拉莫尔进动

贡献者： lrqlrqlrq; addis

预备知识　磁旋比、玻尔磁子

　　 拉莫尔进动（Larmor precession）是围绕其外部磁场的磁矩所做的进动。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\gamma \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}

其中 $\gamma$ 为磁旋比，$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 为力矩，$ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 为磁偶极矩，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是角动量矢量。

未完成：经典电磁学版本的拉莫尔进动。使用式 11 和式 2 。

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = - \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $。

　　所以 $$\Omega = -\frac{\mu B}{L} = -\gamma B~.$$ 若电荷为负，$\mu$ 和 $L$ 符号相反，那么拉莫进动就是逆时针。

1. 自旋粒子的拉莫尔进动

　　假定有一个自旋为 $1/2$ 的粒子静止处于均匀磁场：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =B_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~ \end{equation}

静止在磁场中的带点自旋粒子的哈密顿为：

\begin{equation} H = -\gamma \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot S~. \end{equation}

由此可得：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} = -\gamma B_0S_z=-\frac{\gamma B_0\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} ~. \end{equation}

注意到 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 有着和 $S_z$ 相同的本征矢：

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\chi_+ = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} ~,\quad E_+=-(\gamma B_0\hbar)/2\\ &\chi_- = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} ~,\quad E_-=+(\gamma B_0\hbar)/2~, \end{aligned}\right. \end{equation}

显然和经典情况一致，在偶极矩平行于磁场时能量时最低的。

　　由于哈密顿量和时间无关，因此含时薛定谔方程为：

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \chi}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{H}} \chi~. \end{equation}

它的一般解可以被表示为定态的线性组合：

\begin{equation} \chi(t)=a\chi_+ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_+t/\hbar}+b\chi_- \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_-t/\hbar}= \begin{pmatrix}a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\b \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~, \end{equation}

其中的常数 $a,b$ 是由初始条件所确定的：

\begin{equation} \chi(0)= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} ~. \end{equation}

注意到这里 $|a|^2+|b|^2=1$，为不失一般性，我们将：

\begin{equation} a= \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) ~,\qquad b= \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ~, \end{equation}

其中的 $\alpha$ 代表着一个固定的角度。这样结合式 7 和式 9 可得：

\begin{equation} \chi(t)= \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

为了让我们对这一态有直观的认知，我们来计算 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的期待值和时间的关系：

\begin{equation} \begin{aligned} \langle S_x\rangle &= \chi(t)^\dagger \boldsymbol{\mathbf{S}} _x \chi(t)\\ &=\left( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2} \ \ \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\right)\times\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} ~, \end{aligned} \end{equation}

化简可得：

\begin{equation} \langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\gamma B_0t\right) ~. \end{equation}

类似的我们还有：

\begin{equation} \langle S_y\rangle = -\frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \sin\left(\gamma B_0t\right) ~,\qquad \langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2} \cos\left(\alpha\right) ~. \end{equation}

显然 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在 $z$ 轴之间的夹角 $\alpha$ 是不变的。并且和经典情况一样 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 绕着磁场的方向以拉莫尔频率 $\omega$ 进动

\begin{equation} \omega= -\gamma B_0~. \end{equation}

这和经典模型中的结论一样。

　　如下图所示：

图 1：$\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在均匀磁场中做进动

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。