正交空间与辛空间
贡献者: 叶月2_
定义 1
设 是域 上的线性空间, 是 上的双线性函数,
- 若 是对称的,称 是正交空间;
- 若 是反对称的,称 是辛空间;
则为广义内积, 为广义内积空间。对任意 ,简记广义内积为
引入广义内积的概念后,向量关系不再是直观的几何关系。在欧几里得空间下,由于内积是正定对称双线性型,我们可以定义两个点之间的距离,向量长度和角度。然而在广义内积下,这些概念无法再定义。譬如一般定义长度 ,但在辛空间内向量内积都为 0,不再具有区分性,所以没有这个概念。
同理,正交性不再由角度定义,而是采取内积为 的定义。由于正交关系是对称的,左根和右根等同,统称为根,以 表示。
需要注意的是,在平面几何里,两向量正交则线性无关。但在广义内积空间内并不一定成立,比如退化的正交空间内总有与自身内积为 0 的向量,因此 “正交基” 要严格保证既是线性无关也是相互正交。
一般称与自身正交为 的向量为迷向向量。
定义 2
设 是域 的内积空间, 为其子空间。若对于任意 有 ,则称这两个空间互相垂直。若任意与 垂直的向量都在 内,则可以表示 。
定理 1
设特征不为 2 的域 上有 维正交空间 ,则该正交空间一定存在正交基。
证明:
由于 是对称的,则度量矩阵是对称矩阵,设为 。 可以通过正交矩阵来对角化,每一列是 的两两正交的特征向量。
定理 2
是正交空间,A 是 的度量矩阵表示,则有子空间 非退化 非退化 满秩
证明:
非退化 非退化。前两条得证。
设任意 , 的退化性意味着 只有 解,因此 是单射,满秩。
接下来证明最后一条。因为 ,只需证明 即可。正交空间必有正交基,设 是 上的一组由非迷向向量组成的正交基,任意 , 为任意向量在 上的分量。剩余分量为
若剩余分量属于 的正交补,则必然与 上的基向量内积为 。验证有:
得证。
辛空间也有一条类似的定理:
定理 3
是有限维辛空间, 是其非退化的子空间,则
证明:1
由于 非退化,所以 且 是偶数维的辛空间。设 是 的一组基并满足 ,若 则有 2。扩展其为 上的一组基:。
设 ,则有:
因而 ,可以证明 是 上的一组基,得证。
由定理 2 可知,总可以找到一组基使得辛空间的度量矩阵为:
这组基又称为
辛基。改变基的顺序,从满足上述形式的 变为 。则可以证明在这组基下度量矩阵的形式为:
1. ^ 参考丘维声《高等代数》
2. ^ 有限维辛空间总可以找到这么一组基。
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