磁通量
贡献者： addis
- 本词条处于草稿阶段。
- 应该由浅入深，矢势放到后面。添加例题。
1令空间中磁感应强度为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们可以通过曲面积分来定义一个通过某曲面的磁通量（magnetic flux）为
\begin{equation}
\Phi = \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
形象来说，磁通量也可以看作是磁感线通过曲面的条数。反方向的磁感线共线为负，和正方向磁感线抵消。
磁通量只与曲面的边界有关。这是因为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的散度恒为零（磁场的高斯定律）
未完成：证明
利用磁场矢势及旋度定理，磁通量变为
\begin{equation}
\Phi = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
\end{equation}
另外，由于磁场的散度为零，根据高斯定律，任何闭合曲面的磁通量都是 0。用另一种方式来理解：如果选定一个闭合回路，以该闭合回路为边界的任何曲面的磁通量都相等。
1. 闭合线圈的磁通量
如何计算一个闭合线圈对自己产生的磁通量呢？利用磁场矢势公式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }
\end{equation}
注意在该积分中，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为常量，积份完后，积分变量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 消失。现在根据
式 2 再次将上式对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 进行同一环路积分得到磁通量
\begin{equation}
\Phi = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }
\end{equation}
1. ^ 参考 [27] 和 Wikipedia 相关页面。
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