连带拉盖尔多项式

贡献者： addis

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　　 连带拉盖尔多项式（associated Laguerre polynomial） $L_{n}^{α}$ 是微分方程

\begin{matrix} (1) & x y^{″} + (α + 1 - x) y^{'} + n y = 0 \end{matrix}

的解。

　　普通的拉盖尔多项式为

\begin{matrix} (2) & L_{n} (x) = L_{n}^{0} (x) . \end{matrix}

图 1：连带拉盖尔多项式

L_{n}^{k}

（来自 Wikipedia）

　　递推关系

\begin{matrix} (3) & L_{n + 1}^{α} (x) = [(2 n + 1 + α - x) L_{n}^{α} (x) - (n + α) L_{n - 1}^{α} (x)] / (n + 1), \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & L_{0}^{α} (x) = 1, L_{1}^{α} (x) = 1 + α - x . \end{matrix}

罗德里格斯公式

\begin{matrix} (5) & L_{n}^{α} (x) = \frac{x^{- α} e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x} x^{n + α}) . \end{matrix}

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