正交空间与辛空间

贡献者： 叶月2_

　　 引入广义内积的概念后，向量关系不再是直观的几何关系。在欧几里得空间下，由于内积是正定对称双线性型，我们可以定义两个点之间的距离，向量长度和角度。然而在广义内积下，这些概念无法再定义。譬如一般定义长度 $l_{\mathbf{x}}=\sqrt{{\mathbf{x}}^2}\ge 0$，但在辛空间内向量内积都为 0，不再具有区分性，所以没有这个概念。 同理，正交性不再由角度定义，而是采取内积为 $0$ 的定义。由于正交关系是对称的，左根和右根等同，统称为根，以 $\mathrm{Rad}$ 表示。

　　 需要注意的是，在平面几何里，两向量正交则线性无关。但在广义内积空间内并不一定成立，比如退化的正交空间内总有与自身内积为 0 的向量，因此 “正交基” 要严格保证既是线性无关也是相互正交。

　　 一般称与自身正交为 $0$ 的向量为迷向向量。

　　 证明：

　　 由于 $f$ 是对称的，则度量矩阵是对称矩阵，设为 $A$。$A$ 可以通过正交矩阵来对角化，每一列是 $A$ 的两两正交的特征向量。

　　 证明：

　　 $W$ 非退化 $⟺\mathrm{Rad}W=W\cap W^{\mathrm{\perp }}=0⟺W^{\mathrm{\perp }}$ 非退化。前两条得证。

　　 设任意 $\mathbf{x}\in \mathrm{Rad}W,\mathbf{y}\in W$，$W$ 的退化性意味着 $({\mathbf{x}}^{T}A{|}_W)\mathbf{y}=0$ 只有 $\mathbf{0}$ 解，因此 $A{|}_W$ 是单射，满秩。

　　 接下来证明最后一条。因为 $W\cap W^{\mathrm{\perp }}=0$，只需证明 $V=W+W^{\mathrm{\perp }}$ 即可。正交空间必有正交基，设 $\{{\mathbf{e}}_i{\}}_{i=1}^k$ 是 $W$ 上的一组由非迷向向量组成的正交基，任意 $\mathbf{z}\in V$，${\mathbf{z}}^{\prime }$ 为任意向量在 $W$ 上的分量。剩余分量为

　　 辛空间也有一条类似的定理：

　　 证明：¹

　　 由于 $W$ 非退化，所以 $\mathrm{Rad}W=W\cap W^{\mathrm{\perp }}=\mathbf{0}$ 且 $W$ 是偶数维的辛空间。设 $\{{\mathit{\theta }}_i,{\mathit{\theta }}_{-i}{\}}_{i=1}^k$ 是 $W$ 的一组基并满足 $f({\mathit{\theta }}_i,{\mathit{\theta }}_{-i})=1$，若 $i\ne t$ 则有 $f({\mathit{\theta }}_i,{\mathit{\theta }}_{\pm t})=0$²。扩展其为 $V$ 上的一组基：$\{{\mathit{\theta }}_i,{\mathit{\theta }}_{-i}{\}}_{i=1}^k\cup \{{\mathit{\eta }}_i{\}}_{i=1}^t$。

　　 设 ${\mathit{\eta }}_i^{\prime }={\mathit{\eta }}_i-\sum _{t=1}^{k}f({\mathit{\eta }}_i,{\mathit{\theta }}_{-t}){\mathit{\theta }}_t+\sum _{t=1}^{k}f({\mathit{\eta }}_i,{\mathit{\theta }}_t){\mathit{\theta }}_{-t}$，则有：

　　 由定理 2 可知，总可以找到一组基使得辛空间的度量矩阵为：

1. ^ 参考丘维声《高等代数》
2. ^ 有限维辛空间总可以找到这么一组基。