Y-Δ 变换、星角变换

贡献者： coppersoulfate; addis

本文处于草稿阶段。

　　¹三角形转星型电阻网络。可以简化一些复杂的电阻网络。

图 1：Δ 型（左）和 Y 型（右）电阻网络

Δ 转 Y

\begin{equation} R_1 = \frac{R_b R_c}{R_s} ~,\qquad R_2 = \frac{R_a R_c}{R_s} ~,\qquad R_3 = \frac{R_a R_b}{R_s}~, \end{equation}

其中 $R_s = R_a + R_b + R_c$。

Y 转 Δ

\begin{equation} R_a = \frac{R_0}{R_1}~, \qquad R_b = \frac{R_0}{R_2} ~,\qquad R_c = \frac{R_0}{R_3}~, \end{equation}

其中 $R_0 = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1$。

1. 证明

　　未完成。

简单的推导

　　在三端网络中有一端不接入电路时，应满足两端之间电阻相等。即：

\begin{equation} \left\{\begin{matrix}R_1+R_2=\frac{1}{\frac{1}{R_c}+\frac{1}{R_a+R_b}}\\R_2+R_3=\frac{1}{\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_b+R_c}}\\R_3+R_1=\frac{1}{\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_c+R_a}}\end{matrix}\right.~, \end{equation}

　　解以上方程即可得到 Y-Δ 变换。

比较严谨的证明

　　要使得 Y-Δ网络之间等价，应使得在三端接入任意电压时有对应一致的电流。

图 2：等效图

　　电流的正方向按图 2 定义。则应有：

\begin{equation} \sum{i}=0~. \end{equation}

在Δ网络中有

\begin{equation} i_{AB}=\frac{U_{AB}}{R_{AB}},i_{CA}=\frac{U_{CA}}{R_{CA}},i_A=i_{AB}-i_{CA}~, \end{equation}

即

\begin{equation} i_A=\frac{U_{AB}}{R_{AB}}-\frac{U_{CA}}{R_{CA}}~. \end{equation}

在 Y 网络中有

\begin{equation} i_a R_a-i_b R_b=U_{ab},i_c R_c-i_a R_a=U_{ca}~, \end{equation}

并利用式 4 解得

\begin{equation} i_a=\frac{R_c}{R_0}U_{ab}-\frac{R_b}{R_0}U_{ca}~. \end{equation}

其中 $R_0 = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$。利用定义 $U_{ab}=U_{AB},U_{ca}=U_{CA}$ 时，$i_a=i_A$，有

\begin{equation} \frac{R_c}{R_0}U_{ab}-\frac{R_b}{R_0}U_{ca}=\frac{U_{AB}}{R_{AB}}-\frac{U_{CA}}{R_{CA}}~. \end{equation}

要求上式系数对应相等，则

\begin{equation} R_{AB}=\frac{R_0}{R_c}~, \end{equation}

\begin{equation} R_{CA}=\frac{R_0}{R_b}~, \end{equation}

同样可得

\begin{equation} R_{BC}=\frac{R_0}{R_a}~. \end{equation}

其中 $R_0 = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$。式 10 与式 12 相除有

\begin{equation} R_c=\frac{R_{BC}}{R_{AB}}R_a~. \end{equation}

式 11 与式 12 相除有

\begin{equation} R_b=\frac{R_{BC}}{R_{CA}}R_a~. \end{equation}

以上二式代入式 10 中得

\begin{equation} R_a=\frac{R_{AB} R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}~, \end{equation}

同样可得其他两组关系。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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