算符的指数函数 波函数传播子

             

预备知识 一阶线性常微分方程组

1. 不含时,有限维的情况

   我们可以证明对任意厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{U}} (t) = \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $ 都是酉矩阵,成为传播子(propagator).要证明一个矩阵是酉矩阵,只需要证明

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \end{equation}
由 $ \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $ 的级数定义以及厄米算符的性质可得 $ \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) ^\dagger = \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) $,所以
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{U}} (t) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{U}} (t) = \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{H}} t\right) = \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{0}} \right) = \boldsymbol{\mathbf{I}} \end{equation}
注意只有 $[ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} ] = 0$ 时才有
\begin{equation} \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) = \exp\left( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) \end{equation}

2. 不含时,无穷维的情况

   算符和有限维矩阵的性质往往有相同之处,然而当拓展到无穷维的情况时往往就需要高级得多的数学(泛函分析),我们暂不详细介绍这些数学,而是直接通过类比给出结论.

   将 “一阶线性常微分方程组” 中式 1 拓展成偏微分方程1,令 $A$ 为算符.

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{t}} f(x, y, \dots, t) = A f(x, y, \dots, t) \end{equation}
那么当 $A$ 不含 $t$ 时,有
\begin{equation} f(x, y, \dots, t) = \exp\left(A t\right) f(x, y, \dots, 0) \end{equation}
若 $A$ 含有 $t$,形式解式 7 变为
\begin{equation} f(x, y, \dots, t) = \hat{\mathcal T} \exp \left[\int_0^ t A(t') \,\mathrm{d}{t} ' \right] f(x, y, \dots, t) \end{equation}

3. 含时薛定谔方程的解

   我们把哈密顿算符 $H$ 看作是无穷维矩阵,薛定谔方程可记为与一阶线性常微分方程组(式 1 )相同的形式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = - \mathrm{i} H \left\lvert \psi(t) \right\rangle \end{equation}
当哈密顿算符 $H$ 不含时,解为(根据式 2
\begin{equation} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = \exp\left(- \mathrm{i} H t\right) \left\lvert \psi(0) \right\rangle \end{equation}
当哈密顿算符含时,形式上可以把解记为
\begin{equation} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = \hat{\mathcal T} \exp\left(\int_0^ t H(t') \,\mathrm{d}{t} '\right) \left\lvert \psi(0) \right\rangle \end{equation}
我们把以上的 $\exp$ 就是波函数的传播子,其定义依然是使用指数函数的级数展开.


1. ^ 形象理解:将矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看作有无穷多个元,且取值连续,就成了 $f(x, t)$

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