群论中的证明和习题解答

             

1. 子群和正规子群

例 1 对换和逆序数

   问题来源请见例 2

2. 群作用

例 2 迷向子群

   问题来源请见习题 1

   已知群 $G$ 作用在集合 $X$ 上,且对于 $x\in X$ 有 $G$ 的子集 $F_x=\{g\in G|g\cdot x=x\}$.

   那么 $\forall g\in F_x$,$(g^{-1}g)\cdot x=e\cdot x=x$.又因为 $g\cdot x=x$,所以 $g^{-1}\cdot x=g^{-1}\cdot(g\cdot x)=(g^{-1}g)\cdot x=x$.

   因此,$\forall g_1, g_2\in F_x$,有 $(g_1^{-1}g_2)\cdot x=g_1^{-1}\cdot x=x$,也就是说,$(g_1^{-1}g_2)\in F_x$.根据判别式定理 1 ,$F_x$ 构成 $G$ 的子群.

例 3 Burnside 引理

   首先转写一个表达:$\sum_{g\in G}|X^g|=$“满足 $g\cdot x=x$ 的 $(g, x)$ 数量”$=\sum_{x\in X}|F_x|$.

   由推论 1 ,$\sum_{x\in X}|F_x|=\sum_{x\in X} |G|/|O_x|=|G| \sum_{x\in X} 1/|O_x|$

   现在关键是 $\sum_{x\in X} 1/|O_x|$ 是多少.显然,$\sum_{x\in O_x} 1/|O_x|=1$,也就是说 $1/|O_x|$ 在每一个 $O_x$ 上求和的结果是 $1$,那么它在整个 $X$ 上求和的结果,刚好就是所有轨道的数量 $|\{O_x|x\in X\}|$.

   把以上结果整合,我们有:$\sum_{g\in G}|X^g|=|G|\cdot|\{O_x|x\in X\}|$.

例 4 自由群的一般性质

   问题来源请见定理 2

   设集合 $S$ 到群 $G$ 上有一个集合间的映射 $f$.我们来构造一个 $\varphi: F(S)\rightarrow G$ 的同态.

   首先,由于 $\varphi$ 是 $f$ 的扩张,因此要定义 $\forall s\in S, \varphi(s)=f(s)$.

   其次,由于 $\varphi$ 应为一个群同态,因此要定义 $\forall s_i\in S, \varphi({s_1s_2s_3\cdots})=\varphi(s_1)\varphi(s_2)\varphi(s_3)\cdots$.同时,还需要有 $\varphi(s^{-1})=\varphi(s)^{-1}$.

   这样一来,$\varphi$ 的映射规则就确定下来了,并且容易验证它是一个群同态.因此这是唯一一个符合同态条件的扩张.

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