连带拉盖尔多项式

             

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   连带拉盖尔多项式 $L_{n}^\alpha$ 是微分方程

\begin{equation} xy'' + (\alpha + 1 - x) y' + ny = 0 \end{equation}
的解.

   普通的拉盖尔多项式为

\begin{equation} L_n(x) = L_n^0(x) \end{equation}

图
图 1:连带拉盖尔多项式 $L_n^k$(来自 Wikipedia)

   递推关系

\begin{equation} L_{n+1}^\alpha (x) = [(2n + 1 + \alpha - x)L_n^\alpha (x) - (n + \alpha )L_{n - 1}^\alpha (x)]/(n + 1) \end{equation}
\begin{equation} L_0^\alpha (x) = 1 \qquad L_1^\alpha (x) = 1 + \alpha - x \end{equation}
罗德里格斯公式
\begin{equation} L_n^\alpha (x) = \frac{x^{-\alpha} \mathrm{e} ^x}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} ( \mathrm{e} ^{-x} x^{n+\alpha}) \end{equation}

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