线性空间的同态与同构
贡献者: 叶月2_
与群运算的同态映射类似,线性空间的同态映射能保证运算结构不变。
定义 1
给定域 上的两个线性空间 。如果存在一个映射 ,使得对于任意 及任意 ,都有
则称 是 到 的一个同态(homomorphism)。
如果该同态还是一个双射,则称之为同构(isomorphism)。此时记
从上述定义我们可以知道,同构是特殊的同态。同态映射意味着 “先线性运算再映射” 和 “先映射再线性运算” 的结果是相同的。
线性空间的同态映射又称线性映射(linear mapping),线性指的是 “加性”()和 “齐性”()。显然,线性函数就是线性映射的一种。
那么怎么判断两个线性空间是否同构呢?如果已经存在同态映射,那么这个问题实际上是在进一步问:如何建立线性空间的双射?线性空间的良好性质使得下述定理成立,进而让我们能够迅速判断同构是否存在。
定理 1
给定域 上的两个线性空间 ,它们同构当且仅当维度相同
Proof。
证明思路是建立 basis 之间的双映射。设 分别是 的一组基。那么我们有
显然,在该映射下, 中的任意向量都能被唯一表示为 中的向量,单射成立,反之亦然,所以这映射是满的。因此,这是一个双射。以上是有限维情况的证明,但也可以适用于无限维,只要保证基于基的对应即可。证毕。
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