共轭与共轭类

贡献者： certain_pineapple; 叶月2_; addis

1. 共轭与共轭类

　　 共轭关系是一个等价关系，满足自反律、对称律和传递律：
自反率：$g=ggg^{-1}$，则 $g$~$g$。
对称率：若 $d$~$f$，则 $\exists g\in G$ 使得 $gdg^{-1}=f$，那么 $d=g^{-1}fg= g^{-1}f(g^{-1})^{-1}$，则 $f$~$d$
传递率：若 $d$~$f$，$f$~$h$，则 $\exists g_1,g_2\in G$，使 $h=g_2fg_2^{-1}= g_2g_1dg_1^{-1}g_2^{-1}$ $=g_2g_1d(g_2g_1)^{-1}$，则有 $d$~$h$。

　　 这一概念与矩阵中的相似矩阵类似。

　　 证明：

　　 考虑 $gdg^{-1}=f$，若 f 的阶数为 $m$，有 $f^m=e$。

　　 那么 $d^m=g^{-1}(gdg^{-1})^mg=g^{-1}f^mg=g^{-1}eg=e$，证毕。

　　 这条推论会为我们找共轭类提供极大便利，我们只需要去验证那些阶数相等的群元，由此我们也可以得到另一个推论：

　　 这个定理的证明涉及到连续群表示论中有关 $SO(3)$ 群的一个结论：具有相同旋转角度的转动互为共轭类，证明的思想就是先将 $a$ 轴转到 $b$ 轴上,在 $b$ 轴上完成旋转后在转回到 $a$ 轴上,绕 $a$ 轴和 $b$ 轴旋转相同角度的操作即为互为共轭的两个元素。

　　 例如，对于一个正方体，我们可以通过绕面心对称轴的旋转将一个对角线变到另一个对角线上，这样这两个对角线便成为了 “等价轴”，又有绕对角线旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 为正方体对称群的一个群元，则绕不同对角线旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 随对应的群元互为共轭元素，一起组成了一个共轭类。

　　 由拉格朗日定理可知，子群的阶乘以对应左陪集数量等于群的阶。因此该定理暗示类的元素数量对应左陪集数量，即每个左陪集都对应共轭类中的同一个元素。

　　 证明：

　　 设 $x$ 为群 $G$ 的任意元素，其共轭类为 $g_ixg_i^{-1}$，集合 $H=\{ g\in G|gxg^{-1}=x\}$。

　　 先证 $H$ 是 $G$ 的一个子群。设 $g_1,g_2\in H$，则 $g_1xg_1^{-1}=g_2xg_2^{-1}=x$，且 $g_1g_2^{-1}xg_2g_1^{-1}=x$，所以 $g_1g_2^{-1}\in H$，证毕。

　　 其次证明 $H$ 的左陪集元素都对应 $x$ 共轭类中的同一个元素。共轭类的元素都表示为 $g_ixg_i^{-1}$，建立其与左陪集之间的映射为 $f(g_ixg_i^{-1})=g_iH$。接下来我们只需证明这是一个单射。对于任意 $g_1xg_1^{-1}\neq g_2xg_2^{-1}$，若映射到一个左陪集，则 $g_1^{-1}g_2\in H$。由 $H$ 的定义可知，这意味着 $g_1^{-1}g_2xg_2^{-1}g_1=x$，则 $g_2xg_2^{-1}=g_1xg_1^{-1}$，因此 $f$ 既单又满，得证。

2. 与正规子群的关系

　　 在正规子群最初的定义中，我们曾要求其生成的左右陪集相等，即 $\forall g \in G$
$gH=Hg$，既 $g^{-1}Hg=H$，用本节的语言便是 $H$ 中包含完整的共轭类，或者由定义 6 共轭子群知，正规子群 $H$ 的共轭子群只有自己。

　　 则由此可以引出找正规子群的方法，我们可以先写出所有的共轭类，在通过将几个共轭类组合起来，找到运算封闭的共轭类组合便可以得到正规子群。

　　 值得注意的一个性质是子群的阶数是群 $G$ 的因数，这与前几条条件组合起来一般可以非常快速的找到正规子群。