Gamma 函数 2
贡献者： addis
1. 极限定义
1定义复数域 $\mathbb C$ 中的 $\Gamma$ 函数为
\begin{equation}
\Gamma(z) \equiv \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n)}n^z \qquad (z \ne 0, -1, -2,\dots)~,
\end{equation}
该定义包括了 $\Gamma$ 函数的整个定义域。
2. 积分定义
Gamma 函数的积分定义式 2 也可以轻易拓展到复数域上，但同样不包含整个定义域
\begin{equation}
z! \equiv \Gamma (z + 1) = \int_0^{+\infty} t^z \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad ( \operatorname{Re} [z] > -1)~.
\end{equation}
在 $ \operatorname{Re} [z] \leqslant -1$ 的区域，积分不收敛。
3. Weierstrass 定义
预备知识 3 Euler-Mascheroni 常数
\begin{equation}
\frac{1}{\Gamma(z)} \equiv z \mathrm{e} ^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n} \right) \mathrm{e} ^{-z/n}~,
\end{equation}
其中 $\gamma = 0.57722\dots$ 是
Euler-Mascheroni 常数。
1. ^ 参考 [1] 相关章节。
[1] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。