贡献者： addis
高斯积分（Gauss quadrature）可以用求和来近似表示积分
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \approx \sum_i w_i f(x_i)
\end{equation}
对于某区间的一组 $x_i, w_i$，如果它是 $N$ 阶的，那么当 $f(x)$ 是小于等于 $N$ 阶的多项式时，上式精确成立。
1. Gauss-Lobatto 积分
Gauss-Lobatto 积分中令采样点（包括两个端点）的个数为 $N$，如果被积函数是 $2N-3$ 阶多项式（$f(x) = x^{2n-3} + \dots$），则积分没有误差。
注意 Gauss-Lobatto 积分是对称的
\begin{equation}
x_j = -x_{N-j+1} \qquad w_{0j} = w_{0,N-j+1}
\end{equation}
2. 正交归一基底
每个基底都是 $N-1$ 阶多项式，由于阶数和零点数一样，多项式可以唯一确定，即拉格朗日插值多项式
\begin{equation}
\begin{aligned}
p_n(x) &= \prod_{i=1}^{n-1} \frac{x-x_i}{x_n-x_i} \prod_{i=n+1}^{N} \frac{x-x_i}{x_n-x_i}\\
&= \frac{x-x_1}{x_n-x_1} \times\dots\times\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}\frac{x-x-{n+1}}{x_n-x_{n+1}} \dots \frac{x-x_N}{x_n-x_N}
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation}
p_n(x_{n'}) = \delta_{n, n'}
\end{equation}
由于任意两个基底乘积只是 $2N-2$ 阶的多项式，所以可以用求和精确代替其积分。
\begin{equation}
\int_{-1}^1 p_i(x) p_j(x) \,\mathrm{d}{x} = \sum_k w_k p_i(x_k) p_j(x_k) = w_i \delta_{ij}
\end{equation}
所以 $N$ 个正交归一基底就是
\begin{equation}
f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{w_n}} p_n(x)
\end{equation}
满足
\begin{equation}
f_i(x_j) = \frac{1}{\sqrt{w_i}} \delta_{ij}
\end{equation}
另一种等效的表示方法是利用 $N$ 阶 Gauss-Lobatto 数值积分对应的多项式，$N-1$ 阶勒让德多项式的导数，$P'_{N-1}(y)$， 来构建满足条件的多项式。根据定义，其 $N-2$ 个零点分别为 $y_2, y_3\dots y_{N-1}$，为了加入 $y_1=-1$ 与 $y_n=1$ 这两个零点，将其变为 $N$ 阶多项式
\begin{equation}
(1-y^2)P'_{N-1}(y)
\end{equation}
然而，
式 2 要求 $p_n(y_n)=1$，所以我们将
式 8 除以它自己在 $y_n$ 处的切线，在 $y=y_n$ 处形成极限类型 $0/0=1$ 即可得到 阶多项式 $u_n(y)$。
\begin{equation}
u_n(y) = \frac{(1-y^2)P'_{N-1}(y)}{[(1-y^2)P'_{N-1}(y)]'_y} = y_n (y-y_n)
\end{equation}
该式与
式 3 事实上是完全相同的多项式，因为所有具有 $N-1$ 个零点的 $N-1$ 阶多项式都可以因式分解成
式 3 的形式乘以一个待定常数。用
式 9 便于快速地展开多项式（因为勒让德多项式的系数可以直接通过公式计算）。
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