一个点不会分裂为两个,也不会有两个点合并为一个.

2. 应变

   有时我们使用应变$\varepsilon$ 来描述材料的变形.类似于应力,应变也定义在材料中的每一个微元处,可记为一个 $3\times3$ 的矩阵(二阶张量).应变矩阵也是对称矩阵 $\varepsilon=\varepsilon^T$,有 $6$ 个独立变量.

\begin{equation} \varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}& \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}& \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31}&\varepsilon_{32}& \varepsilon_{33}\\ \end{pmatrix} \end{equation}

   应变角标的含义与应力的类似,第一个角标表示面的法方向,第二个角标表示变形的方向.我们可将应变分为两类,正应变(两角标相同)与切应变(两角标不同).

正应变

图
图 3:正应变示意图.改绘自冯西桥的《弹性力学》

   正应变与微元的长度变化有关.如图 3 所示,$x_1$ 方向上,微元的原本长度为 $l_0 = \,\mathrm{d}{x} _1$,变形后长度为 $ l = \,\mathrm{d}{x} _1+ \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \,\mathrm{d}{x} _1$,长度变化 $\Delta l = l-l_0 = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \,\mathrm{d}{x} _1$,那么定义正应变

\begin{equation} \varepsilon_{11} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \end{equation}

切应变

图
图 4:切应变示意图.改绘自冯西桥的《弹性力学》

   而切应变与微元的角度变化有关.如图 4 所示,定义切应变

\begin{equation} \varepsilon_{12} = \frac{1}{2}(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \end{equation}
有时也使用工程切应变 $\gamma$.别紧张,他们只是相差一个系数
\begin{equation} \gamma_{12} = 2\varepsilon_{12} = 90^\circ - \alpha \end{equation}

3. 应变几何方程

   在上节中,我们知道了应变与位移的部分联系.这些结论可以被推广,从而得到应变和位移间的完整联系,即应变几何方程.共有 6 个这样的方程以定义所有的应变.

\begin{equation} \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \qquad i,j=1,2,3 \end{equation}

4. 应变协调方程

5. 画廊:经典的应变类型

   图中黑色为原微元体,红色为变形后的微元体.

图
图 5:$u_1=1.5$.各应变均为 $0$,微元形状不变、只发生平移.
图
图 6:$u_1=0.2x_1$.$\varepsilon_{11}=0.2$(其余项为 $0$),微元发生拉伸变形
图
图 7:$u_1=0.2x_2$. $\varepsilon_{12}=0.1$,微元发生简单的剪切变形
图
图 8:$u_1=0.2x_2, u_2=0.2x_1$.$\varepsilon_{12}=0.2$,微元发生剪切变形
图
图 9:同上,但是是俯视图

6. 附录:应变模拟器

   用以绘制上述应变示意图的 octave/matlab 代码

%定义位移函数,你可以设置自己的线性位移函数
u1 = @(x,y,z) -0.2*x + 0.2*y;
u2 = @(x,y,z) 0;
u3 = @(x,y,z) 0;

A(1,:)=[0,0,0];
A(2,:)=[1,0,0];
A(3,:)=[1,1,0];
A(4,:)=[0,1,0];
A(5,:)=[0,1,1];
A(6,:)=[0,0,1];
A(7,:)=[1,0,1];
A(8,:)=[1,1,1];

hold on
axis equal

%绘制顶点
%for i = 1:8
%    scatter3(A(i,1),A(i,2),A(i,3),'k');
%endfor

view(-30,60)
xlabel('Axis 1','fontsize',15)
ylabel('Axis 2','fontsize',15)
zlabel('Axis 3','fontsize',15)

line([A(1,1), A(2,1)],[A(1,2), A(2,2)],[A(1,3), A(2,3)],'color','k');
line([A(1,1), A(4,1)],[A(1,2), A(4,2)],[A(1,3), A(4,3)],'color','k');
line([A(1,1), A(6,1)],[A(1,2), A(6,2)],[A(1,3), A(6,3)],'color','k');

line([A(2,1), A(7,1)],[A(2,2), A(7,2)],[A(2,3), A(7,3)],'color','k');
line([A(2,1), A(3,1)],[A(2,2), A(3,2)],[A(2,3), A(3,3)],'color','k');

line([A(3,1), A(4,1)],[A(3,2), A(4,2)],[A(3,3), A(4,3)],'color','k');
line([A(3,1), A(8,1)],[A(3,2), A(8,2)],[A(3,3), A(8,3)],'color','k');

line([A(4,1), A(5,1)],[A(4,2), A(5,2)],[A(4,3), A(5,3)],'color','k');

line([A(6,1), A(5,1)],[A(6,2), A(5,2)],[A(6,3), A(5,3)],'color','k');
line([A(6,1), A(7,1)],[A(6,2), A(7,2)],[A(6,3), A(7,3)],'color','k');

line([A(8,1), A(5,1)],[A(8,2), A(5,2)],[A(8,3), A(5,3)],'color','k');
line([A(8,1), A(7,1)],[A(8,2), A(7,2)],[A(8,3), A(7,3)],'color','k');

for i = 1:8
    B(i,1) = u1(A(i,1),A(i,2),A(i,3))+A(i,1);
    B(i,2) = u2(A(i,1),A(i,2),A(i,3))+A(i,2);
    B(i,3) = u3(A(i,1),A(i,2),A(i,3))+A(i,3);
endfor

%for i = 1:8
%    scatter3(B(i,1),B(i,2),B(i,3),'r');
%endfor

line([B(1,1), B(2,1)],[B(1,2), B(2,2)],[B(1,3), B(2,3)],'color','r');
line([B(1,1), B(4,1)],[B(1,2), B(4,2)],[B(1,3), B(4,3)],'color','r');
line([B(1,1), B(6,1)],[B(1,2), B(6,2)],[B(1,3), B(6,3)],'color','r');

line([B(2,1), B(7,1)],[B(2,2), B(7,2)],[B(2,3), B(7,3)],'color','r');
line([B(2,1), B(3,1)],[B(2,2), B(3,2)],[B(2,3), B(3,3)],'color','r');

line([B(3,1), B(4,1)],[B(3,2), B(4,2)],[B(3,3), B(4,3)],'color','r');
line([B(3,1), B(8,1)],[B(3,2), B(8,2)],[B(3,3), B(8,3)],'color','r');

line([B(4,1), B(5,1)],[B(4,2), B(5,2)],[B(4,3), B(5,3)],'color','r');

line([B(6,1), B(5,1)],[B(6,2), B(5,2)],[B(6,3), B(5,3)],'color','r');
line([B(6,1), B(7,1)],[B(6,2), B(7,2)],[B(6,3), B(7,3)],'color','r');

line([B(8,1), B(5,1)],[B(8,2), B(5,2)],[B(8,3), B(5,3)],'color','r');
line([B(8,1), B(7,1)],[B(8,2), B(7,2)],[B(8,3), B(7,3)],'color','r');


1. ^ 本文参考了冯西桥的《弹性力学》课程与陆明万的《弹性理论基础》
2. ^ 为了方便表示,以 $x_1, x_2, x_3$ 轴代指 $x,y,z$ 轴


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