拉莫尔进动

                     

贡献者: lrqlrqlrq

预备知识 自旋角动量

   拉莫尔(Larmor)进动是围绕其外部磁场的磁矩所做的进动.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\gamma \boldsymbol{\mathbf{J}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
其中 $\gamma$ 为磁旋比 ,$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 为力矩,$ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 为磁偶极矩,$ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 是角动量矢量.

1. 自旋粒子的拉莫尔进动

   假定有一个自旋为 $1/2$ 的粒子静止处于均匀磁场:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =B_0\hat{z} \end{equation}
静止在磁场中的带点自旋粒子的哈密顿为:
\begin{equation} H = -\gamma \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot S \end{equation}
由此可得:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} = -\gamma B_0S_z=-\frac{\gamma B_0\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \end{equation}
注意到 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 有着和 $S_z$ 相同的本征矢:
\begin{equation} \chi_+ = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} :E_+=-(\gamma B_0\hbar)/2; \ \chi_- = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} :E_-=+(\gamma B_0\hbar)/2; \end{equation}
显然和经典情况一致,在偶极矩平行于磁场时能量时最低的.

   由于哈密顿量和时间无关,因此含时薛定谔方程为:

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \chi}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{H}} \chi \end{equation}
它的一般解可以被表示为定态的线性组合:
\begin{equation} \chi(t)=a\chi_+ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_+t/\hbar}+b\chi_- \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_-t/\hbar}= \begin{pmatrix}a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\b \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} \end{equation}
其中的常数 $a,b$ 是由初始条件所确定的:
\begin{equation} \chi(0)= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{equation}
注意到这里 $|a|^2+|b|^2=1$,为不失一般性,我们将:
\begin{equation} a= \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) ;\ b= \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \end{equation}
其中的 $\alpha$ 代表着一个固定的角度.这样结合 式 7 式 9 可得:
\begin{equation} \chi(t)= \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} \end{equation}
为了让我们对这一态有直观的认知,我们来计算 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的期待值和时间的关系:
\begin{equation} \langle S_x\rangle = \chi(t)^\dagger \boldsymbol{\mathbf{S}} _x \chi(t)=\left( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2} \ \ \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\right)\times\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \gamma B_0t/2}\end{pmatrix} \end{equation}
化简可得:
\begin{equation} \langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\gamma B_0t\right) \end{equation}
类似的我们还有:
\begin{equation} \langle S_y\rangle = -\frac{\hbar}{2} \sin\left(\alpha\right) \sin\left(\gamma B_0t\right) ;\ \langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2} \cos\left(\alpha\right) \end{equation}
显然 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在 $z$ 轴之间的夹角 $\alpha$ 是不变的.并且和经典情况一样 $\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 绕着磁场的方向以拉莫尔频率 $\omega$ 进动
\begin{equation} \omega=\gamma B_0 \end{equation}
如下图所示:

图
图 1:$\langle \boldsymbol{\mathbf{S}} \rangle$ 在均匀磁场中做进动

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