贡献者： 零穹
预备知识 球谐函数
，高维弯曲空间中的拉普拉斯算符
，高维空间球坐标及其度规
在三维的情形，球谐函数是在球坐标下，求解拉普拉斯方程时，通过分离变量得到的。其是拉普拉斯方程角度部分的解。即下面的微分方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} _\Omega^2 Y+\lambda Y=0.~
\end{equation}
其中 $\Omega$ 代表只含角 $(\theta,\phi)$ 的部分，$\lambda$ 是常数，且
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} ^2_\Omega= \frac{\partial^{2}{}}{\partial{\theta}^{2}} +\cot\theta \frac{\partial }{\partial \theta} +\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^{2}{}}{\partial{\varphi}^{2}} .~
\end{equation}
本词条将仿照三维情形推导球谐函数的方法，推导高维弯曲空间中的球谐函数。
1. 球坐标系下的高维拉普拉斯方程
对一般高维空间的拉普拉斯方程，可由对应空间的拉普拉斯算符获得，即从 $\Delta u=0$ 一般高维空间的拉普拉斯方程如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \frac{\partial }{\partial x^i} \left(\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j} \right)\\
=&\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \left(\frac{\partial }{\partial x^i} \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \right) g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j}+ \left(\frac{\partial }{\partial x^i} g^{ij} \right) \frac{\partial u}{\partial x^j}+g^{ij}\frac{\partial^2 u}{\partial x^i\partial x^j}\\
=&0 .
\end{aligned}~
\end{equation}
而
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }}\frac{\partial }{\partial x^i} \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }=\frac{1}{2g} \frac{\partial g}{\partial g_{jk}} \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} \\
&=\frac{1}{2g}(gg^{jk}) \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} \\
&=\frac{1}{2}g^{jk} \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} .
\end{aligned}~
\end{equation}
$N+1$ 维空间球坐标系 $x^i=\theta^i,i=1,\cdots,N,x^{N+1}=r$ 下的
度规为
\begin{equation}
\begin{aligned}
g_{ij}&=\mathrm{diag}(\eta_i),\\
\eta_{i}&=\left\{\begin{aligned}
& r^2\prod\limits_{k=i+1}^{N}\sin^2\theta^{k},i\leq N,\\
&1,i=N+1.
\end{aligned}\right.
\end{aligned}~
\end{equation}
由此，
\begin{equation}
\begin{aligned}
g^{ij}&=\mathrm{diag}(h^i),\\
h^{i}&=\left\{\begin{aligned}
& r^{-2}\prod\limits_{k=i+1}^{N}\sin^{-2}\theta^{k},i\leq N,\\
&1,i=N+1.
\end{aligned}\right.
\end{aligned}~
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{2}g^{jk} \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^{N+1}} =\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N+1}h^{j} \frac{\partial \eta_{j}}{\partial x^i} \\
=&\frac{1}{2} \left(\sum_{j=1}^{N}r^{-2}\prod\limits_{k=j+1}^{N}\sin^{-2}\theta^{k}2r\prod\limits_{k=j+1}^{N}\sin^2\theta^{k} \right) \\
=&Nr^{-1}\\
&\frac{1}{2}g^{jk} \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} =\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N+1}h^{j} \frac{\partial \eta_{j}}{\partial x^i} \\
=&\frac{1}{2} \left(\sum_{j=1}^{i-1}r^{-2}\prod\limits_{k=j+1}^{N}\sin^{-2}\theta^{k}2r^2\sin\theta^{i}\cos\theta^{i}\prod\limits_{k=j+1,k\neq i}^{N}\sin^2\theta^{k} \right) \\
=&(i-1)\cot\theta^i,\quad i\leq N.
\end{aligned}~
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \left(\frac{\partial }{\partial x^i} \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \right) g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j}\\
=&Nr^{-1} \frac{\partial u}{\partial r} +\sum_{i=1}^{N}h^{i}(i-1)\cot\theta^i \frac{\partial u}{\partial \theta^i} \\
\end{aligned}~
\end{equation}
而由
式 6 ，$ \frac{\partial g^{ij}}{\partial \theta^i} =0$。且
\begin{equation}
g^{ij}\frac{\partial^2 u}{\partial x^i\partial x^j}=\sum_{i=1}^{N}h^{i}\frac{\partial^2 u}{\partial {\theta^i}^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}~
\end{equation}
所以最后
式 3 变成
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{N}h^{i} \left[(i-1)\cot\theta^i \frac{\partial u}{\partial \theta^i} +\frac{\partial^2 u}{\partial {\theta^i}^2} \right] +r^{-N}\frac{\partial }{\partial r} \left(r^{N}\frac{\partial u}{\partial r} \right) =0.
\end{aligned}~
\end{equation}
若定义
\begin{equation}
h^i_{(N)}:=r^2h^i,~
\end{equation}
则 $h^i_{(N)}$ 将仅仅依赖于角部变量。类似球坐标下
三维拉普拉斯方程的写法，我们有
\begin{equation}
r^{-2} \boldsymbol{\nabla} ^{2}_{S^N}u+r^{-N}\frac{\partial }{\partial r} \left(r^{N}\frac{\partial u}{\partial r} \right) =0.~
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} ^{2}_{S^N}u:=\sum_{i=1}^N h^{i}_{(N)} \left[(i-1)\cot\theta^i \frac{\partial u}{\partial \theta^i} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^i}^{2}} \right] ~
\end{equation}
定义了单位 $N$ 球上的
Laplace-Beltrami 算子。
2. 高维球谐函数
式 12 没有出现混合导数，因此，若将 $u$ 写成变量分离的形式
\begin{equation}
u(r,\theta^1,\cdots,\theta^N)=R(r)W_N(\theta^1,\cdots,\theta^N),~
\end{equation}
就可写为
\begin{equation}
\frac{1}{R}r^{-N+2}\frac{\partial }{\partial r} \left(r^{N}\frac{\partial u}{\partial r}R \right) =-\frac{1}{W_N}\Delta_{S^N}W_N=\lambda_N.~
\end{equation}
其中 $\lambda_N$ 是分离常数，$\Delta_{S^N}:= \boldsymbol{\nabla} _{S^N}^2$。
将式 15 中只含角度变量的部分提取出来，就得到如下角变量部分满足的方程：
\begin{equation}
\Delta_{S^N}W_N+\lambda_N W_N=0.~
\end{equation}
该方程的解 $W_N$ 便是所谓的 $N$ 维
球谐函数（因为它是定义在 $N+1$ 维空间的 $N$ 维球上的）。
3. 将球谐函数转化为分离变量的形式
三维空间的球谐函数可以继续分离为只关于 $\theta$ 和 $\varphi$ 的乘积形式。同样的，高维空间的球谐函数也能如此。
为了分离变量，我们先试图将 $\theta^N$ 提取出来。利用式 13 ，有
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{N-1} h^{i}_{(N)} \left[(i-1)\cot\theta^i \frac{\partial W_N}{\partial \theta^i} + \frac{\partial^{2}{W_N}}{\partial{\theta^i}^{2}} \right] +h^{N}_{(N)} \left[(N-1)\cot\theta^N \frac{\partial W_N}{\partial \theta^N} + \frac{\partial^{2}{W_N}}{\partial{\theta^N}^{2}} \right] +\lambda_N W_N=0.~
\end{equation}
然而，由
式 6 和
式 11 ，$h^i_{(N)}$ 是关于 $\theta^j,i+1\leq j\leq N$ 的函数，为使得上式左边第一式不含 $\theta^j$，只要将 $h^i_{(N)}$ 乘以 $\sin^2\theta^j$ 即可。因此，若定义
\begin{equation}
h^{i}_{(k-1)}=\sin^2\theta^k h^i_{(k)},\quad 1\leq i\leq k-1,2\leq k\leq N,~
\end{equation}
则 $h^i_{(N-1)}$ 只依赖与 $\theta ^{i+1},\cdots,\theta^{N-1}$。利用
式 18 的递推关系，可知，对于给定的 $k$，$\{h^i_{k}\}$ 仅仅依赖于变量 $(\theta^1,\cdots,\theta^k)$ 且 $h^k_{(k)}=1$，且 $h^k_{(k)}=1$。
现在，我们可以将式 17 写为
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{N-1} \sin^{-2}\theta^N h^{i}_{(N-1)} \left[(i-1)\cot\theta^i \frac{\partial W_N}{\partial \theta^i} + \frac{\partial^{2}{W_N}}{\partial{\theta^i}^{2}} \right] +h^{N}_{(N)} \left[(N-1)\cot\theta^N \frac{\partial W_N}{\partial \theta^N} + \frac{\partial^{2}{W_N}}{\partial{\theta^N}^{2}} \right] =-\lambda_N W_N.~
\end{equation}
利用
式 13 ，上式可写为
\begin{equation}
\sin^{-2}\theta^N \Delta_{S^{N-1}}{W_N}+ \left[(N-1)\cot\theta^N \frac{\partial W_N}{\partial \theta^N} + \frac{\partial^{2}{W_N}}{\partial{\theta^N}^{2}} \right] =-\lambda_N W_N.~
\end{equation}
显然，现在可以继续进行变量分离，令
\begin{equation}
W_N(\theta^1,\cdots,\theta^N)=W_{N-1}(\theta^1,\cdots,\theta^{N-1})y_N(\theta^N),~
\end{equation}
那么
\begin{equation}
-\frac{1}{W_{N-1}}\Delta_{S^{N-1}}W_{N-1}=\frac{\sin^2\theta^N}{y_N} \left((N-1)\cot\theta^N \frac{\partial y_N}{\partial \theta^N} + \frac{\partial^{2}{y_N}}{\partial{\theta^N}^{2}} \right) +\lambda_N\sin^2\theta^N=\lambda_{N-1}.~
\end{equation}
其中 $\lambda_{N-1}$ 是一个新分离常数。因此，我们有下面方程
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\Delta_{S^{N-1}}W_{N-1}+\lambda_{N-1}W_{N-1}=0,\\
& \left((N-1)\cot\theta^N \frac{\partial y_N}{\partial \theta^N} + \frac{\partial^{2}{y_N}}{\partial{\theta^N}^{2}} \right) + \left(\lambda_N-\lambda_{N-1}\sin^{-2}\theta^N \right) y_N=0.
\end{aligned}~
\end{equation}
注意第一个方程和回到了
式 16 的形式，因此可以继续重复该过程。最终可以获得关于 $W_k=W_k(\theta_1,\cdots,\theta_k)$ 的方程
\begin{equation}
\Delta_{S^{k}}W_{k}+\lambda_{k}W_{k}=0,\quad 1\leq k\leq N.~
\end{equation}
和关于 $y_k=y_k(\theta_k)$ 的方程：
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{y_k}}{\partial{\theta^k}^{2}} +(k-1)\cot\theta^k \frac{\partial y_k}{\partial \theta^k} + \left(\lambda_k-\frac{\lambda_{k-1}}{\sin^2\theta_k} \right) y_k=0,2\leq k\leq N~
\end{equation}
并且有一组 $N$ 个变量的分离常数 $\{\lambda_k\}$。注意在 $k=2$ 时，由
式 21 ，我们有
\begin{equation}
W_2(\theta^1,\theta^2)=W_1(\theta^1)y_2(\theta^2).~
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\Delta_{S^{1}}W_{1}+\lambda_{1}W_{k}=0.~
\end{equation}
若令 $y_1=W_1$，那么由
式 21 就有
\begin{equation}
W_N(\theta^1,\cdots,\theta^N)=y_1(\theta^1)\cdots y_N(\theta^N).~
\end{equation}
因此，一般高维空间球谐函数可以写为关于每一角变量函数的乘积形式。
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