贡献者： addis; ACertainUser; FFjet
1电阻器（resistor）是电路中常见的元件。该元件通常由一个参数，电阻（resistance），来衡量。在不至于混淆的情况下，也可以把电阻器简称为电阻。
理想情况下，电阻器符合欧姆定律（Ohm's law）
\begin{equation}
U = IR~,
\end{equation}
其中 $U$ 是电阻器两端的电压（电流流入的一端电势较高），$I$ 是流经电阻器的电流，$R$ 是电阻器的电阻（$R > 0$）。
图 1：电阻器在电路中的符号
1. 被动符号规定
在电路中，一种常见的符号规定是给电路中的每一条支路预先定义一个正方向，若电流延正方向流动，那么电流为正，反之为负。若电势延正方向降低，则电压为正，反之为负。这种规定叫做被动符号规定（passive sign convention），因为当功率 $W = IU$ 为正时，元件从电路中获取能量。
欧姆定律的式 1 可以按被动符号规定来理解：如图 2 ，如果规定电阻所在的电路支路从左到右为正，那么当电流从左向右流时，$I > 0$，从右到左时 $I < 0$；电压 $U_{AB} = U_A - U_B$，即当电势左高右低时取正值，反之取负值。
图 2：符号规范
由于 $R > 0$，所以根据式 1 ，$I, U$ 的符号始终相同，所以电阻从电路中获得的功率为 $W = IU > 0$。
2. 电阻率
作为一个理想模型，柱形（例如长方体，圆柱体）电阻器的电阻为
\begin{equation}
R = \frac{\varrho L}{S} ~.
\end{equation}
其中 $S$ 为电阻的横截面积，$L$ 为电阻的长度，$\varrho$ 为材料的
电阻率（electrical resistivity）。该公式假设内部电流密度处处相等且于柱体平行。电阻率体现了材料电阻能力，和材料性质有关，也可能会随温度，压强，光照（例如光敏电阻），等环境因素变化。我们也通常把电阻率的倒数 $1/\varrho$ 叫做
电导率（electrical conductivity）。
微观形式的欧姆定律为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} ~,
\end{equation}
这个公式告诉我们，电阻材料中某点的电流密度与电场成正比。
3. 电阻的简单模型
图 3：电阻的简单模型
我们这里用一个简单的经典力学模型推导上文中的概念和公式，但严格来说，这个推导需要使用量子力学和半导体理论。假设一段电阻中，自由电子的电荷密度为 $-\rho$（$\rho > 0$）为定值。
当我们在电阻两端施加电压时，内部会产生匀强电场，
\begin{equation}
E = \frac UL~,
\end{equation}
使电子受到电场力
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = -e \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
同时，电子还受到一个源于电子与导体缺陷碰撞的阻力，其大小与电子速度成正比，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} = -\alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
$\alpha$ 即比例系数，总有 $\alpha>0$
图 4：经典理论认为电阻源自于导体中电子与缺陷等的频繁相撞。电子先在外电场下加速，然后发生碰撞，这使电子的定向动能转换为热能；然后电子继续在外电场下加速，再次相撞...这个过程相当于导体对电阻施加阻力。
电子在该电场力下加速（由于电子质量很小，加速过程很快，可以假设是一瞬间完成的），直到阻力等于电场力时加速停止，进行匀速运动。于是有
\begin{equation}
-e \boldsymbol{\mathbf{E}} - \alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = -\frac{e}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,
\end{equation}
所以电阻内电流密度大小为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} = -\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{e\rho}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
电流大小为
\begin{equation}
I = jS = \frac{\rho EeS}{\alpha}~.
\end{equation}
代入
式 4
\begin{equation}
U = I \frac{\alpha L}{\rho eS}~,
\end{equation}
我们定义
电阻率为
\begin{equation}
\varrho = \frac{\alpha}{\rho e}~,
\end{equation}
然后再根据电阻率定义
电阻为
\begin{equation}
R = \frac{\varrho L}{S}~.
\end{equation}
可见它与长度 $L$ 成正比，与横截面成反比。将
式 11 代入
式 12 再代入
式 10 ，可得
欧姆定律
\begin{equation}
U = IR~.
\end{equation}
也可以使用电阻率记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} ~,
\end{equation}
这相当于欧姆定律的微观形式。
1. ^ 参考 Wikipedia 的 Resistor 和 Ohm's law 页面。
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