可微映射的导数
贡献者: 零穹
可微映射(定义 1 ) 将 空间的区域 映射到 空间区域 ,于是就将 上的曲线(子节 2 ) 映射到 上的曲线 ,可微性意味着这一对应是一一的。而切向量是曲线的等价类(定义 8 ),于是曲线 各自对应一切向量 。这就是说在可微映射 作用下, 中的切向量 和 中的切向量 对应,这一对应是一一的,因为若 ,则
描述由可微映射 导致的 中的切向量和 中的切向量的这一对应关系的双射称为 的导数,记为 。由于 (
定义 9 ),所以 和 就是 的导数在点 的定义域和值域。
定义 1 可微映射的导数
设 是可微映射,称映射 为映射 在点 的导数,若 把过点 的任意曲线 ()的速度向量(定义 6 )映到过点 的曲线 的速度向量,即
定理 1 导数是线性映射
可微映射的导数是线性映射。
证明:
证毕!
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