贡献者： 零穹
在正式定义之前，我们先讨论根据 “压缩映射” 这一名词应该怎么定义它。首先，压缩映射是集合到自身的一个映射（因为 “压缩” 就应该是种包含关系）。其次，“压缩” 是指对集合中任意两点，在压缩映射下两点的像点的 “距离” 比两原像更小。这就是说，压缩映射是定义在带有 “距离” 的集合上的，这样的集合便是度量空间。容易验证，满足上面定义的压缩映射 $A$ 的定义集合 $X$ 是个无限集。事实上，若 $X$ 有限，且 $d:X\times X\rightarrow \mathbb R$ 是距离函数1。我们构建两个序列
\begin{equation}
\{x,Ax,A^2x,\cdots\},\{y,Ay,A^2y,\cdots\}~,
\end{equation}
由于 $X$ 有限，所以必有 $m_1< n_1,m_2< n_2$ 存在，使得 $A^{m_1}x=A^{n_1}x,A^{m_2}y=A^{n_2}y$。那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
A^{m_1+(n_1-m_1)(n_2-m_2)}x&=\underbrace{A^{(n_1-m_1)}\cdots A^{(n_1-m_1)}}_{(n_2-m_2)\text{个}}A^{m_1}x\\
&=\underbrace{A^{(n_1-m_1)}\cdots A^{(n_1-m_1)}}_{(n_2-m_2-1)\text{个}}A^{n_1}x\\
&=\underbrace{A^{(n_1-m_1)}\cdots A^{(n_1-m_1)}}_{(n_2-m_2-1)\text{个}}A^{m_1}x\\
&=A^{m_1}x\\~.
\end{aligned}
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\begin{aligned}
A^{m_2+(n_1-m_1)(n_2-m_2)}y=A^{m_2}y\\~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
&d(A^{(n_1-m_1)(n_2-m_2)}(A^{m_1}x),A^{(n_1-m_1)(n_2-m_2)}(A^{m_2}y))\\
&=d(A^{m_1}x,A^{m_2}y)~.
\end{aligned}
\end{equation}
但是 $A$ 是压缩映射要求任意 $n>0$，都有 $d(A^n x,A^n y)< d(x,y)$
2。
式 4 与这是矛盾的，这表明压缩映射必须定义在无限集上。上面的论证中用到了这样的事实，即
映射可作用在其定义集合的所有元上。
于是下面的定义就是容易理解的了。
定义 1 压缩映射
设 $A:M\rightarrow M$ 是度量空间 $M$ (度量为 $d$)到它自身的一个映射，若存在一常数 $\lambda\in(0,1)$，使得
\begin{equation}
d(Ax,Ay)\leq \lambda d(x,y),\quad \forall x,y\in M~.
\end{equation}
则称 $A$ 为 $M$ 上的
压缩映射。
定理 1 压缩映射必定连续
压缩映射是个连续映射。
证明：类比函数的连续性，度量空间 $(M,d)$ 到度量空间 $(M',d')$ 上的连续映射可以描述为：对任意正数 $\epsilon$，若存在数 $\delta$，只要 $x$ 满足 $d(x,x_0)<\delta$，就有 $d'(f(x),f(x_0))<\epsilon$，则称映射 $f$ 在点 $x_0$ 连续。下面我们来证明压缩映射确是在度量空间上为连续。
设 $x_0$ 为 $M$ 上任一点，对任意 $\epsilon>0$, 取 $\delta=\epsilon$，于是对任意 $x$, 只要 $d(x,x_0)<\epsilon$，就有
\begin{equation}
d(A x,A x_0)< d(x,x_0)<\epsilon~.
\end{equation}
于是 $d$ 在 $x_0$ 连续，由于 $x_0$ 的任意性，$d$ 是连续映射。
证毕！
1. ^ 表示"距离"的集合的元素应都是可比较的，就是说它是个有序集，不妨将这个集合取作实数集。
2. ^ $A^n x$ 表示把 $x$ 压缩 $n$ 次
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