线性空间的同态与同构

贡献者：叶月2_

　　与群运算的同态映射类似，线性空间的同态映射能保证运算结构不变。

定义 1　

　　给定域 $F$ 上的两个线性空间 $V_{1}, V_{2}$ 。如果存在一个映射 $f : V_{1} \to V_{2}$ ，使得对于任意 $a, b \in F$ 及任意 $x_{1}, x_{2} \in V_{1}, V_{2}$ ，都有

\begin{matrix} (1) & f (a x_{1} + b x_{2}) = a f (x_{1}) + b f (x_{2}), \end{matrix}

则称

f

是

V_{1}

到

V_{2}

的一个同态（homomorphism）。

　　如果该同态还是一个双射，则称之为同构（isomorphism）。此时记 $V_{1} ≅ V_{2}$ 从上述定义我们可以知道，同构是特殊的同态。同态映射意味着 “先线性运算再映射” 和 “先映射再线性运算” 的结果是相同的。线性空间的同态映射又称线性映射（linear mapping），线性指的是 “加性”（ $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ）和 “齐性”（ $f (a x) = a f (x), a \in F$ ）。显然，线性函数就是线性映射的一种。

　　那么怎么判断两个线性空间是否同构呢？如果已经存在同态映射，那么这个问题实际上是在进一步问：如何建立线性空间的双射？线性空间的良好性质使得下述定理成立，进而让我们能够迅速判断同构是否存在。

定理 1　

　　给定域 $F$ 上的两个线性空间 $V_{1}, V_{2}$ ，它们同构当且仅当维度相同

　　 Proof。证明思路是建立 basis 之间的双映射。设 ${e_{i}}, {θ_{i}}$ 分别是 $V_{1}, V_{2}$ 的一组基。那么我们有

\begin{matrix} (2) & f (a^{i} e_{i}) = f (a^{1} e_{1} + a^{2} e_{2} + . . .) = a^{i} f (e_{i}) = a^{i} θ_{i}, \end{matrix}

显然，在该映射下，

V_{1}

中的任意向量都能被唯一表示为

V_{2}

中的向量，单射成立，反之亦然，所以这映射是满的。因此，这是一个双射。以上是有限维情况的证明，但也可以适用于无限维，只要保证基于基的对应即可。证毕。

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