可微映射的导数

                     

贡献者: 零穹

预备知识 常微分方程的几何图像

   可微映射(定义 1 )$f:U\rightarrow V$ 将 $\mathbb R^n$ 空间的区域 $U$ 映射到 $\mathbb R^m$ 空间区域 $V$,于是就将 $U$ 上的曲线(子节 2 )$\varphi$ 映射到 $V$ 上的曲线 $f(\varphi)$,可微性意味着这一对应是一一的。而切向量是曲线的等价类(定义 8 ),于是曲线 $\varphi,f(\varphi)$ 各自对应一切向量 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} , \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} $。这就是说在可微映射 $f$ 作用下,$U$ 中的切向量 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} $ 和 $V$ 中的切向量 $ \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} $ 对应,这一对应是一一的,因为若 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} $,则

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{f(\varphi_1(t))}}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{f(\varphi_2(t))}}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}
描述由可微映射 $f$ 导致的 $U$ 中的切向量和 $V$ 中的切向量的这一对应关系的双射称为 $f$ 的导数,记为 $f_*$。由于 $ \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} \in TU_{\varphi(t)} , \frac{\mathrm{d}{f(\varphi)}}{\mathrm{d}{t}} \in TV_{f(\varphi(t))}$(定义 9 ),所以 $TU_{\varphi(t)}$ 和 $TV_{f(\varphi(t))}$ 就是 $f$ 的导数在点 $\varphi(t)$ 的定义域和值域。

定义 1 可微映射的导数

   设 $f:U\rightarrow V$ 是可微映射,称映射 $f_*|_x:TU_x\rightarrow TU_{f(x)}$ 为映射 $f$ 在点 $x$ 的导数,若 $f_*|_x$ 把过点 $x$ 的任意曲线 $\varphi$($\varphi(0)=x$)的速度向量(定义 6 )映到过点 $f(x)$ 的曲线 $f\circ\varphi$ 的速度向量,即

\begin{equation} f_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi)~. \end{equation}

定理 1 导数是线性映射

   可微映射的导数是线性映射。

   证明:

\begin{equation} \begin{aligned} &f_*|_x(a \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0}+b \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})\\ &= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ(a\varphi_1+b\varphi_2))\\ &=\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \left(a \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}+b \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0} \right) \\ &=a\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_1}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}+b\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i} \Bigg|_{x} \frac{\mathrm{d}{\varphi^i_2}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}\\ &=a \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi_1)+b \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \Bigg|_{t=0}(f\circ\varphi_2)\\ &=af_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})+bf_*|_x( \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=0})~. \end{aligned} \end{equation}

   证毕!


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