磁通量

                     

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段。
  • 应该由浅入深,矢势放到后面。添加例题。
预备知识 曲面积分 通量

  1令空间中磁感应强度为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们可以通过曲面积分来定义一个通过某曲面的磁通量(magnetic flux)

\begin{equation} \Phi = \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
形象来说,磁通量也可以看作是磁感线通过曲面的条数。反方向的磁感线共线为负,和正方向磁感线抵消。

   磁通量只与曲面的边界有关。这是因为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的散度恒为零(磁场的高斯定律)

未完成:证明

   利用磁场矢势及旋度定理,磁通量变为

\begin{equation} \Phi = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
另外,由于磁场的散度为零,根据高斯定律,任何闭合曲面的磁通量都是 0。用另一种方式来理解:如果选定一个闭合回路,以该闭合回路为边界的任何曲面的磁通量都相等。

1. 闭合线圈的磁通量

   如何计算一个闭合线圈对自己产生的磁通量呢?利用磁场矢势公式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \end{equation}
注意在该积分中,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为常量,积份完后,积分变量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 消失。现在根据式 2 再次将上式对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 进行同一环路积分得到磁通量
\begin{equation} \Phi = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \end{equation}


1. ^ 参考 [27] 和 Wikipedia 相关页面


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