LR 电路

贡献者： ACertainUser

预备知识　基尔霍夫电路定律，电感

　　¹LR 电路指由电阻-电感组成的电路。

1. 充电

　　假设原先电路中电流为 $0$. $t=0$ 时刻，我们将一电动势为 $\mathscr{E}_0$ 的电源连入 LR 电路。

图 1：充电电路图

　　对该电路运用基尔霍夫第二定律。别忘了，电感的两端由于自感现象将会有一个反向电动势 $U_{ind}$。 $$ \mathscr{E}_0 - U_{ind} - IR = 0~. $$ 即

\begin{equation} \mathscr{E}_0 - L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} - IR = 0~. \end{equation}

这是一个简单的微分方程，解得

\begin{equation} I = \frac{\mathscr{E}_0}{R} (1-e^{-\frac{R}{L}t})~. \end{equation}

图 2：充电时 $I-t$ 关系示意图

　　可见，当时间足够久后，$I\to\frac{\mathscr{E_0}}{R}$.

　　从能量角度看，$U_{ind}$ 该项意味着部分能量被电感转换为磁场能，而 $IR$ 则意味着其余能量被电阻转换为热能等。

2. 放电

　　假设 $t=0$ 时刻，LR 电路中的电流为 $I_0$。现在我们撤去电源并以导线代替，此时电路中只有电阻和电感。

图 3：放电电路图 2

　　从能量角度⚡️看，这相当于电感中的磁场能被放出，并被电阻转换为热能等。某种意义上，此时的电感就相当于一个小 “电池”，他以磁场能的形式存储了一些可被利用的能量。

　　分析方法如同上文所述，这相当式 1 中 $\mathscr{E}_0=0$ 的情况：

\begin{equation} - L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} - IR = 0~. \end{equation}

解得

\begin{equation} I = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}~. \end{equation}

图 4：放电时 $I-t$ 关系示意图

1. ^ 本文参考了哈里德的《物理学基础》。

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