Gamma 函数 2

             

预备知识 Gamma 函数

1. 极限定义

  1定义复数域 $\mathbb C$ 中的 $\Gamma$ 函数为

\begin{equation} \Gamma(z) \equiv \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n)}n^z \qquad (z \ne 0, -1, -2,\dots) \end{equation}
该定义包括了 $\Gamma$ 函数的整个定义域.

2. 积分定义

预备知识 复变函数的积分

   Gamma 函数的积分定义式 2 也可以轻易拓展到复数域上,但同样不包含整个定义域

\begin{equation} z! \equiv \Gamma (z + 1) = \int_0^{+\infty} t^z \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad ( \operatorname{Re} [z] > -1) \end{equation}
在 $ \operatorname{Re} [z] \leqslant -1$ 的区域,积分不收敛.

3. Weierstrass 定义

预备知识 Euler-Mascheroni 常数

\begin{equation} \frac{1}{\Gamma(z)} \equiv z \mathrm{e} ^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n} \right) \mathrm{e} ^{-z/n} \end{equation}
其中 $\gamma = 0.57722\dots$ 是 Euler-Mascheroni 常数


1. ^ 参考 [9] 相关章节.

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