正交空间与辛空间

                     

贡献者: 叶月2_

预备知识 双线性函数

定义 1 

   设 V 是域 F 上的线性空间,fV 上的双线性函数,

  • f对称的,称 (V,f)正交空间
  • f反对称的,称 (V,f)辛空间

   f 则为广义内积(V,f) 为广义内积空间。对任意 x,yV,简记广义内积为 (x,y)f(x,y)

   引入广义内积的概念后,向量关系不再是直观的几何关系。在欧几里得空间下,由于内积是正定对称双线性型,我们可以定义两个点之间的距离,向量长度和角度。然而在广义内积下,这些概念无法再定义。譬如一般定义长度 lx=x20,但在辛空间内向量内积都为 0,不再具有区分性,所以没有这个概念。 同理,正交性不再由角度定义,而是采取内积为 0 的定义。由于正交关系是对称的,左根和右根等同,统称为根,以 Rad 表示。

   需要注意的是,在平面几何里,两向量正交则线性无关。但在广义内积空间内并不一定成立,比如退化的正交空间内总有与自身内积为 0 的向量,因此 “正交基” 要严格保证既是线性无关也是相互正交。

   一般称与自身正交为 0 的向量为迷向向量

定义 2 

   设 V 是域 F 的内积空间,S,T 为其子空间。若对于任意 xS,yT(x.y),则称这两个空间互相垂直。若任意与 S 垂直的向量都在 T 内,则可以表示 T=S

定理 1 

   设特征不为 2 的域 F 上有 n 维正交空间 (V,f),则该正交空间一定存在正交基。

   证明:

   由于 f 是对称的,则度量矩阵是对称矩阵,设为 AA 可以通过正交矩阵来对角化,每一列是 A 的两两正交的特征向量。

定理 2 

   (V,f) 是正交空间,A 是 f 的度量矩阵表示,则有子空间 W 非退化 W 非退化 A|W 满秩 V=WW

   证明:

   W 非退化 RadW=WW=0W 非退化。前两条得证。

   设任意 xRadW,yWW 的退化性意味着 (xTA|W)y=0 只有 0 解,因此 A|W 是单射,满秩。

   接下来证明最后一条。因为 WW=0,只需证明 V=W+W 即可。正交空间必有正交基,设 {ei}i=1kW 上的一组由非迷向向量组成的正交基,任意 zVz 为任意向量在 W 上的分量。剩余分量为

(1)zz=zi=1kf(z,ei)f(ei,ei)ei .
若剩余分量属于 W 的正交补,则必然与 W 上的基向量内积为 0。验证有:
(2)f(zz,ej)=f(z,ej)i=1kf(z,ei)f(ei,ei)f(ei,ej)=0 ,
得证。

   辛空间也有一条类似的定理:

定理 3 

   (V,f) 是有限维辛空间,W 是其非退化的子空间,则 V=WW

   证明:1

   由于 W 非退化,所以 RadW=WW=0W 是偶数维的辛空间。设 {θi,θi}i=1kW 的一组基并满足 f(θi,θi)=1,若 it 则有 f(θi,θ±t)=02。扩展其为 V 上的一组基:{θi,θi}i=1k{ηi}i=1t

   设 ηi=ηit=1kf(ηi,θt)θt+t=1kf(ηi,θt)θt,则有:

(3)f(ηj,θi)=f(ηj,θi)f(ηj,θi)f(θi,θi)+f(ηj,θi)f(θi,θi)=0f(ηj,θi)=f(ηj,θi)f(ηj,θi)f(θi,θi)+f(ηj,θi)f(θi,θi)=0 .
因而 {ηi}i=1tW,可以证明 {θi,θi}i=1k{ηi}i=1tV 上的一组基,得证。

   由定理 2 可知,总可以找到一组基使得辛空间的度量矩阵为:

(4)diag{(0110),,(0110),0,,0} .
这组基又称为辛基。改变基的顺序,从满足上述形式的 θ1,θ1,θ2,θ2...θk,θk...η1...ηt 变为 θ1,θ2,θk,θk...θ1θ2θk...η1...ηt。则可以证明在这组基下度量矩阵的形式为:
(5)(0EkEk0) .


1. ^ 参考丘维声《高等代数》
2. ^ 有限维辛空间总可以找到这么一组基。


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