电感

             

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预备知识 电阻,安培环路定理,法拉第电磁感应定律

   电感器(inductor)是电路中的一个元件,当通过它的电流变化时,它的两端会产生反向电动势从而抵抗电流的改变.我们用物理量电感来描述电感器的这种性质的强弱,记为 $L$,定义如下

\begin{equation} U = L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
也就是说反向电动势与电流的时间导数成正比,比例系数就是电感.

   本书中电流和电压的方向可以按照被动符号规定(子节 1 ),即先规定一个正方向,电流延该方向为正,反之为负,电势延正方向下降为正,反之为负.

1. 简单的电感模型

图
图 1:左:各种电感器,右:在电路图中的符号

   电感器的基本原理是利用线圈的自感,即当线圈中有电流通过时,会在它的内部及周围产生与电流大小成正比的磁场.当电流发生改变时,这个磁场也随之改变,而根据法拉第电磁感应定律,变化的磁场又会反过来作用在线圈上产生电动势.

   由无限长螺线管例子(例 2 ),单位长度线圈数为 $n$,长度为 $l$,忽略边缘效应的螺线管,内部磁场强度为

\begin{equation} Bl = \mu_0nlI \Rightarrow B = \mu_0nI \end{equation}
磁通量为
\begin{equation} \Phi = BS = \mu_0nSI \end{equation}
感生电动势为
\begin{equation} U = nL \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = \mu_0n^2lS \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
令电感为
\begin{equation} L = \mu_0n^2lS \end{equation}
\begin{equation} U = L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}

2. 电感储存的能量

   与电容类似,电感器中也可以储存能量.

\begin{equation} E_B = \frac{1}{2}L I^2 \end{equation}

推导

\begin{equation} E_B = -\int_0^{I_m} U I \,\mathrm{d}{t} = \int_0^{I_m} L \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} I \,\mathrm{d}{t} = L\int_0^{I_m} I \,\mathrm{d}{I} = \frac{1}{2} L I^2 \end{equation}

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