Wigner 9j 符号

             

预备知识 6j 符号

   9j 符号可以用 6j 符号定义为

\begin{equation} \left\{\begin{matrix}j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6\\ j_7 & j_8 & j_9\end{matrix}\right\} = \sum_i (-1)^{2i}(2i+1) \left\{\begin{matrix}j_1 & j_4 & j_7\\ j_8 & j_9 & i\end{matrix}\right\} \left\{\begin{matrix}j_2 & j_5 & j_8\\ j_4 & i & j_6\end{matrix}\right\} \left\{\begin{matrix}j_3 & j_6 & j_9\\ i & j_1 & j_2\end{matrix}\right\} \end{equation}
其中 $i$ 的范围是
\begin{equation} \max\{ \left\lvert j_1 - j_9 \right\rvert , \left\lvert j_4 - j_8 \right\rvert , \left\lvert j_2 - j_6 \right\rvert \} < i < \min\{ \left\lvert j_1 + j_9 \right\rvert , \left\lvert j_4 + j_8 \right\rvert , \left\lvert j_2 + j_6 \right\rvert \} \end{equation}
在 Mathematica 中可定义为1
NineJSymbol[{j1_, j2_, j3_}, {j4_, j5_, j6_}, {j7_, j8_, j9_}] := 
 Module[{kmin, kmax},
  		kmin = Max[{Abs[j1 - j9], Abs[j4 - j8], Abs[j2 - j6]}];
  			kmax = Min[{Abs[j1 + j9], Abs[j4 + j8], Abs[j2 + j6]}];
  		Sum[(-1)^(2 k) (2 k + 1) SixJSymbol[{j1, j4, j7}, {j8, j9, 
      k}]  SixJSymbol[{j2, j5, j8}, {j4, k, j6}] SixJSymbol[{j3, j6, 
      j9}, {k, j1, j2}], {k, kmin, kmax}]]

1. 对称性

   任意两行行或两列交换,在前面添加 $(-1)^S$,其中 $S$ 是 9 个 $j$ 之和.

2. 特殊情况

\begin{equation} \left\{\begin{matrix}j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6\\ j_7 & j_8 & 0\end{matrix}\right\} = \frac{\delta_{j_3, j_6}\delta_{j_7, j_8}}{\sqrt{(2j_3+1)(2j_7+1)}} (-1)^{j_2+j_3+j_4+j_7} \left\{\begin{matrix}j_1 & j_2 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_7\end{matrix}\right\} \end{equation}


1. ^ 来自 Wolfram Library Archive

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