贡献者： 零穹
三维空间中的拉普拉斯算符 $\Delta$ 由下式所定义：
\begin{equation}
\Delta u:= \boldsymbol{\nabla} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} u)=\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}}.~
\end{equation}
其中 $u$ 是空间坐标的函数。拉普拉斯算符在求解许多物理问题时都会出现，包括真空中电势满足的
泊松方程，
定态薛定谔方程和线性化的爱因斯坦场方程（作为 d'Alember 算子的一部分）。
将拉普拉斯算符推广到一般的高维弯曲空间中有着现实的物理意义。一方面，无论我们所处的时空是广义相对论说的 4 维，还是超弦论所谓的 10 维，或者某个物理理论说的多少维，它们都在告诉我们高维时空具有重要的物理意义。而各种场的物理理论似乎告诉我们，在很多情形下（比如真空情形），物理理论的基本场方程必然会出现拉普拉斯算符。另一方面，平坦的时空仅仅是弯曲时空的一个（曲率为 0 的）特例。因此，一般的高维弯曲空间中拉普拉斯算符的形式有着其独特的价值。
记号约定：为方便起见，假设空间维度为 $N$，坐标变量为 $x^i,i=1,\cdots,N$，而描述线元的（代表二次型的度量矩阵的）度规记作 $g_{ij}$。
1. 一般时空中拉普拉斯算符的导出
观察式 1 ，容易想到，拉普拉斯算符 $\Delta$ 应当保持算符 $ \boldsymbol{\nabla} $ 的点积形式。即应当继续由
\begin{equation}
\Delta u:= \boldsymbol{\nabla} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} u)~
\end{equation}
定义。
在一般空间中，矢量的点积是由度规定义的，即
\begin{equation}
v\cdot w:=(v|w)=(e_i,e_j)v^iv^j=g_{ij}v^iv^j.~
\end{equation}
由于度规矩阵的可逆性，因此常常用其和其逆矩阵 $g^{ij}$ 来升降指标，比如 $v^i=g^{ij}v_j$。
因此式 2 现在成为
\begin{equation}
\Delta u=g^{ij} \boldsymbol{\nabla} _i( \boldsymbol{\nabla} _j u).~
\end{equation}
然而，虽然在一般 $N$ 维空间中，算符 $ \boldsymbol{\nabla} $ 作用在函数上仍有
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} u= \frac{\partial u}{\partial x^i} .~
\end{equation}
但是算符 $ \boldsymbol{\nabla} $ 作用在带有分量指标的矢量上时，时间的弯曲将带来额外的影响。此时算符 $ \boldsymbol{\nabla} $ 称为
协变导数，其作用在矢量场 $v^j$ 上效果为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} _i v^j= \frac{\partial v^j}{\partial x^i} +{\Gamma^{j}}_{ki}v^k.~
\end{equation}
右边额外的部分来自时空弯曲的影响，（在黎曼几何下）其可以由每一点的度规进行通过 $ \boldsymbol{\nabla} _i g_{ik}=0$ 进行定义。因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
&g^{ij} \boldsymbol{\nabla} _i( \boldsymbol{\nabla} _j u)\\
&= \boldsymbol{\nabla} _i(g^{ij} \boldsymbol{\nabla} _j u)\\
&= \frac{\partial }{\partial x^i} \left(g^{ij} \boldsymbol{\nabla} _j u \right) +{\Gamma^{i}}_{ki}g^{kj} \boldsymbol{\nabla} _j u\\
&= \frac{\partial }{\partial x^i} \left(g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j} \right) +{\Gamma^{i}}_{ki}g^{kj} \frac{\partial u}{\partial x^j} \\
&= \frac{\partial }{\partial x^i} \left(g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j} \right) +\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \left( \frac{\partial }{\partial x^k} \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \right) g^{kj} \frac{\partial u}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \frac{\partial }{\partial x^i} \left(\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j} \right) .
\end{aligned}~
\end{equation}
其中倒数第二式可从 $ \boldsymbol{\nabla} _i g_{ik}=0$ 和
式 6 推得。
结合式 4 和式 7 ，就得到在一般高维弯曲空间中的拉普拉斯算符的形式，其由下式定义：
\begin{equation}
\Delta u=\frac{1}{\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }} \frac{\partial }{\partial x^i} \left(\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert }g^{ij} \frac{\partial u}{\partial x^j} \right) .~
\end{equation}
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