Y-Δ 变换、星角变换

贡献者： coppersoulfate; addis

本文处于草稿阶段。

　　¹三角形转星型电阻网络。可以简化一些复杂的电阻网络。

图 1：Δ 型（左）和 Y 型（右）电阻网络

Δ 转 Y

\begin{matrix} (1) & R_{1} = \frac{R_{b} R_{c}}{R_{s}}, R_{2} = \frac{R_{a} R_{c}}{R_{s}}, R_{3} = \frac{R_{a} R_{b}}{R_{s}}, \end{matrix}

其中

R_{s} = R_{a} + R_{b} + R_{c}

。

Y 转 Δ

\begin{matrix} (2) & R_{a} = \frac{R_{0}}{R_{1}}, R_{b} = \frac{R_{0}}{R_{2}}, R_{c} = \frac{R_{0}}{R_{3}}, \end{matrix}

其中

R_{0} = R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}

。

1. 证明

　　未完成。

简单的推导

　　在三端网络中有一端不接入电路时，应满足两端之间电阻相等。即：

\begin{matrix} (3) & {\begin{matrix} R_{1} + R_{2} = \frac{1}{\frac{1}{R_{c}} + \frac{1}{R_{a} + R_{b}}} \\ R_{2} + R_{3} = \frac{1}{\frac{1}{R_{a}} + \frac{1}{R_{b} + R_{c}}} \\ R_{3} + R_{1} = \frac{1}{\frac{1}{R_{b}} + \frac{1}{R_{c} + R_{a}}} \end{matrix}, \end{matrix}

　　解以上方程即可得到 Y-Δ 变换。

比较严谨的证明

　　要使得 Y-Δ网络之间等价，应使得在三端接入任意电压时有对应一致的电流。

图 2：等效图

　　电流的正方向按图 2 定义。则应有：

\begin{matrix} (4) & \sum i = 0 . \end{matrix}

在Δ网络中有

\begin{matrix} (5) & i_{A B} = \frac{U_{A B}}{R_{A B}}, i_{C A} = \frac{U_{C A}}{R_{C A}}, i_{A} = i_{A B} - i_{C A}, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (6) & i_{A} = \frac{U_{A B}}{R_{A B}} - \frac{U_{C A}}{R_{C A}} . \end{matrix}

在 Y 网络中有

\begin{matrix} (7) & i_{a} R_{a} - i_{b} R_{b} = U_{a b}, i_{c} R_{c} - i_{a} R_{a} = U_{c a}, \end{matrix}

并利用式 4 解得

\begin{matrix} (8) & i_{a} = \frac{R_{c}}{R_{0}} U_{a b} - \frac{R_{b}}{R_{0}} U_{c a} . \end{matrix}

其中

R_{0} = R_{a} R_{b} + R_{b} R_{c} + R_{c} R_{a}

。利用定义

U_{a b} = U_{A B}, U_{c a} = U_{C A}

时，

i_{a} = i_{A}

，有

\begin{matrix} (9) & \frac{R_{c}}{R_{0}} U_{a b} - \frac{R_{b}}{R_{0}} U_{c a} = \frac{U_{A B}}{R_{A B}} - \frac{U_{C A}}{R_{C A}} . \end{matrix}

要求上式系数对应相等，则

\begin{matrix} (10) & R_{A B} = \frac{R_{0}}{R_{c}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & R_{C A} = \frac{R_{0}}{R_{b}}, \end{matrix}

同样可得

\begin{matrix} (12) & R_{B C} = \frac{R_{0}}{R_{a}} . \end{matrix}

其中

R_{0} = R_{a} R_{b} + R_{b} R_{c} + R_{c} R_{a}

。式 10 与式 12 相除有

\begin{matrix} (13) & R_{c} = \frac{R_{B C}}{R_{A B}} R_{a} . \end{matrix}

式 11 与式 12 相除有

\begin{matrix} (14) & R_{b} = \frac{R_{B C}}{R_{C A}} R_{a} . \end{matrix}

以上二式代入式 10 中得

\begin{matrix} (15) & R_{a} = \frac{R_{A B} R_{C A}}{R_{A B} + R_{B C} + R_{C A}}, \end{matrix}

同样可得其他两组关系。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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