常微分方程的几何图像

                     

贡献者: 零穹

预备知识 相空间和相流

   这里,将从几何上来理解常微分方程。这需要先引入一些概念。

1. 微分同胚

   以下新名词的理解只需掌握函数可微性的知识。

定义 1 可微函数

   设 $U$ 是矢量空间 $\mathbb R^n$ 上的区域,其上坐标为 $x_1,\cdots,x_n$,称函数

\begin{equation} f:U\rightarrow\mathbb R \end{equation}
是 $U$ 上的可微函数,若 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $r$ 次连续可微的,此处,$1\leq r\leq\infty$。通常人们都不关心 $r$ 的具体值,因此并不指明。若有需要将指出 “$r$ 次可微” 或函数类 $C^r$.

定义 2 可微映射

   设 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中区域,$V$ 是 $\mathbb R^m$ 中区域,其中 $x_1,\cdots,x_n$ 是 $U$ 中的坐标,$y_1,\cdots,y_m$ 是 $V$ 中的坐标,称映射

\begin{equation} f:U\rightarrow V,\quad f(x_1,\cdots,x_n)=(y_1,\cdots,y_m) \end{equation}
可微映射,若 $y_i=f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 是可微函数。其中 $1\leq i\leq m$。

定义 3 微分同胚

   若映射 $f:U\rightarrow V$ 是个双射,且 $f$ 和其逆 $f^{-1}$ 都是可微映射,则称 $f$ 为微分同胚

定义 4 单参数微分同胚群

   设 $M$ 是一流形(可认为是欧氏空间中一区域),若映射

\begin{equation} g:\mathbb R\times M\rightarrow M,\quad g(t,x) =g^t x \end{equation}
满足:1.$g$ 是可微映射;2.族 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是 $M$ 的单参数变换群(定义 1 )。则称 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是 $M$ 的单参数微分同胚群

定理 1 

   若 $\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 是单参数微分同胚群,则对每一 $t$,映射 $g^t$ 是微分同胚。

   证明:因为 $g$ 是可微映射,且

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{g^tx}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\partial g(t,x)}{\partial x} \end{equation}
所以 $g^t$ 对 $x$ 可微。又 $\{g^t\}$ 是单参数变换群,所以对每一 $t$,$g^t$ 是双射,这意味着 $ \frac{\mathrm{d}{g^t x}}{\mathrm{d}{x}} \neq 0$(因为否则 $g^t(x+ \,\mathrm{d}{x} )=g^t(x)$,这违反了 $g^t$ 的单射性)。所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{{g^{t}}^{-1}}}{\mathrm{d}{x}} =\frac{1}{ \frac{\mathrm{d}{g^t x}}{\mathrm{d}{x}} } \end{equation}
可微。

   证毕!

2. 向量场

   常微分方程研究的过程是可微过程,即要求相空间 $M$ 是微分流形,状态随时间的变化由可微函数描述。由于状态 x 经过 t 时间后变为 $g^tx$,要这个有可微函数描述的映射就是 $g(t,x)=g^tx$,由定义 4 ,$\{g^t|t\in\mathbb R\}$ 就是 $M$ 的单参数微分同胚群。因此,以后提到相流 $\{M,\{g^t\}\}$,都有将 $\{g^t\}$ 理解成单参数微分同胚群。

   掌握了以上概念,下面的概念是容易理解的。

定义 5 相速度

   称

\begin{equation} v(x):=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=\tau} g^tx \end{equation}
为相流 $g^t$ 在点 $x\in M$ 的相速度

   由于 $M$ 可看成欧几里得空间中的区域,所以其中的点就有坐标,因此 $ \,\mathrm{d}{g} ^t x$ 有定义,上面的 $v(x)$ 也就有定义。

两曲线的相切

   同样令 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中一区域,其坐标为 $x_1,\cdots,x_n$,每个 $x_i$ 其实都相当于将 $U$ 映射到 $\mathbb R$ 的映射

\begin{equation} x_i:U\rightarrow\mathbb R. \end{equation}
$U$ 上的曲线就是 $t$ 轴上一区间 $I$ 到 $U$ 的连续映射 $\varphi$,通常我们设它连续可微。

定义 6 速度相量

   设 $\varphi$ 是 $U$ 的曲线且 $\varphi(0)=x$,则

\begin{equation} v=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}(x\circ\varphi) \end{equation}
称为曲线在点 $x$ 处的速度向量。其分量为 $v_i=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}(x_i\circ\varphi)$

定义 7 曲线的相切

   若两曲线 $\varphi_1,\varphi_2$ 经过同一点 $x=\varphi_1(0)=\varphi_2(0)$。如果对 $t\rightarrow0$ 时,点 $\varphi_1(t),\varphi_2(t)$ 之间距离是比 $t$ 高阶的无穷小 $o(t)$,则称它们在点 $x$ 相切

定理 2 

   两曲线 $\varphi_1,\varphi_2$ 在点 $x$ 处相切,当且仅当它们的速度向量相同。

   证明:将 $x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t)$ 在 $t=0$ 处展开:

\begin{equation} x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t)=\sum_{i=1}\frac{1}{i!} \left(\left. \frac{\mathrm{d}^{i}{}}{\mathrm{d}{t}^{i}} \right|_{t=0} \left(x\circ\varphi_1-x\circ\varphi_2 \right) \right) t^i \end{equation}
要使 $ \left\lvert x\circ\varphi_1(t)-x\circ\varphi_2(t) \right\rvert =o(t)$ 上式就不能含 $t$ 的一次项,于是只能
\begin{equation} \left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}x\circ\varphi_1=\left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=0}x\circ\varphi_2 \end{equation}

   证毕!

   这一定理意味着相切的曲线对应同一速度向量,而在一点 $x_0$ 处都有一速度矢量与任一矢量 $v$ 对应,只需这样定义曲线 $\varphi$(注意下面 $x(x_0)$ 代表 $x_0$ 的坐标)。

\begin{equation} x\circ\varphi(t)=\int_0^t v \,\mathrm{d}{t} +x(x_0) \end{equation}
也就是说在点 $x$ 的速度矢量 $v$ 相当于过 $x$ 点的曲线的等价类,该等价类中的任一曲线在点 $x$ 的速度矢量都是 $v$。所以有下面的定义

定义 8 切向量

   称过点 $x\in U$ 的曲线的等价类为点 $x$ 的切向量

   由于 $n$ 维空间中的区域 $U$ 上的一点处所有的速度矢量构成一 $n$ 维的矢量空间,所以在 $x$ 点的所有切向量构成的几何就是一个 $n$ 维的矢量空间。

定义 9 切空间

   在点 $x\in U$ 处的所有切向量构成的集合称为 $U$ 在 $x$ 的切空间,记作 $TU_x$

   我们说过,$n$ 维流形 $M$ 相当于 $\mathbb R^n$ 中一区域,那么在它上面任一点 $x$ 都有一切空间 $TM_x$。

定义 10 切丛

   流形 $M$ 上所有点的切空间构成的集合

\begin{equation} TM=\bigcup_{x\in U}TM_x \end{equation}
称为流形 $M$ 的切丛

   流形 $M$ 的向量场就是说对 $M$ 上的每一点都有一向量与之对应,每一点处的向量显然是该点的切向量,它是在 该点的切空间 $TM_x$ 中的,而另一点的向量又在另一点的切空间中的,那么向量场就相当于一个映射 $v$,它把 $x\in M$ 映到 $v(x)\in TM_x$,由于向量场 $v$ 定义域在 $M$,它的像要 $v$ 取遍 $M$,那么像所在的集合就是 $\bigcup_{x\in M} TM_x$。这就是说 $M$ 的向量场相当于是流形 $M$ 到其切丛 $TM$ 的映射。一般情况,我们还要求它是可微映射。

定义 11 向量场

   设 $M$ 是一 $n$ 维流形($\mathbb R^n$ 中的一区域),映射

\begin{equation} v:M\rightarrow\mathbb TM \end{equation}
是可微映射,则称 $v$ 是 $M$ 的一个向量场。它由 $n$ 个可微函数 $v_i:M\rightarrow \mathbb R$ 所指定。

定义 12 奇点

   设 $v$ 是 $M$ 的向量场,且 $v(x)=0$,则称点 $x$ 为向量场 $v$ 的奇点

3. 微分方程

   有了上述诸概念,微分方程的几何意义就是显然的了。

定义 13 微分方程

   设 $U$ 是 $\mathbb R^n$ 中一区域,$v$ 是 $U$ 上的向量场,则称方程

\begin{equation} \dot x=v(x),\quad x\in U \end{equation}
是由向量场 $v$ 确定的微分方程。$U$ 称为该微分方程的相空间

定义 14 微分方程的解

   若从 $t$ 轴的区间 $I$ 到相空间 $U$ 的可微映射 $\varphi$ 满足:

\begin{equation} \left. \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \right|_{t=\tau}\varphi(t)=v(\varphi(\tau)),\quad\forall\tau\in I \end{equation}
则称 $\varphi$ 为微分方程式 14 的解。

定义 15 相曲线

   设 $\varphi$ 是微分方程式 14 的解,则 $\varphi$ 的像称为该微分方程的相曲线

   观察式 6 式 15 ,可以发现:若 $x=\varphi(t_0)$, 那么若求得了微分方程满足条件 $x=\varphi(t_0)$ 的解 $\varphi(t)$,那么 $\varphi(t)$ 就是相流 $\{g^t\}$ 在点 $x$ 处的运动,而向量场 $v$ 对应相流 $\{g^t\}$ 的相速度。


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