电阻 欧姆定律 电阻率 电导率

             

预备知识 电流,电压

  1电阻器(resistor)是电路中常见的原件.该原件通常由一个参数,电阻(resistance),来衡量.在不至于混淆的情况下,也可以把电阻器简称为电阻.

   理想情况下,电阻器符合欧姆定律(Ohm's law)

\begin{equation} U = IR \end{equation}
其中 $U$ 是电阻器两端的电压(电流流入的一端电势较高),$I$ 是流经电阻器的电流,$R$ 是电阻器的电阻($R > 0$).

图
图 1:电阻器在电路中的符号

1. 被动符号规定

   在电路中,一种常见的符号规定是给电路中的每一条支路预先定义一个正方向,若电流延正方向流动,那么电流为正,反之为负.若电势延正方向降低,则电压为正,反之为负.这种规定叫做被动符号规定(passive sign convention),因为当功率 $W = IU$ 为正时,原件从电路中获取能量.

   欧姆定律的式 1 可以按被动符号规定来理解:如图 2 ,如果规定电阻所在的电路支路从左到右为正,那么当电流从左向右流时,$I > 0$,从右到左时 $I < 0$;电压 $U_{AB} = U_A - U_B$,即当电势左高右低时取正值,反之取负值.

图
图 2:符号规范

   由于 $R > 0$,所以根据式 1 ,$I, U$ 的符号始终相同,所以电阻从电路中获得的功率为 $W = IU > 0$.

2. 电阻率

   作为一个理想模型,柱形(例如长方体,圆柱体)电阻器的电阻为

\begin{equation} R = \frac{\varrho L}{S} \end{equation}
其中 $S$ 为电阻的横截面积,$L$ 为电阻的长度,$\varrho$ 为材料的电阻率(electrical resistivity).该公式假设内部电流密度处处相等且于柱体平行.电阻率体现了材料电阻能力,和材料性质有关,也可能会随温度,压强,光照(例如光敏电阻),等环境因素变化.我们也通常把电阻率的倒数 $1/\varrho$ 叫做电导率(electrical conductivity)

   微观形式的欧姆定律为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}
这个公式告诉我们,电阻材料中某点的电流密度与电场成正比.

3. 电阻的简单模型

图
图 3:简单的电阻模型:一个平行板电容器中均匀填充导电介质

   我们这里用一个简单的经典力学模型推导上文中的概念和公式,但严格来说,这个推导需要使用量子力学和半导体理论.假设一个平行板电容器中间有某种均匀的导电材料,该材料中自由电子的电荷密度为 $-\rho$($\rho > 0$)为定值,每个电子受到的阻力与电子速度成正比,比例常数 $\alpha > 0$.即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = -\alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
当我们在电容器两板上施加电压时,内部会产生匀强电场,使电子受到电场力
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = -e \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
电子在该电场力下加速(由于电子质量很小,加速过程很快,可以假设是一瞬间完成的),直到阻力等于电场力时加速停止,进行匀速运动.于是有
\begin{equation} -e \boldsymbol{\mathbf{E}} - \alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = -\frac{e}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
所以电阻内电流密度大小为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = -\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{e\rho}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
电流大小为
\begin{equation} I = jS = \frac{\rho EeS}{\alpha} \end{equation}
电阻中的电场大小可以由两端电压表示为
\begin{equation} E = \frac UL \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} U = I \frac{\alpha L}{\rho eS} \end{equation}
我们定义电阻率
\begin{equation} \varrho = \frac{\alpha}{\rho e} \end{equation}
然后再根据电阻率定义电阻
\begin{equation} R = \frac{\varrho L}{S} \end{equation}
可见它与长度 $L$ 成正比,与横截面成反比.将式 11 代入式 12 再代入式 10 ,可得欧姆定律
\begin{equation} U = IR \end{equation}
式 7 也可以使用电阻率记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}
这相当于欧姆定律的微观形式.


1. ^ 参考 Wikipedia 的 ResistorOhm's law 页面.

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