氢原子隧道电离

             

预备知识 薛定谔方程,隧道效应

  1本文使用原子单位制.在 $E \ll 1$ 的恒定电场下,氢原子的电离率(单位时间的概率)为

\begin{equation} \omega = \frac{4}{ \left\lvert E \right\rvert } \exp\left[-\frac{2}{3 \left\lvert E \right\rvert }\right] \end{equation}

   注意若给氢原子的哈密顿算符添加恒定电场项 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $,那么该系统将不存在严格的束缚态.因为当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 夹角大于 $90^\circ$ 且当 $r\to\infty$ 时 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \to -\infty$(图 1 ).所以隧道电离不存在严格的阈值(threshold),理论上任何强度的恒定电场都会产生隧道电离.

图
图 1:隧道电离示意图

   假设氢原子开始时处于某束缚态且无外电场,能量为 $E_n$,经过一段时间后外电场出现(图中向左),这时在原子核的右边就可能会出现一个势垒,局部势能大于 $E_n$,但随着 $r$ 增大势能最终小于 $E_n$.这时根据隧道效应,波函数会以一定的速率穿过该势垒,单位时间穿过势垒的波函数的概率就叫做电离率(ionization rate).电场越弱,势垒越高越宽,电离率就越小.

图
图 2:氢原子隧道电离的数值模拟(见“球坐标系中的定态薛定谔方程”)

   图 2 中画出了氢原子隧道电离的数值模拟结果,电场方向向上,强度为 0.1 au,图中的数值代表波函数模长的平方,也就是电子在空间中出现的概率(colorbar 使用 log10).

   相反,若电场太强,使得右边的势能突起比 $E_n$ 要小,那么同样不存在隧道效应,而是直接电离.这种电离十分迅速.

   另见 ADK 电离率,Keldish 模型(未完成).


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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