电感

贡献者： addis

本文需要更多讲解，便于帮助理解。

预备知识　电阻，安培环路定律，法拉第电磁感应定律

　　 电感器（inductor）是电路中的一个元件，当通过它的电流变化时，它的两端会产生反向电动势从而抵抗电流的改变。我们用物理量电感来描述电感器的这种性质的强弱，记为 $L$，定义如下

\begin{equation} U = L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}

也就是说电势差与电流的时间导数成正比，比例系数就是电感。小时百科中电流和电压的方向可以按照被动符号规定（子节 1 ），即先规定一个正方向，电流延该方向为正，反之为负，电势延该方向下降为正，反之为负。

1. 简单的电感模型

图 1：左：各种电感器，右：在电路图中的符号

　　电感器的基本原理是利用线圈的自感，即当线圈中有电流通过时，会在它的内部及周围产生与电流大小成正比的磁场。当电流发生改变时，这个磁场也随之改变，而根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场又会反过来作用在线圈上产生电动势。

　　由无限长螺线管例子（例 2 ），单位长度线圈数为 $n$，长度为 $l$，忽略边缘效应的螺线管，内部磁场强度为

\begin{equation} Bl = \mu_0nlI \Rightarrow B = \mu_0nI~. \end{equation}

磁通量为

\begin{equation} \Phi = BS = \mu_0nSI~. \end{equation}

感生电动势为

\begin{equation} U = nL \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = \mu_0n^2lS \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} ~, \end{equation}

令电感为

\begin{equation} L = \mu_0n^2lS~. \end{equation}

有

\begin{equation} U = L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}

2. 电感储存的能量

　　与电容类似，电感器中也可以储存能量。

\begin{equation} E_B = \frac{1}{2}L I^2~. \end{equation}

推导

\begin{equation} E_B = -\int_0^{I_m} U I \,\mathrm{d}{t} = \int_0^{I_m} L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} I \,\mathrm{d}{t} = L\int_0^{I_m} I \,\mathrm{d}{I} = \frac{1}{2} L I^2~. \end{equation}

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