线性空间的同态与同构
贡献者： 叶月2_
与群运算的同态映射类似，线性空间的同态映射能保证运算结构不变。
定义 1
给定域 $\mathbb F$ 上的两个线性空间 $V_1,V_2$。如果存在一个映射 $f:V_1\rightarrow V_2$，使得对于任意 $a,b\in \mathbb F$ 及任意 $\boldsymbol{x_1,x_2}\in V_1,V_2$，都有
\begin{equation}
f(a\boldsymbol {x_1}+b\boldsymbol {x_2})=af(\boldsymbol {x_1})+bf(\boldsymbol {x_2})~,
\end{equation}
则称 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同态（homomorphism）。
如果该同态还是一个双射，则称之为同构（isomorphism）。此时记 $V_1\cong V_2$
从上述定义我们可以知道，同构是特殊的同态。同态映射意味着 “先线性运算再映射” 和 “先映射再线性运算” 的结果是相同的。
线性空间的同态映射又称线性映射（linear mapping），线性指的是 “加性”（$f(x+y)=f(x)+f(y)$）和 “齐性”（$f(ax)=af(x),a\in \mathbb F$）。显然，线性函数就是线性映射的一种。
那么怎么判断两个线性空间是否同构呢？如果已经存在同态映射，那么这个问题实际上是在进一步问：如何建立线性空间的双射？线性空间的良好性质使得下述定理成立，进而让我们能够迅速判断同构是否存在。
定理 1
给定域 $\mathbb F$ 上的两个线性空间 $V_1,V_2$，它们同构当且仅当维度相同
Proof。
证明思路是建立 basis 之间的双映射。设 $\{\boldsymbol{e_i}\},\{\boldsymbol{\theta_i}\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基。那么我们有
\begin{equation}
f(a^i\boldsymbol e_i)=f(a^1\boldsymbol e_1+a^2\boldsymbol e_2+...)=a^if(e_i)=a^i\theta_i~,
\end{equation}
显然，在该映射下，$V_1$ 中的任意向量都能被唯一表示为 $V_2$ 中的向量，单射成立，反之亦然，所以这映射是满的。因此，这是一个双射。以上是有限维情况的证明，但也可以适用于无限维，只要保证基于基的对应即可。证毕。
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