正交空间与辛空间

                     

贡献者: 叶月2_

预备知识 双线性函数

定义 1 

   设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的线性空间,$f$ 是 $V$ 上的双线性函数,

  • 若 $f$ 是对称的,称 $(V,f)$ 是正交空间
  • 若 $f$ 是反对称的,称 $(V,f)$ 是辛空间

   $f$ 则为广义内积,$(V,f)$ 为广义内积空间。对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$,简记广义内积为 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )\equiv f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$

   引入广义内积的概念后,向量关系不再是直观的几何关系。在欧几里得空间下,由于内积是正定对称双线性型,我们可以定义两个点之间的距离,向量长度和角度。然而在广义内积下,这些概念无法再定义。譬如一般定义长度 $l_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }=\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^2}\ge 0$,但在辛空间内向量内积都为 0,不再具有区分性,所以没有这个概念。 同理,正交性不再由角度定义,而是采取内积为 $0$ 的定义。由于正交关系是对称的,左根和右根等同,统称为根,以 $ \operatorname {Rad}$ 表示。

   需要注意的是,在平面几何里,两向量正交则线性无关。但在广义内积空间内并不一定成立,比如退化的正交空间内总有与自身内积为 0 的向量,因此 “正交基” 要严格保证既是线性无关也是相互正交。

   一般称与自身正交为 $0$ 的向量为迷向向量

定义 2 

   设 $V$ 是域 $F$ 的内积空间,$S,T$ 为其子空间。若对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in S, \boldsymbol{\mathbf{y}} \in T$ 有 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} . \boldsymbol{\mathbf{y}} )$,则称这两个空间互相垂直。若任意与 $S$ 垂直的向量都在 $T$ 内,则可以表示 $T=S^{\bot}$。

定理 1 

   设特征不为 2 的域 $F$ 上有 $n$ 维正交空间 $(V,f)$,则该正交空间一定存在正交基。

   证明:

   由于 $f$ 是对称的,则度量矩阵是对称矩阵,设为 $A$。$A$ 可以通过正交矩阵来对角化,每一列是 $A$ 的两两正交的特征向量。

定理 2 

   $(V,f)$ 是正交空间,A 是 $f$ 的度量矩阵表示,则有子空间 $W$ 非退化 $\Longleftrightarrow W^{\bot}$ 非退化 $\Longleftrightarrow A|_{W}$ 满秩 $\Longleftrightarrow V=W\oplus W^{\bot} $

   证明:

   $W$ 非退化 $\Longleftrightarrow \operatorname {Rad}W=W\cap W^{\bot}=0\Longleftrightarrow W^{\bot}$ 非退化。前两条得证。

   设任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \operatorname {Rad} W, \boldsymbol{\mathbf{y}} \in W$,$W$ 的退化性意味着 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{T}A|_{W}) \boldsymbol{\mathbf{y}} =0$ 只有 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 解,因此 $A|_{W}$ 是单射,满秩。

   接下来证明最后一条。因为 $W\cap W^{\bot}=0$,只需证明 $V=W+W^{\bot}$ 即可。正交空间必有正交基,设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^k$ 是 $W$ 上的一组由非迷向向量组成的正交基,任意 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} \in V$,$ \boldsymbol{\mathbf{z}} '$ 为任意向量在 $W$ 上的分量。剩余分量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} '= \boldsymbol{\mathbf{z}} -\sum\limits_{i=1}^k\frac{f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}{f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)} \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~. \end{equation}
若剩余分量属于 $W$ 的正交补,则必然与 $W$ 上的基向量内积为 $0$。验证有:
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} ', \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)-\sum\limits_{i=1}^k\frac{f( \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}{f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)}f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0~, \end{equation}
得证。

   辛空间也有一条类似的定理:

定理 3 

   $(V,f)$ 是有限维辛空间,$W$ 是其非退化的子空间,则 $V=W\oplus W^{\bot}$

   证明:1

   由于 $W$ 非退化,所以 $ \operatorname {Rad} W=W\cap W^{\bot}={ \boldsymbol{\mathbf{0}} }$ 且 $W$ 是偶数维的辛空间。设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k$ 是 $W$ 的一组基并满足 $f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})=1$,若 $i\neq t$ 则有 $f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{\pm t})= 0$2。扩展其为 $V$ 上的一组基:$\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k\cup\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i\}_{i=1}^{t}$。

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i= \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i-\sum\limits_{t=1}^kf( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-t}) \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _t+\sum\limits_{t=1}^kf( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _t) \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-t}$,则有:

\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)&=f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)-f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)+f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{i})=0\\ f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})&=f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})-f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})+f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i) \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i})=0~. \end{aligned} \end{equation}
因而 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=1}^t\in W^{\bot}$,可以证明 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-i}\}_{i=1}^k\cup\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=1}^t$ 是 $V$ 上的一组基,得证。

   由定理 2 可知,总可以找到一组基使得辛空间的度量矩阵为:

\begin{equation} \operatorname{diag}\left\{\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), 0, \cdots, 0\right\} \text {, } ~.\end{equation}
这组基又称为辛基。改变基的顺序,从满足上述形式的 ${ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-1}, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-2}... \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _1... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _t}$ 变为 ${ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _k, \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-1} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-2} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _{-k}... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _1... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _t}$。则可以证明在这组基下度量矩阵的形式为:
\begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol E_k \\ -\boldsymbol E_k& 0\\ \end{pmatrix}~. \end{equation}


1. ^ 参考丘维声《高等代数》
2. ^ 有限维辛空间总可以找到这么一组基。


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