高维弯曲空间中的拉普拉斯算符

贡献者：零穹

预备知识　拉普拉斯算符

\begin{matrix} (1) & Δ u := \nabla \cdot (\nabla u) = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} . \end{matrix}

其中

u

是空间坐标的函数。拉普拉斯算符在求解许多物理问题时都会出现，包括真空中电势满足的泊松方程，定态薛定谔方程和线性化的爱因斯坦场方程（作为 d'Alember 算子的一部分）。

　　将拉普拉斯算符推广到一般的高维弯曲空间中有着现实的物理意义。一方面，无论我们所处的时空是广义相对论说的 4 维，还是超弦论所谓的 10 维，或者某个物理理论说的多少维，它们都在告诉我们高维时空具有重要的物理意义。而各种场的物理理论似乎告诉我们，在很多情形下（比如真空情形），物理理论的基本场方程必然会出现拉普拉斯算符。另一方面，平坦的时空仅仅是弯曲时空的一个（曲率为 0 的）特例。因此，一般的高维弯曲空间中拉普拉斯算符的形式有着其独特的价值。

　　记号约定：为方便起见，假设空间维度为 $N$ ，坐标变量为 $x^{i}, i = 1, \dots, N$ ，而描述线元的（代表二次型的度量矩阵的）度规记作 $g_{i j}$ 。

1. 一般时空中拉普拉斯算符的导出

　　观察式 1 ，容易想到，拉普拉斯算符 $Δ$ 应当保持算符 $\nabla$ 的点积形式。即应当继续由

\begin{matrix} (2) & Δ u := \nabla \cdot (\nabla u) \end{matrix}

定义。

　　在一般空间中，矢量的点积是由度规定义的，即

\begin{matrix} (3) & v \cdot w := (v | w) = (e_{i}, e_{j}) v^{i} v^{j} = g_{i j} v^{i} v^{j} . \end{matrix}

由于度规矩阵的可逆性，因此常常用其和其逆矩阵

g^{i j}

来升降指标，比如

v^{i} = g^{i j} v_{j}

。

　　因此式 2 现在成为

\begin{matrix} (4) & Δ u = g^{i j} \nabla_{i} (\nabla_{j} u) . \end{matrix}

　　然而，虽然在一般 $N$ 维空间中，算符 $\nabla$ 作用在函数上仍有

\begin{matrix} (5) & \nabla u = \frac{\partial u}{\partial x^{i}} . \end{matrix}

但是算符

\nabla

作用在带有分量指标的矢量上时，时间的弯曲将带来额外的影响。此时算符

\nabla

称为协变导数，其作用在矢量场

v^{j}

上效果为

\begin{matrix} (6) & \nabla_{i} v^{j} = \frac{\partial v^{j}}{\partial x^{i}} + {Γ^{j}}_{k i} v^{k} . \end{matrix}

右边额外的部分来自时空弯曲的影响，（在黎曼几何下）其可以由每一点的度规进行通过

\nabla_{i} g_{i k} = 0

进行定义。因此

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} g^{i j} \nabla_{i} (\nabla_{j} u) \\ = \nabla_{i} (g^{i j} \nabla_{j} u) \\ = \frac{\partial}{\partial x^{i}} (g^{i j} \nabla_{j} u) + {Γ^{i}}_{k i} g^{k j} \nabla_{j} u \\ = \frac{\partial}{\partial x^{i}} (g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}}) + {Γ^{i}}_{k i} g^{k j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \\ = \frac{\partial}{\partial x^{i}} (g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}}) + \frac{1}{\sqrt{| g |}} (\frac{\partial}{\partial x^{k}} \sqrt{| g |}) g^{k j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \\ = \frac{1}{\sqrt{| g |}} \frac{\partial}{\partial x^{i}} (\sqrt{| g |} g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中倒数第二式可从

\nabla_{i} g_{i k} = 0

和式 6 推得。

　　结合式 4 和式 7 ，就得到在一般高维弯曲空间中的拉普拉斯算符的形式，其由下式定义：

\begin{matrix} (8) & Δ u = \frac{1}{\sqrt{| g |}} \frac{\partial}{\partial x^{i}} (\sqrt{| g |} g^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}}) . \end{matrix}

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