压缩映射

贡献者：零穹

预备知识　映射，度量空间

　　在正式定义之前，我们先讨论根据 “压缩映射” 这一名词应该怎么定义它。首先，压缩映射是集合到自身的一个映射（因为 “压缩” 就应该是种包含关系）。其次，“压缩” 是指对集合中任意两点，在压缩映射下两点的像点的 “距离” 比两原像更小。这就是说，压缩映射是定义在带有 “距离” 的集合上的，这样的集合便是度量空间。容易验证，满足上面定义的压缩映射 $A$ 的定义集合 $X$ 是个无限集。事实上，若 $X$ 有限，且 $d : X \times X \to R$ 是距离函数¹。我们构建两个序列

\begin{matrix} (1) & {x, A x, A^{2} x, \dots}, {y, A y, A^{2} y, \dots}, \end{matrix}

由于

X

有限，所以必有

m_{1} < n_{1}, m_{2} < n_{2}

存在，使得

A^{m_{1}} x = A^{n_{1}} x, A^{m_{2}} y = A^{n_{2}} y

。那么

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A^{m_{1} + (n_{1} - m_{1}) (n_{2} - m_{2})} x & = \underset{(n_{2} - m_{2}) 个}{\underset{⏟}{A^{(n_{1} - m_{1})} \dots A^{(n_{1} - m_{1})}}} A^{m_{1}} x \\ = \underset{(n_{2} - m_{2} - 1) 个}{\underset{⏟}{A^{(n_{1} - m_{1})} \dots A^{(n_{1} - m_{1})}}} A^{n_{1}} x \\ = \underset{(n_{2} - m_{2} - 1) 个}{\underset{⏟}{A^{(n_{1} - m_{1})} \dots A^{(n_{1} - m_{1})}}} A^{m_{1}} x \\ = A^{m_{1}} x \\ . \end{aligned} \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} A^{m_{2} + (n_{1} - m_{1}) (n_{2} - m_{2})} y = A^{m_{2}} y \\ . \end{array} \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d (A^{(n_{1} - m_{1}) (n_{2} - m_{2})} (A^{m_{1}} x), A^{(n_{1} - m_{1}) (n_{2} - m_{2})} (A^{m_{2}} y)) \\ = d (A^{m_{1}} x, A^{m_{2}} y) . \end{aligned} \end{matrix}

但是

A

是压缩映射要求任意

n > 0

，都有

d (A^{n} x, A^{n} y) < d (x, y)

²。式 4 与这是矛盾的，这表明压缩映射必须定义在无限集上。上面的论证中用到了这样的事实，即映射可作用在其定义集合的所有元上。

　　于是下面的定义就是容易理解的了。

定义 1　压缩映射

　　设 $A : M \to M$ 是度量空间 $M$ (度量为 $d$ )到它自身的一个映射，若存在一常数 $λ \in (0, 1)$ ，使得

\begin{matrix} (5) & d (A x, A y) \leq λ d (x, y), \forall x, y \in M . \end{matrix}

则称

A

为

M

上的压缩映射。

定理 1　压缩映射必定连续

　　压缩映射是个连续映射。

　　 证明：类比函数的连续性，度量空间 $(M, d)$ 到度量空间 $(M^{'}, d^{'})$ 上的连续映射可以描述为：对任意正数 $ϵ$ ，若存在数 $δ$ ，只要 $x$ 满足 $d (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d^{'} (f (x), f (x_{0})) < ϵ$ ，则称映射 $f$ 在点 $x_{0}$ 连续。下面我们来证明压缩映射确是在度量空间上为连续。

　　设 $x_{0}$ 为 $M$ 上任一点，对任意 $ϵ > 0$ , 取 $δ = ϵ$ ，于是对任意 $x$ , 只要 $d (x, x_{0}) < ϵ$ ，就有

\begin{matrix} (6) & d (A x, A x_{0}) < d (x, x_{0}) < ϵ . \end{matrix}

于是

d

在

x_{0}

连续，由于

x_{0}

的任意性，

d

是连续映射。

　　 证毕！

1. ^ 表示"距离"的集合的元素应都是可比较的，就是说它是个有序集，不妨将这个集合取作实数集。
2. ^ $A^{n} x$ 表示把 $x$ 压缩 $n$ 次

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压缩映射

定义 1 压缩映射

定理 1 压缩映射必定连续

定义 1　压缩映射

定理 1　压缩映射必定连续