Gauss-Lobatto 积分

             

  • 本词条需要更多讲解,便于帮助理解.
预备知识 定积分

   高斯积分(Gauss quadrature)可以用求和来近似表示积分

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \approx \sum_i w_i f(x_i) \end{equation}
对于某区间的一组 $x_i, w_i$,如果它是 $N$ 阶的,那么当 $f(x)$ 是小于等于 $N$ 阶的多项式时,上式精确成立.

1. Gauss-Lobatto 积分

   Gauss-Lobatto 积分中令采样点(包括两个端点)的个数为 $N$,如果被积函数是 $2N-3$ 阶多项式($f(x) = x^{2n-3} + \dots$),则积分没有误差.

   注意 Gauss-Lobatto 积分是对称的

\begin{equation} x_j = -x_{N-j+1} \qquad w_{0j} = w_{0,N-j+1} \end{equation}

2. 正交归一基底

   每个基底都是 $N-1$ 阶多项式,由于阶数和零点数一样,多项式可以唯一确定,即拉格朗日插值多项式

\begin{equation} \begin{aligned} p_n(x) &= \prod_{i=1}^{n-1} \frac{x-x_i}{x_n-x_i} \prod_{i=n+1}^{N} \frac{x-x_i}{x_n-x_i}\\ &= \frac{x-x_1}{x_n-x_1} \times\dots\times\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}\frac{x-x-{n+1}}{x_n-x_{n+1}} \dots \frac{x-x_N}{x_n-x_N} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} p_n(x_{n'}) = \delta_{n, n'} \end{equation}

   由于任意两个基底乘积只是 $2N-2$ 阶的多项式,所以可以用求和精确代替其积分.

\begin{equation} \int_{-1}^1 p_i(x) p_j(x) \,\mathrm{d}{x} = \sum_k w_k p_i(x_k) p_j(x_k) = w_i \delta_{ij} \end{equation}

   所以 $N$ 个正交归一基底就是

\begin{equation} f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{w_n}} p_n(x) \end{equation}
满足
\begin{equation} f_i(x_j) = \frac{1}{\sqrt{w_i}} \delta_{ij} \end{equation}

   另一种等效的表示方法是利用 $N$ 阶 Gauss-Lobatto 数值积分对应的多项式,$N-1$ 阶勒让德多项式的导数,$P'_{N-1}(y)$, 来构建满足条件的多项式.根据定义,其 $N-2$ 个零点分别为 $y_2, y_3\dots y_{N-1}$,为了加入 $y_1=-1$ 与 $y_n=1$ 这两个零点,将其变为 $N$ 阶多项式

\begin{equation} (1-y^2)P'_{N-1}(y) \end{equation}
然而,式 2 要求 $p_n(y_n)=1$,所以我们将式 8 除以它自己在 $y_n$ 处的切线,在 $y=y_n$ 处形成极限类型 $0/0=1$ 即可得到 阶多项式 $u_n(y)$.
\begin{equation} u_n(y) = \frac{(1-y^2)P'_{N-1}(y)}{[(1-y^2)P'_{N-1}(y)]'_y} = y_n (y-y_n) \end{equation}
该式与式 3 事实上是完全相同的多项式,因为所有具有 $N-1$ 个零点的 $N-1$ 阶多项式都可以因式分解成式 3 的形式乘以一个待定常数.用式 9 便于快速地展开多项式(因为勒让德多项式的系数可以直接通过公式计算).

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利