拉莫尔进动

贡献者： lrqlrqlrq; addis

预备知识　磁旋比、玻尔磁子

　　 拉莫尔进动（Larmor precession）是围绕其外部磁场的磁矩所做的进动。

\begin{matrix} (1) & τ = μ \times B = γ L \times B, \end{matrix}

其中

γ

为磁旋比，

τ

为力矩，

μ

为磁偶极矩，

L

是角动量矢量。

未完成：经典电磁学版本的拉莫尔进动。使用式 11 和式 2 。

　　 $Ω \times L = τ = - B \times μ$ 。

　　所以 $Ω = - \frac{μ B}{L} = - γ B .$ 若电荷为负， $μ$ 和 $L$ 符号相反，那么拉莫进动就是逆时针。

1. 自旋粒子的拉莫尔进动

　　假定有一个自旋为 $1 / 2$ 的粒子静止处于均匀磁场：

\begin{matrix} (2) & B = B_{0} \hat{z} \end{matrix}

静止在磁场中的带点自旋粒子的哈密顿为：

\begin{matrix} (3) & H = - γ B \cdot S . \end{matrix}

由此可得：

\begin{matrix} (4) & H = - γ B_{0} S_{z} = - \frac{γ B_{0} ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

注意到

H

有着和

S_{z}

相同的本征矢：

\begin{matrix} (5) & {\begin{aligned} χ_{+} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}), E_{+} = - (γ B_{0} ℏ) / 2 \\ χ_{-} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}), E_{-} = + (γ B_{0} ℏ) / 2, \end{aligned} \end{matrix}

显然和经典情况一致，在偶极矩平行于磁场时能量时最低的。

　　由于哈密顿量和时间无关，因此含时薛定谔方程为：

\begin{matrix} (6) & i ℏ \frac{\partial χ}{\partial t} = H χ . \end{matrix}

它的一般解可以被表示为定态的线性组合：

\begin{matrix} (7) & χ (t) = a χ_{+} e^{- i E_{+} t / ℏ} + b χ_{-} e^{- i E_{-} t / ℏ} = (\begin{matrix} a e^{i γ B_{0} t / 2} \\ b e^{- i γ B_{0} t / 2} \end{matrix}), \end{matrix}

其中的常数

a, b

是由初始条件所确定的：

\begin{matrix} (8) & χ (0) = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) . \end{matrix}

注意到这里

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

，为不失一般性，我们将：

\begin{matrix} (9) & a = \cos (\frac{α}{2}), b = \sin (\frac{α}{2}), \end{matrix}

其中的

α

代表着一个固定的角度。这样结合式 7 和式 9 可得：

\begin{matrix} (10) & χ (t) = (\begin{matrix} \cos (\frac{α}{2}) e^{i γ B_{0} t / 2} \\ \sin (\frac{α}{2}) e^{- i γ B_{0} t / 2} \end{matrix}) . \end{matrix}

为了让我们对这一态有直观的认知，我们来计算

S

的期待值和时间的关系：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} ⟨ S_{x} ⟩ & = χ (t)^{†} S_{x} χ (t) \\ = (\cos (\frac{α}{2}) e^{i γ B_{0} t / 2} \sin (\frac{α}{2}) e^{- i γ B_{0} t / 2}) \times \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} \cos (\frac{α}{2}) e^{i γ B_{0} t / 2} \\ \sin (\frac{α}{2}) e^{- i γ B_{0} t / 2} \end{array}), \end{aligned} \end{matrix}

化简可得：

\begin{matrix} (12) & ⟨ S_{x} ⟩ = \frac{ℏ}{2} \sin (α) \cos (γ B_{0} t) . \end{matrix}

类似的我们还有：

\begin{matrix} (13) & ⟨ S_{y} ⟩ = - \frac{ℏ}{2} \sin (α) \sin (γ B_{0} t), ⟨ S_{z} ⟩ = \frac{ℏ}{2} \cos (α) . \end{matrix}

显然

⟨ S ⟩

在

z

轴之间的夹角

α

是不变的。并且和经典情况一样

⟨ S ⟩

绕着磁场的方向以拉莫尔频率

ω

进动

\begin{matrix} (14) & ω = - γ B_{0} . \end{matrix}

这和经典模型中的结论一样。

　　如下图所示：

图 1：

⟨ S ⟩

在均匀磁场中做进动

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