纯不可分扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 可分元素的单扩张是可分扩张

1. 纯不可分的概念

   我们容易想到并且熟悉的扩域,通常是可分扩张.相对地,凡不是可分扩张的情况,都叫做不可分扩张——也就是说,不可分扩张是可分元、不可分元混杂的扩域.这样一来,代数扩张就分为两类了.似乎不可分扩张只是可分扩张的例外,不像可分扩张有那么好的性质;可相对的,下面定义的纯不可分扩张就很有意思了.

定义 1 纯不可分扩张

  

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是代数扩域.如果 $\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 中的元素在 $\mathbb{F}$ 上都是不可分的,那么称 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张(purely inseparable extension),且称 $\mathbb{K}$ 在 $\mathbb{F}$ 上(over $\mathbb{F}$)是纯不可分的.

   任何域 $\mathbb{F}$ 都是自己的纯不可分扩张,因为不存在 $\mathbb{F}-\mathbb{F}$ 的元素,命题前提为假则命题恒真.

   留意定理 6 ,可以猜测可分性质与 $p$ 次根是否在给定域中息息相关,其中 $p$ 是这个域的特征.由此提示,我们可以定义 “纯不可分元素”:

定义 2 纯不可分元素

   设域 $\mathbb{F}$ 的特征为素数 $p$.称 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的纯不可分元素(purely inseparable element),如果存在非负整数 $k$ 使得 $\alpha^{p^k}\in\mathbb{F}$.

   或者说,$\alpha$ 是 $\mathbb{F}$ 的代数元,且其最小多项式为 $x^{p^n}-a$,其中 $n$ 是上述 $k$ 中最小的,$a\in\mathbb{F}$.

   同样,域 $\mathbb{F}$ 的元素都是纯不可分元素.

   一切代数扩张,必是进行一次可分扩张后再进行一次纯不可分扩张的结果.要注意,反过来的 “代数扩张必是先进行纯不可分扩张再进行可分扩张的结果” 并不总是成立.

未完成:是否需要举一个反例,说明为什么并不总是成立?

定理 1 

   给定代数扩域 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,则集合 $\mathbb{S}=\{\alpha\in\mathbb{K}|\alpha\text{在}\mathbb{F}\text{上可分}\}$ 是一个域.

   且 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是一个纯不可分扩张.

   证明

   由可分元素的封闭性推论 4 ),可知 $\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分闭包与 $\mathbb{K}$ 的交集,显然是个域.

   反设 $\mathbb{K}-\mathbb{S}$ 中存在 $\mathbb{S}$ 的可分元素 $a$,那么 $\mathbb{S}(a)/\mathbb{S}$ 是可分扩张.由可分扩张的传递性(推论 2 ),可知 $\mathbb{S}(a)/\mathbb{F}$ 是可分扩张,这与可分闭包的定义矛盾.因此反设不成立,即 $\mathbb{K}-\mathbb{S}$ 中全是 $\mathbb{S}$ 的不可分元素.

   证毕

   该定理还引出了一个重要的概念:

定义 3 可分次数

   给定代数扩域 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,构造中间域 $\mathbb{K}_S=\{\alpha\in\mathbb{K}|\alpha\text{在}\mathbb{F}\text{上可分}\}$.

   则称 $[\mathbb{K}_S:\mathbb{F}]$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的可分次数(separability degree),记为 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]_S$.

   称 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}] / [\mathbb{K}:\mathbb{F}]_S$ 为 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的不可分次数(inseparable degree)

定理 2 单扩张的可分次数

   设 $\alpha$ 是域 $\mathbb{F}$ 的代数元,则 $[\mathbb{F}(\alpha):\mathbb{F}]_S$ 正是 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 不同根的数目.

   证明

   以 $\mathbb{F}$ 为基域.设 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})=f$,其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 中的全体根构成集合 $\{\alpha_i\}_{i=1}^n$,其中 $\alpha_1=\alpha$.则存在非负整数 $k$,使得

\begin{equation} \begin{aligned} f(x) &= (x-\alpha_1)^{p^k}(x-\alpha_2)^{p^k}\cdots(x-\alpha_n)^{p^k}\\ &=(x^{p^k}-\alpha^{p^k}_1)(x^{p^k}-\alpha^{p^k}_2)\cdots(x^{p^k}-\alpha^{p^k}_n) \end{aligned} \end{equation}

   设 $\beta_i=\alpha_i^{p^k}$,$ \operatorname {irr}(x)(\beta_1, \mathbb{F})=g$,那么

\begin{equation} g(x) = (x-\alpha^{p^k}_1)(x-\alpha^{p^k}_2)\cdots(x-\alpha^{p^k}_n) \end{equation}

   显然,$\beta_i$ 都是 $\mathbb{F}$ 上的可分元.

   设 $\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{F}(\alpha)$ 上 $\mathbb{F}$ 的可分闭包.由可分元的封闭性(推论 4 )可知,可分元必是可分元运算所得结果.又考虑到 $\mathbb{S}$ 的元素都是由各 $\alpha_i$ 组合而来,又不能包含不可分元素,于是

   证毕

推论 1 

   设定同定理 2

   如果 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}$ 是素数 $p$,则存在非负整数 $k$ 使得 $[\mathbb{F}(\alpha):\mathbb{F}]=p^k[\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}]_S$.

   由于特征为 $0$ 的域都是完美域(定义见定理 5 ),不存在不可分元素,因此纯不可分扩张的讨论集中在特征为素数 $p$ 的域上.

   考虑域 $\mathbb{F}$,$ \operatorname {ch}\mathbb{F}=p$.对于任意 $\alpha, \beta\in\overline{\mathbb{F}}$ 和 $k\in\mathbb{Z}^+$,都有 $\alpha^{p^k}-\beta^{p^k}=(\alpha-\beta)^{p^k}$,其中 $\overline{\mathbb{F}}$ 是 $\mathbb{F}$ 的代数闭包.于是,任意 $a\in\mathbb{F}$ 在其代数闭包里有唯一的 $p^k$ 次根 $\alpha$,因为

\begin{equation} x^{p^k}-a=x^{p^k}-\alpha^{p^k}=(x-\alpha)^{p^k} \end{equation}
显然这是 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式,以及该最小多项式在 $\overline{\mathbb{F}}$ 上的分解.

   受此启发,我们可以得到一个纯不可分扩张的例子:

例 1 

   设域 $\mathbb{F}$ 的特征为素数 $p$.定义集合

\begin{equation} \mathbb{F}^{1/p^\infty} = \{\alpha\in\overline{\mathbb{F}}\mid \alpha^{p^k}\in\mathbb{F}, k\in\mathbb{Z}^+\} \end{equation}
即全体 $\mathbb{F}$ 元素的 $p^k$ 次根构成的集合,显然 $\mathbb{F}$ 是它的子集.

   这个集合满足加法和乘法的封闭性:设 $\alpha^m\in\mathbb{F}$ 和 $\beta^n\in\mathbb{F}$,另 $k$ 为 $m$ 和 $n$ 的任意公倍数,则 $\alpha^k$ 和 $\beta^k$ 都是 $\mathbb{F}$ 的元素,那么有

\begin{equation} \begin{aligned} (\alpha+\beta)^k&=\alpha^k+\beta^k\\ (\alpha\beta)^k&=\alpha^k\beta^k \end{aligned} \end{equation}
故 $\mathbb{F}^{1/p^\infty}$ 构成一个域.

   任取 $\alpha\in\mathbb{F}^{1/p^\infty}-\mathbb{F}$,令 $k$ 是使得 $\alpha^k\in\mathbb{F}$ 的最小非负整数,那么 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式为

\begin{equation} \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})(x) = x^{p^k}-a \end{equation}

   而在 $\mathbb{F}^{1/p^\infty}$ 上有

\begin{equation} x^{p^k}-a = (x-\alpha)^{p^k} \end{equation}

   因此 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上不可分.

习题 1 

   定义集合 $\mathbb{F}^{1/p^k}=\{\alpha\in\overline{\mathbb{F}}\mid \alpha^{p^k}\in\mathbb{F}\}$,其中 $k$ 是给定的任意正整数.证明这个集合是 $\mathbb{F}$ 的扩域.

   $\mathbb{F}^{1/p^\infty}/\mathbb{F}^{1/p^k}$ 是不是纯不可分扩张?

习题 2 

   设域 $\mathbb{F}$ 的特征为素数 $p$.证明 $\mathbb{F}$ 是完美域(定义 5 ),当且仅当 $\mathbb{F}^{1/p^\infty}=\mathbb{F}$.

   例 1 启发我们得到限制条件下纯不可分扩张的另一定义.为了描述这一定义,我们先看一个简单的引理:

引理 1 

   设域 $\mathbb{F}$ 的特征是素数 $p$,且 $\alpha$ 是其代数元.

   则 “存在非负整数 $k$ 使得 $\alpha^{p^k}\in\mathbb{F}$”$\iff$“存在 $a\in\mathbb{F}$ 和非负整数 $n$ 使得 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})(x) = x^{p^n}-a$”.

   证明

   $\implies$:

   取 $n$ 是所有符合条件的 $k$ 中最小的.则 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})(x) = x^{p^n}-a$.

   $\Leftarrow$:

   取 $k=n$ 即可.

   证毕

推论 2 

   设域 $\mathbb{F}$ 的特征是素数 $p$,$\overline{\mathbb{F}}$ 是其代数闭包,则对于任意 $a\in\mathbb{F}$ 和 $k\in\mathbb{Z}^+$,存在唯一的 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$,使得 $\alpha^{p^k}=a$.

   也就是说,特征为 $p$ 的域上,任意元素都有唯一的 $p^k$ 次根.这同时意味着,纯不可分元素在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式只有一个根——可以说,这种元素的最小多项式 “不可分” 的程度、或者说 “根的重数” 已经达到极致了,“纯” 不可分确实名不虚传.

   现在,我们可以给出纯不可分扩张在特征不为零时的等价定义了:

定理 3 特征为 $p$ 时纯不可分扩张的等价定义

  

   给定代数域扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,其特征为素数 $p$.则下列命题等价:

   1. $\mathbb{K}$ 在 $\mathbb{F}$ 上纯不可分;

   2. $\forall \alpha\in\mathbb{K}$,$\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上纯不可分;

   3. 存在一个 $\mathbb{K}\to\mathbb{F}^{1/p^\infty}$1的保 $\mathbb{F}$同态;

   4. $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]_S=1$.

   证明

   1. $\implies$2.

   只需要考虑 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 的情况.记 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})=f$,则 $f$ 不可分、不可约,故由定义 2 推论 2 知,可以把 $f$ 中次数不是 $p$ 整数倍的单项式挖掉.

   换言之,存在可分的不可约多项式 $g(x)\in\mathbb{F}[x]$ 和非负整数 $k$,使得 $f(x)=g(x^{p^k})$.于是 $g(\alpha^{p^k})=0$,因此 $g= \operatorname {Irr}(\alpha^{p^k}, \mathbb{F})$,从而 $\alpha^{p^k}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素.又因为 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 纯不可分,故 $\alpha^{p^k}\in\mathbb{F}$.

   2. $\implies$3.

   由纯不可分元素的定义 2 ,显然 $\mathbb{K}\subseteq\mathbb{F}^{1/p^\infty}$.故恒等映射即为所求.

   3. $\implies$4.

   令 $\varphi:\mathbb{K}\to\mathbb{F}^{1/p^\infty}$ 和 $\sigma:\mathbb{K}\to\overline{\mathbb{F}}$ 都是保 $\mathbb{F}$ 单同态.下证它们是同一个映射.

   由于 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}=p$,于是由推论 2 ,任取正整数 $k$,每个 $a\in\mathbb{F}$ 在其代数闭包上都有唯一的 $p^k$ 次根.

   任取$\alpha\in\mathbb{K}$,那么 $\varphi(\alpha^{p^k})=(\varphi(\alpha))^{p^k}\in\mathbb{F}$.由于 $\varphi$ 是单射且保 $\mathbb{F}$ 的元素不变,故 $\alpha^{p^k}\in\mathbb{F}$.于是同理,$\sigma(\alpha^{p^k})=\alpha^{p^k}$.

   由于都是同态,故 $\varphi(\alpha^{p^k})=\sigma(\alpha^{p^k})\iff \varphi(\alpha)=\sigma(\alpha)$.

   4. $\implies$1.

   由可分次数的定义,题设意味着 $\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 的元素都不是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素.

   证毕

   由定理 3 中第 1 和第 3 条的等价性,可知域 $\mathbb{F}$ 最大的纯不可分扩张就是 $\mathbb{F}^{1/p^\infty}$.

2. 纯不可分扩张的一些性质

定理 4 

   给定特征为素数 $p$ 的域 $\mathbb{F}$ 和 $\overline{\mathbb{F}}$ 的子集 $S$,如果 $S$ 的元素都是 $\mathbb{F}$ 的纯不可分元素,那么 $\mathbb{F}(S)/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张.

   证明

   任取 $\alpha_i\in S\cup\mathbb{F}$,则 $\alpha_i$ 纯不可分,于是存在正整数 $k_i$ 使得 $\alpha_i^{p^{k_i}}\in\mathbb{F}$.于是,$\alpha_1^{p^{k_1}p^{k_2}}$ 和 $\alpha_2^{p^{k_2}p^{k_1}}$ 都在 $\mathbb{F}$ 中.

   则有

\begin{equation} (\alpha_1\alpha_2)^{p^{k_1+k_2}}=\alpha_1^{p^{k_1}p^{k_2}}\alpha_2^{p^{k_2}p^{k_1}}\in\mathbb{F} \end{equation}
\begin{equation} (\alpha_1+\alpha_2)^{p^{k_1+k_2}}=\alpha_1^{p^{k_1}p^{k_2}}+\alpha_2^{p^{k_2}p^{k_1}}\in\mathbb{F} \end{equation}
\begin{equation} (\alpha_1^{-1})^{p^{k_1}} = (\alpha_1^{p^{k_1}})^{-1} \in\mathbb{F} \end{equation}

   换言之,纯不可分元素之积、和、逆都是纯不可分元素,因此 $\mathbb{F}(S)$ 中的元素都是 $\mathbb{F}$ 的纯不可分元素.由定理 3 第 2 条的定义得证.

   证毕

定理 5 

   设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是代数扩域链.如果 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 纯不可分,那么 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 也纯不可分.

   证明

   $\mathbb{K}\subseteq\mathbb{L}$,因此据定理 3 第 2 条的定义,$\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 纯不可分.

   $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{K}$,因此据可分元素的定义和定理 3 第 2 条的定义,$\mathbb{F}/\mathbb{K}$ 纯不可分.

   证毕

定理 6 塔性质

   设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是代数扩域链.如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 纯不可分,那么 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 纯不可分.

   证明

   任取 $\alpha\in\mathbb{L}$,则由于 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 纯不可分,存在正整数 $m$ 使得 $\alpha^{p^m}\in\mathbb{K}$.由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 纯不可分,存在正整数 $n$ 使得 $(\alpha^{p^m})^{p^n}\in\mathbb{F}$.于是,$\alpha$ 是 $\mathbb{F}$ 上的纯不可分元素.

   证毕

定理 7 

   如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个纯不可分的代数扩张,且域合成 $\mathbb{EK}$ 存在,那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是纯不可分扩张.

   证明

   任取 $\epsilon\in\mathbb{E}$ 和 $\kappa\in\mathbb{K}$,则存在正整数 $k$ 使得 $(\epsilon\kappa)^k\in\mathbb{EF}$.注意到 $\mathbb{EK}$ 是由集合 $\{\epsilon\kappa\mid\epsilon\in\mathbb{E}, \kappa\in\mathbb{K}\}$ 生成的,再类比式 8 式 9 式 10 可知,$\mathbb{EK}$ 中的元素都是 $\mathbb{EF}$ 上的纯不可分元素.

   证毕

习题 3 

   给定域 $\mathbb{F}$,设 $\mathbb{K}_i$ 都是 $\mathbb{F}$ 的代数纯不可分扩域.证明 $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张.

定理 8 

   给定域 $\mathbb{F}$ 及其代数闭包 $\overline{\mathbb{F}}$.则 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的纯不可分元素,当且仅当对于 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构 $\sigma$,都有 $\sigma\alpha=\alpha$.

   证明

   $ \operatorname {ch}\mathbb{F}=0$ 以及其它 $\mathbb{F}$ 是完美域的情况是平凡情况.下面讨论 $\mathbb{F}$ 存在不可分元素的情况,设其特征为 $p$.

   必要性:

   设 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的纯不可分元素,则存在正整数 $k$ 和 $a\in\mathbb{F}$ 使得 $\alpha$ 是 $\mathbb{F}$ 上不可约多项式 $x^{p^k}-a$ 唯一的根.$\sigma$ 必须把 $\mathbb{F}$ 上多项式的一个根映射为另一个根,因此只能有 $\sigma\alpha=\alpha$.

   充分性:

   设对于 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构 $\sigma$,都有 $\sigma\alpha=\alpha$.设 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式为 $f(x)$,那么由于任意的 $\sigma$ 可以将 $\alpha$ 变为 $f(x)$ 的任意其它根,可知 $f(x)$ 在代数闭包 $\overline{\mathbb{F}}$ 上只有一个根,因此 $f$ 在 $\overline{\mathbb{F}}$ 上应分解为 $(x-\alpha)^n$,其中 $n$ 是一个正整数.

   展开 $(x-\alpha)^n$,其常数项 $\alpha^n=a\in\mathbb{F}$.因此 $x^n-a$ 也是 $\alpha$ 的零化多项式.由于次数相等以及最小多项式的定义,可知 $(x-\alpha)^n=x^n-a$.

   类比定理 4 一开始的证明过程,可知存在可分的不可约多项式 $h(x)\in\mathbb{F}$ 和非负整数 $k$,使得 $h(x^{p^k})=f(x)=x^n-a$,因此 $p^k\mid n$.设 $n=p^km$,那么 $h(x)=x^m-a$.由于 $f$ 只有唯一的根 $\alpha$,故 $h$ 也只能有唯一的根2.加上 $h$ 是可分的,不存在重根,故 $m=1$.因此,$\alpha$ 是 $a$ 唯一的 $p^k$ 次根,符合定义 2

   证毕

   定理 8 充分性的证明很能说明纯不可分扩张的特点:就一个根,因此对应定理中 $\sigma \alpha$ 的可能性就一个.


1. ^ $\mathbb{F}^{1/p^\infty}$ 的定义见例 1 .
2. ^ $h$ 的根都是 $a$ 的 $m$ 次根,而 $\alpha$ 是 $a$ 唯一的 $p^km$ 次根,因此也是 $h$ 的根唯一的 $p^k$ 次根,故 $h$ 的根也唯一


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