算符的指数函数、波函数传播子

贡献者： addis

预备知识　一阶线性常微分方程组

1. 不含时，有限维的情况

　　我们可以证明对任意厄米矩阵 $H$ ， $U (t) = \exp (- i H t)$ 都是酉矩阵，称为传播子（propagator）。要证明一个矩阵是酉矩阵，只需要证明

\begin{matrix} (1) & U^{†} U = I . \end{matrix}

由

\exp (- i H t)

的级数定义以及厄米算符的性质可得

\exp {(- i H t)}^{†} = \exp (i H t)

，所以

\begin{matrix} (2) & U (t)^{†} U (t) = \exp (i H t) \exp (- i H t) = \exp (0) = I, \end{matrix}

注意只有

[A, B] = 0

时才有

\begin{matrix} (3) & \exp (A) \exp (B) = \exp (A + B) . \end{matrix}

2. 不含时，无穷维的情况

　　算符和有限维矩阵的性质往往有相同之处，然而当拓展到无穷维的情况时往往就需要高级得多的数学（泛函分析），我们暂不详细介绍这些数学，而是直接通过类比给出结论。

　　将 “一阶线性常微分方程组” 中式 1 拓展成偏微分方程¹，令 $A$ 为算符。

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial}{\partial t} f (x, y, \dots, t) = A f (x, y, \dots, t) . \end{matrix}

那么当

A

不含

t

时，有

\begin{matrix} (5) & f (x, y, \dots, t) = \exp (A t) f (x, y, \dots, 0) . \end{matrix}

若

A

含有

t

，形式解式 9 变为

\begin{matrix} (6) & f (x, y, \dots, t) = \hat{T} \exp [\int_{0}^{t} A (t^{'}) d t^{'}] f (x, y, \dots, 0) . \end{matrix}

3. 含时薛定谔方程的解

　　我们把哈密顿算符 $H$ 看作是无穷维矩阵，薛定谔方程可记为与一阶线性常微分方程组（式 1 ）相同的形式

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = - i H | ψ (t) ⟩ . \end{matrix}

当哈密顿算符

H

不含时，解为（根据式 2 ）

\begin{matrix} (8) & | ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t) | ψ (0) ⟩, \end{matrix}

当哈密顿算符含时，形式上可以把解记为

\begin{matrix} (9) & | ψ (t) ⟩ = \hat{T} \exp (\int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'}) | ψ (0) ⟩ . \end{matrix}

我们把以上的

\exp

就是波函数的传播子，其定义依然是使用指数函数的级数展开。

1. ^ 形象理解：将矢量 $v$ 看作有无穷多个元，且取值连续，就成了 $f (x, t)$

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