Y-Δ 变换 星角变换

             

  • 本词条处于草稿阶段.

  1三角形转星型电阻网络.可以简化一些复杂的电阻网络.

图
图 1:Δ 型(左)和 Y 型(右)电阻网络

Δ 转 Y

\begin{equation} R_1 = \frac{R_b R_c}{R_s} \qquad R_2 = \frac{R_a R_c}{R_s} \qquad R_3 = \frac{R_a R_b}{R_s} \end{equation}
其中 $R_s = R_a + R_b + R_c$.

Y 转 Δ

\begin{equation} R_a = \frac{R_0}{R_1} \qquad R_b = \frac{R_0}{R_2} \qquad R_c = \frac{R_0}{R_3} \end{equation}
其中 $R_0 = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1$.

1. 证明

   未完成.

简单的推导

   在三端网络中有一端不接入电路时,应满足两端之间电阻相等.即:

\begin{equation} \left\{\begin{matrix}R_1+R_2=\frac{1}{\frac{1}{R_c}+\frac{1}{R_a+R_b}}\\R_2+R_3=\frac{1}{\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_b+R_c}}\\R_3+R_1=\frac{1}{\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_c+R_a}}\end{matrix}\right. \end{equation}

   解以上方程即可得到 Y-Δ 变换.

比较严谨的证明

   要使得 Y-Δ网络之间等价,应使得在三端接入任意电压时有对应一致的电流.

图
图 2:等效图

   电流的正方向按图 2 定义.则应有:

\begin{equation} \sum{i}=0 \end{equation}
在Δ网络中有
\begin{equation} i_{AB}=\frac{U_{AB}}{R_{AB}},i_{CA}=\frac{U_{CA}}{R_{CA}},i_A=i_{AB}-i_{CA} \end{equation}
\begin{equation} i_A=\frac{U_{AB}}{R_{AB}}-\frac{U_{CA}}{R_{CA}} \end{equation}
在 Y 网络中有
\begin{equation} i_a R_a-i_b R_b=U_{ab},i_c R_c-i_a R_a=U_{ca} \end{equation}
并利用式 4 解得
\begin{equation} i_a=\frac{R_c}{R_0}U_{ab}-\frac{R_b}{R_0}U_{ca} \end{equation}
其中 $R_0 = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$. 利用定义 $U_{ab}=U_{AB},U_{ca}=U_{CA}$ 时,$i_a=i_A$,有
\begin{equation} \frac{R_c}{R_0}U_{ab}-\frac{R_b}{R_0}U_{ca}=\frac{U_{AB}}{R_{AB}}-\frac{U_{CA}}{R_{CA}} \end{equation}
要求上式系数对应相等,则
\begin{equation} R_{AB}=\frac{R_0}{R_c} \end{equation}
\begin{equation} R_{CA}=\frac{R_0}{R_b} \end{equation}
同样可得
\begin{equation} R_{BC}=\frac{R_0}{R_a} \end{equation}
其中 $R_0 = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a$. 式 10 式 12 相除有
\begin{equation} R_c=\frac{R_{BC}}{R_{AB}}R_a \end{equation}
式 11 式 12 相除有
\begin{equation} R_b=\frac{R_{BC}}{R_{CA}}R_a \end{equation}
以上二式代入式 10 中得
\begin{equation} R_a=\frac{R_{AB} R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}} \end{equation}
同样可得其他两组关系.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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