磁通量

贡献者： _Eden_; addis

本文处于草稿阶段。
应该由浅入深，矢势放到后面。添加例题。

预备知识 1　曲面积分通量

　　¹磁通量的一个直观的含义是，通过空间中一个曲面的磁感线的条数，对于匀强磁场而言，如果磁场 $B$ 与平面法向量 $S$ 的夹角为 $θ$ ，且平面面积为 $S$ ，那么通过该平面的磁通量为 $| B | S \cos θ = B \cdot S$ 。

　　将上述结果推广到任意曲面，以及非匀强磁场的情况。令空间中磁感应强度为 $B (r)$ 我们可以通过曲面积分来定义一个通过某曲面的磁通量（magnetic flux）为

\begin{matrix} (1) & Φ = \int B (r) \cdot d s . \end{matrix}

形象来说，磁通量也可以看作是磁感线通过曲面的条数。反方向的磁感线共线为负，和正方向磁感线抵消。

　　磁通量只与曲面的边界有关。设有两个曲面 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的边界都是 $C$ ，而曲面 $S_{1}, S_{2}$ 围成的一个闭曲面 $S$ （没有边界），穿过这个闭曲面的磁通量为

\begin{matrix} (2) & \int_{S_{2}} B (r) \cdot d s - \int_{S_{1}} B (r) \cdot d s = \int_{S} B (r) \cdot d s = \int_{V} \nabla \cdot B d V = 0 . \end{matrix}

在最后我们利用了磁场的高斯定律（

B

的散度恒为零），以及高斯散度定理

\int_{S} V \cdot d s = \int_{V} \nabla \cdot B d V

。由此我们得到了

\begin{matrix} (3) & \int_{S_{1}} B (r) \cdot d s = \int_{S_{2}} B (r) \cdot d s . \end{matrix}

由此我们利用了磁场的高斯定律证明了磁通量只与曲面的边界

C

有关。

1. 穿过曲面的磁通量与磁矢势

预备知识 2　磁矢势，斯托克斯定理（矢量分析）

　　利用磁场矢势的定义 $B = \nabla \times A$ 及旋度定理，磁通量变为

\begin{matrix} (4) & Φ = \int \nabla \times A \cdot d s = \oint A \cdot d r . \end{matrix}

磁矢势

A

的定义正是由于磁场的散度为零。因此从上式再次可以看出，如果选定一个闭合回路，以该闭合回路为边界的任何曲面的磁通量都相等，只与沿闭合回路的磁矢势的积分有关。

2. 闭合线圈的磁通量

　　如何计算一个通电闭合线圈对自己产生的磁通量呢？假设电流为 $I$ ，利用磁场矢势公式

\begin{matrix} (5) & A (r) = \frac{μ_{0} I}{4 π} \oint \frac{d r^{'}}{| r - r^{'} |} . \end{matrix}

注意在该积分中，

r

视为常量，积份完后，积分变量

r

消失。现在根据式 4 再次将上式对

r

进行同一环路积分得到磁通量

\begin{matrix} (6) & Φ = \frac{μ_{0} I}{4 π} \oint \oint \frac{d r^{'} d r}{| r - r^{'} |} . \end{matrix}

　　值得注意的是，对于理想导线（足够细的）组成的通电闭合回路，上式实际上是不良定义的，因为当 $r$ 与 $r^{'}$ 距离趋于 $0$ 时，积分是发散的。也可以从磁通量的角度理解，通电细导线附近的磁场强度与垂直导线方向的距离成反比，离导线越近的地方磁场越强，当距离趋于零时磁场无穷大，这将导致闭合线圈对自己产生的磁通量为无穷大，从而导致许多电学磁学方面的悖论（比如感生电动势也将趋于无穷大）。

　　如何解决这个问题呢？上面的问题实际上反映了 “理想导线” 这一理想模型的缺陷，它并不能完备地给出所有问题的解释。现实中的导线都是有一定粗细的，电流通过导线时有一定的横截面积，而这保证了闭合线圈通电时对自己产生的磁通量是有限的，不会出现无穷大。也就是说，我们可以取 “导线粗细” 作为理论的一个位置空间上的 “截断”，那么式 6 中 $r$ 与 $r^{'}$ 距离趋于 $0$ 的部分不会对结果有贡献，最终磁通量的计算结果是有限的。

1. ^ 参考 [1] 和 Wikipedia 相关页面。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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